2022年高考數(shù)學真題分類匯編06：數(shù)列解析版

缺=0.5,游二自，舞=七，跳"=七，若如,k,k是公差為01的等差數(shù)列，且直線04的斜

2022年高考數(shù)學真題分類匯編專題06：數(shù)列23

一、單選題

率為0.725,則k3=()

1.（2022?浙江）已知數(shù)列｛即｝滿足5=1，%+]=%—g“（7l￡N*）,則（

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

A.2<100aloo<|B.5<i00a100<3【答案】D

77【知識點】等差數(shù)列

-

C.3VlOOflioo2D.i<lOOttioo<4

【解析】【解答】設。。1=D(\=CBi=BA1=1,則CCi=k「BBX=k2,AAr=k3,

【答案】B

根據(jù)題意，有k-Q.2=kk-0.1=k，且猊粽密器跳二0-725,

【知識點】數(shù)列遞推式3lf32

【解析】【解答】由題意易知｛/J為遞減數(shù)列冊+i-即=一々即2<0，，｛而｝為遞減數(shù)歹”,所以竺當二竺=0725,故心=0.9.

因為%=1,所以“<1故答案為：D

,0n+l-1一1〃>2、n【分析】設O%=DQ=CB]=BA=1,可得關于k的方程求解即可.

,,可-13^-3>0,13

3.(2022?全國乙卷)己知等比數(shù)列｛%J的前3項和為168,a2-。5=42,則a=()

又Q1=1>0,則%>。，6

A.14B.12C.6D.3

._12、1

,，an~an+l—百冊2目斯即+1，

【答案】D

,二___!_>1

,?艱丁豆一于【知識點】等比數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的前n項和

???^22+強-1)=聶+奈則斯工島,【解析】【解答】解：設等比數(shù)列｛小｝的公比為q,首項為由,

3若q=l,則a2-?s=0,與已知條件矛盾，

?*.lOOaioo<100xV3

J44一。式1一*_[“(％=96

所以q=l,由題意可得?！?。2+。3=-f-=168，解得1

由%+1_即=_:1％2<0,得即+i=Q”（l-\1a）,得虧1五一1而=不1石W1g<1+而「）

n（。2一。5=—。兇4=42（q2

利用累加可得含工聶+/4+4+…焉P+1所以。6==3.

11111111故選：D.

A?W0-34+3Xr2+3+，,-1007<34+3X62X6+8X93；<她

【分析】設等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,首項為Q],易得q羊1,根據(jù)等比數(shù)列的通項以及前n項和公式

100aloo>100x列方程組，求出首項與公比，最后根據(jù)通項即可求解.

lOOClinnV3"4.(2022?全國乙卷)嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人

造行星，為研究嫦娥二號繞H周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛“J：瓦=1+白，歷=1+

【分析】分析可知數(shù)列｛an｝是單調遞減數(shù)列，根據(jù)題意先確定上限，得到由此可推得100即<3,再將―^3=1-h

a1+_1....依此類推，其中akWN*(k=l,2,…).貝U()

5

++>-時際

原式變形確定下限，可得時+]工于九+3^23,n+1+1，由此可推得lOOaioo2綜合即可得到答

A.b]</>5B.Z?3VbgC.壇<b?D.b&Vby

【答案】D

2.(2022?新高考包卷)中國的古建筑不僅是擋風遮雨的住處，更是美學和哲學的體現(xiàn).如圖是某古建筑物的剖

【知識點】數(shù)列的應用

面圖，DDjeg,44i是舉，。劣，DC.,CB】,BA,是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

【解析】【解答】解：因為依6**=1,2,…)，所以Q1025=6。

故答案為：A.

所以V,故瓦>電，

同理可得b2Vb3，b>b,

13【分析】設數(shù)列經過第n次拓展后的項數(shù)為垢，再利用數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一

111

aa

又因為通,\+~T<\+項，則經過第n+l次拓展后增加的項數(shù)為b-l,再利用已知條件得出%+i=%+%-1=2與一1,再

。2+丐時離'n

利用遞推公式變形結合等比數(shù)列的定義，從而判斷出數(shù)列｛匕-1｝是以九=2為首項，2為公比的等比數(shù)

故b2Vb4,b>b:

34列，再利用等比數(shù)列的通項公式，進而得出數(shù)列｛叢｝的通項公式，進而得出經過11次拓展后在2與6之間增

以此類推，可得與>b?>壇>%故A錯誤;

加的數(shù)，從而得出經過II次拓展后6所在的位置，進而得出a1025的值。

?上海)已知［a］為等比數(shù)列，｛｝的前項和為，前項積為T,則下列選項中正確的是

。2。2+—~—r，得b2Vb6，故C錯誤；而b\>b-j>bg,故B錯誤;6.(2022nannS”nn

()

11

°】。2+―Sa2+---',得/>4<人7，故D正確.A.若52022>52021，則數(shù)列｛/J單調遞增

B.若72022>72021，則數(shù)列｛每｝單調遞增

故選：D

C.若數(shù)列｛S?J單調遞增,則02022之。2021

【分析】根據(jù)汝WN*(k=l,2,...)，再利用數(shù)列｛瓦｝與ak的關系判斷(bn］中各項的大小，即可求D.若數(shù)列｛T"｝單調遞增，則。20222。2021

解.【答案】D

5.(2022?浙江學考)通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2,3之間插入2與3的積6,得到數(shù)列2,【知識點】等比數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的性質

6,3；第2次，在2,6,3每兩個相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2,12,6,18,3；類似地，第3次操【解析】【解答】解：對于A,設時=玄，顯然有S2O22>S2O21，但數(shù)列Sn｝單調遞減，故A錯誤；

作后，得到數(shù)列：2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為｛an),則

對于B,設%=2,顯然有72022>72021，但數(shù)列｛加｝單調遞減，故B錯誤；

Q1025的值是()

對于C,設即二去，顯然有數(shù)列｛%｝單調遞增，但。2。22<。2021，故C錯誤；

A.6B.12C.18D.108

對于D,若數(shù)列｛Tn｝單調遞增，則Tn>TQ0,則*1,qNl,則知)22工。2021，故D正確.

【答案】A

故答案為：D

【知識點】等比數(shù)列；等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列遞推式

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質，結合特殊值法求解即可.

【解析】【解答】設數(shù)列經過第n次拓展后的項數(shù)為bn,因為數(shù)列每?次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項中贈加

二、填空題

一項，則經過第n+l次拓展后增加的項數(shù)為bn-l,

7.(2022?全國乙卷)記S“為等差數(shù)列Sn｝的前〃項和.若2s3=3S2+6,則公差d=.

所以》n+l=勾+%一1=2bn—1，

【答案】2

即d-l=2(h?-l),即冬早=2,

n+1【知識點】等差數(shù)列：等差數(shù)列的通項公式

所以數(shù)列｛垢一1｝是以d=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，【解析】【解答】由2s3=3s2+6可得2(%+a2+Q3)=3(%4-a2)+6?化簡得2a3=%+a2+6?即

nn

是以bn-1=2?所以bn=2-￥1,2(%+2d')=2a1+d+6，解得d=2.

則經過11次拓展后在2與6之間增加的數(shù)為21°一1，故答案為：2

所以經過11次拓展后6所在的位置為第21°一1+1+1=21°+1=1025，【分析】轉化條件為2(%+2d)=2%+d+6,即可得解.

【分析】利用已知的數(shù)列的通項公式結合代入法得出數(shù)列的第二項的值；再利用等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列

8.(2022?北京)已知數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，其前n項和Sn，滿足0ns=98=1,2,…)給出下

｛a｝是以2為首項2為公差的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列前n項和公式，進而得出等差數(shù)列前4項的值。

列四個結論：n

三、解答題

①｛斯｝的第2項小于3：②｛時｝為等比數(shù)列：

10.(2022?浙江)已知等差數(shù)列｛%J的首項的=-1,公差d>1.記｛an]的前n項和為S“(nWN*).

?[a]為遞減數(shù)列；?｛a]中存在小于焉的項。

nn(1)若S4—2a2a3+6=0,求配:

其中所有正確結論的序號是.

<II)若對于每個nWN，，存在實數(shù)cn,使%+j,a〃+i+4c〃，an+2+15cn成等比數(shù)列，求d的

【答案】①③④

取值范圍.

【知識點】數(shù)列的應用；數(shù)列遞推式

【答案】解：(I)設%=(n-l)d-l,依題意得，6d-4-2(d-l)(2d-1)+6=0.

【解析】【解答】n=1,可得由2=9,又各項均為正，可得。1=3,令樸=2可得即(3+。2)=

解得d=3,則%=3n—4，72€N*,

9,可解得a2=3(,-1)v3,故①正確；

nn

于是Sn=3(1+2+-+n)-4n=?(?歲=中]=以3g一@),nEN*.

當九之2時，由■得Sn_i=U-,于是可得斯=怖一言，即#-=匕等一，若M為

aa9

n味1na7l-i?n-l

(U)設0n=(n-l)d—l,依題意得，

等比數(shù)列，則nN2時a“+i=a“，即從第二項起為常數(shù)，可檢驗n=3則不成立，故②錯誤；

2

[cn+(n—l)d-l][15cn+(ri+l)d-1J=[4cn+nd—l],

aS=9(n=1,2,???).可得斯-5.=%+i-5.+i，于是<1，所以%+1<%，于是22

nn15cM+[(16n-14)d—16]cn+(n—l)d—2nd+1=16cJ+8(nd—l)cn+712d2-2nd+1

③正確：2

Cn+[(14-8n)d+8]cn+d=0

故4=[(14-8n)d+8]2-4d2=[(12-8n)d+8][(16-8n)d+8]>0

對于④，若所有項均大于等于焉，取n>90000，則忐，S“>9,于是0n?Sn>9與已知矛

[(3-2n)d+2][(2-n)d+1]>0對任意正整數(shù)n成立.

盾，所以④錯誤.

n=1時，顯然成立；

【分析】先令n=l、n=2計算數(shù)列的首項和第二項即可判斷①：根據(jù)S?,an的關系，求得苦=

n=2時，-d+2N0,則dW2：

匕號」假設｛%｝為等比數(shù)列，經檢驗n=3不成立，判斷②錯誤：由由「Snugmul,2,.■?),可得

nN3時，[(2n-3)d-2][(n-2)d-1]>(2n-5)(n-3)>0.

a?S?=a?+1S?+i,于是警,所以an+1<a?,于是③正確：利用反證法推出矛盾即可判綜上所述，l<dW2.

un°n+l

【知識點】等差數(shù)列的前n項和：等比數(shù)列的性質

斷④.

【解析】【分析】(I)由等差數(shù)列｛%J的首項5=-1及S4-2Q2a3+6=0可得關于公差~的方程，再由

9.(2022?浙江學考)若數(shù)列｛%｝通項公式為a,.=2n,記前n項和為,則a2=；

公差d的范圍可得d的值，最后根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式可得S”；

S4=?

【答案】4；20(II)設%=5—1加一1，由即+%，即+1+4。1，%+2+15。成等比數(shù)列，可得關于0的二次方程，

【知識點】等差數(shù)列；等差數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的前n項和由判別式大于等于?？傻胐的表達式，對n分情況討論可得d的取值范圍.

【解析】【解答】因為0n=2"，所以。2=4,

又因為%+i-%=2，%=2,所以數(shù)列｛%J是以2為首項2為公差的等差數(shù)列，11.(2022?新高考團卷)已知｛an｝為等差數(shù)列，｛%｝是公比為2的等比數(shù)列，且&-B=。3-&/一

?

則s4=4(勺:勺)=2x(2+8)=20。

(1)證明：4=必：

故答案為：4：20o

(2)求集合｛k|M=am+Q_1<m<500｝中元素個數(shù).

【答案】（1）證明：設數(shù)列｛?｝的公差為d,所以，Ut/一蕾:”十不二室，即可解得，兒=（2）由（1）及等比中項的性質求出ai,即可得到｛癡｝的通項公式與前n項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質計算可

得.

4=苧，所以原命題得證.

13.（2022?北京）已知Q：alf%，…，以為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m,若對任意的ne（l,2,

（2）解：由（1）知d=2瓦=2%，

fc-1???,m]?在Q中存在Q],Q,+i，%+2，…，4+/030），使得Qi+Qf+i+Qi+2■*-----?-ai+j=n，則稱Q

由瓦=am+Qi知：bi-2=a1+（m-1）?d+cq

即名?2k~l=bi+（m-1）-2bl+打，即2fc-1=2m，為m-連續(xù)可表數(shù)列.

因為14m4500,故242"-i<1000,解得24k410（I）判斷Q：2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說明理由：

故集合｛kI瓦=%n+%，1&m4500）中元素的個數(shù)為9個.

（0）若Q：a2，…，Q/c為8-連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；

【知識點】集合中元素個數(shù)的最值；等差數(shù)列；等比數(shù)列

（III）若Q：%,a?,…，ak為20-連續(xù)可表數(shù)列，%+做+…+縱<20,求證：k>7.

【解析】【分析】（1）設數(shù)列｛%｝的公差為d,根據(jù)題意列出方程組即可證出：

（2）根據(jù)題意化簡可得血二2-2,即可解出.【答案】（I）若m=5?則對于任意"W｛1,2,…，5｝?Q]=2,a?=1，=4，。2+。3=9所以Q是

5-連續(xù)可表數(shù)列；由不存在任意連續(xù)若干項之和相加為6,所以Q不是6-連續(xù)可表數(shù)列：

12.（2022?全國甲卷）記Sn為數(shù)列｛Qn｝的前n項和.已知答+n=2%+l.

（II）若k<3,設為a,b,c,則至多a+b,b+c,a+b+c,a,b,c6種矛盾k=4,3,2,1,4

（1）證明：｛an｝是等差數(shù)列：

滿足

（2）若a4,%，的成等比數(shù)列，求Sn的最小值.

2*e,^tnin>4

【答案】（1）已知華^+九=24+1,即2Sn+n=2nan+n@,

（III）若kg5,則a?，…，ak至多可表15個數(shù)，與題意矛盾，若k=6,Q：a>b，c,d,e,f至多

2

當n22時，2Snr+（n-l）=2（n-l）an_i+（n-1）②，

可表個數(shù)，而所以其中有負的，從而可表?及那個

2221a+b+c+d+e+/V20,a,b,c,d,e,f120

（J）-②得,2Sn4-n—2Sn_1—（n—l）=2nan4-n—2（n—l）（zn_i—（n-1）,

負數(shù)（恰21個）

即2a〃+2n-1=2nan-2（n—l）an-i+1>

這表明a-f中僅一個負的，沒有0,且這個們的在a-f中絕對值最小，同時中沒有兩數(shù)相同，設

即2（n-l）an-2（n-1）冊_]=2（n—1）,所以Q”-=1,九二2且〃GN*,

那個負數(shù)為-m（m>1）

所以｛即｝是以1為公差的等差數(shù)列.

（2）由（1）中%一即_1=1可得，。4=+3,a7=+6,AABC,則所有數(shù)之和>Tn+1+m+2+???4-7H+5-m=4?n+15,4m+15<19=>m=1

又。，。，的成等比數(shù)列，所以a=。，。

477249,｛a,b,c,d,e,/｝=｛-1,2,3,4,5,6｝,再考慮排序

即（%+6）2=（即+3）-（ai+8），解得的=-12,

???1=-1+2（僅一種方式）

所

所

以

以

Qn-又

13?

2n當=???-1與2相序

乩12

所

-或n=

7113若“不在兩端，則2—“形式

【知識點】等差數(shù)列；等差數(shù)列的前n項和：等比數(shù)列的性質；數(shù)列遞推式

若x=6,WJ5=6-1（2種方式矛盾）

Sfn=1

【解析】【分析】（1〉依題意可得2S〃+n2=27ian+n，根據(jù)即=I,作差即可得到時-???戈H6,問理工工5,4,3，故-1在一端，不妨為"T2ABCD：形式

ISn-Sn_vn>2

右4=3,則5=2+3（2種矛盾）4=4同理不行

an-i=1＞從而得證;

A=5,則6=-1+2+5（2種矛盾）從而力=6

由7=-1+2+6,由表法唯一知3,4不相鄰，故只能一L2,3,4,5,40因為nEN9,所以-4T>0,

n+1

或一1,2,6,4,5,3②這2種情形所以2-高<2,

對①9=6+3=5+4矛后即/+方+…+/<2.

對②8=2+6=5+3也矛盾

[知識點】數(shù)列的概念及簡單表示法；等差數(shù)列的通項公式：數(shù)列的求和：數(shù)列遞推式：數(shù)列與不等式的綜合

綜上k豐6

【解析】【分析】⑴根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得S?=(1n+1)a?.由利用S”與a“的關系，得諾=

k>7

吐|,再利用累積法，可得a”；

【知識點】數(shù)列的應用；數(shù)列與不等式的綜合71—1

t解析】【分析】(I)根據(jù)可表數(shù)列的定義即可判斷；⑵由⑴得奈=24-急)，利用裂項相消求和求得/+方+…+/=2-磊，再解不等式即可.

(II)反證法：假設kV3,則最多能表示6個數(shù)字，與Q為8-連續(xù)可表數(shù)列矛盾，故心4；

15.(2022?新高考13卷)已知函數(shù)/(x)=ex-ax和g(x)=ax-Inx有相同的最小值.

若仁則由，a....a至多可表個數(shù)，至多可表個數(shù)，而

(III)5,