第02講 與圓有關(guān)的性質(zhì)-圓心角定理（解析版）

第02講與圓有關(guān)的性質(zhì)——圓心角定理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①圓心角的認(rèn)識②圓心角定理能夠認(rèn)識并判斷圓心角掌握圓心角定理，能夠熟練的用圓心角定理解決相應(yīng)的題目知識點(diǎn)01圓心角的認(rèn)識圓心角的認(rèn)識：頂點(diǎn)為圓心且角的兩邊為半徑的角叫做圓心角。圓心角的大小范圍：圓心角α的大小范圍為0°＜α＜360°。題型考點(diǎn)：①圓心角的認(rèn)識與理解?！炯磳W(xué)即練1】1．下圖中∠ACB是圓心角的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、∠ACB不是圓心角；B、∠ACB是圓心角；C、∠ACB不是圓心角；D、∠ACB不是圓心角；故選：B．知識點(diǎn)02圓心角定理圓心角定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。圓心角定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的另外兩組量都分別相等。圓心角定理及其推論必須要在同圓或等圓中才成立?；〉亩葦?shù)：弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)。題型考點(diǎn)：①利用圓周角定理求角度。圓周角定理的相關(guān)證明?！炯磳W(xué)即練1】2．如圖，⊙O的半徑等于4，如果弦AB所對的圓心角等于120°，那么圓心O到弦AB的距離等于．【解答】解：如圖，∵圓心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案為：2【即學(xué)即練2】3．如圖，在半徑為6的⊙O中，弦AB的長為6，求圓心角∠AOB的度數(shù)和點(diǎn)O到AB的距離．【解答】解：過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，∵OA＝OB＝AB＝6，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴OC＝OA?sin60°＝6×＝3．【即學(xué)即練3】4．如圖，已知AB是⊙O的直徑，D、C是劣弧EB的三等分點(diǎn)，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（）A．40° B．60° C．80° D．120°【解答】解：∵D、C是劣弧EB的三等分點(diǎn)，∠BOC＝40°∴∠EOD＝∠COD＝∠BOC＝40°∴∠AOE＝60°．故選：B．【即學(xué)即練4】5．如圖，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，則∠COD＝°．【解答】解：∵在⊙O中，＝，∴＝，∵∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°．故答案為：40．【即學(xué)即練5】6．如圖，在⊙O中，若點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∠A＝50°，則∠BOC＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，故選：A．【即學(xué)即練6】7．已知：如圖，A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD．求證：∠AOC＝∠DOB．【解答】解：∵弦AB＝CD（已知），∴＝；∴∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，即∠AOC＝∠BOD．題型01圓心角定理及其推論【典例1】如圖，AB是⊙O的直徑，＝＝，若∠COD＝35°，則∠AOE的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．75° D．95°【解答】解：∵，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝75°．故選：C．【典例2】如圖，在⊙O中，∠AOB＝45°，則∠COD＝（）A．60° B．45° C．30° D．40°【解答】解：∵＝，∴∠COD＝∠AOB＝45°．故選：B．【典例3】如圖半徑OA，OB，OC將一個圓分成三個大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分線，∠AOE＝∠AOC，則∠DOE等于（）A．100° B．110° C．120° D．130°【解答】解：∵半徑OA，OB，OC將一個圓分成三個大小相同扇形，∴＝＝，∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，∵OD是∠AOB的角平分線，∴∠AOD＝∠AOB＝60°，∵∠AOE＝∠AOC，∴∠AOE＝×120°＝40°，∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝100°，故選：A．【典例4】如圖，AB是⊙O的直徑，，∠AOE＝78°，則∠COB的度數(shù)是．【解答】解：∵∠AOE＝78°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣78°＝102°，∵，∴，故答案為：34°．【典例5】如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，則⊙O的周長為（）A．4π B．6π C．8π D．9π【解答】解：如圖，連接OC、OD．∵AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC＝CD＝DA＝4，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴OA＝AD＝4，∴⊙O的周長＝2×4π＝8π．故選：C．【典例6】如圖，AB是⊙O的直徑，∠BOD＝120°，C為弧BD的中點(diǎn)，AC交OD于點(diǎn)E，DE＝1，則AE的長為．【解答】解：∵∠BOD＝120°，C為弧BD的中點(diǎn)，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝60°，∠BOC＝∠COD＝60°，∴∠BAC＝BOC＝30°，∴∠OEA＝180°﹣∠BAC﹣∠AOD＝90°，∴AO＝2OE＝OD，∵DE＝1，∴2OE﹣OE＝1，∴OE＝1，∴AE＝2，∴AE＝＝＝，故答案為：．1．下列語句中，正確的有（）（1）相等的圓心角所對的弧相等；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）長度相等的兩條弧是等??；（4）圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是對稱軸．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解答】解：（1）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故（1）不符合題意；（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故（2）不符合題意；（3）長度和度數(shù)相等的兩條弧是等弧，故（3）不符合題意；（4）圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是對稱軸，故（4）不符合題意．∴正確的有0個．故選：A．2．如圖，AB是圓O的直徑，BC、CD、DA是圓O的弦，且BC＝CD＝DA，則∠BCD等于（）A．100° B．110° C．120° D．135°【解答】解：連接OC、OD，∵BC＝CD＝DA，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA，∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°，∴∠BCD＝×2（180°﹣60°）＝120°．故選：C．3．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)H，若∠AOC＝45°，，則弦AB的長為（）A．4 B． C． D．【解答】解：∵OC⊥AB于H，∴AH＝BH，在Rt△AOH中，∠AOC＝45°，∵OH＝2，∴AH＝OH＝2，∴AB＝2AH＝4．故選：A．4．如圖，已知在⊙O中，BC是直徑，AB＝DC，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．OA＝OB＝AB B．∠AOB＝∠COD C． D．O到AB、CD的距離相等【解答】解：∵AB＝DC，∴弧AB＝弧DC，∴∠AOB＝∠COD，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB≌△COD（SAS），∴O到AB、CD的距離相等，所以B、C、D選項(xiàng)正確，故選：A．5．如圖，在⊙O中，＝2，則下列結(jié)論正確的是（）A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．以上都不正確【解答】解：取的中點(diǎn)E，連接AE，BE，∵在⊙O中，＝2，∴＝＝，∴AE＝BE＝CD，∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．故選：C．6．如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C、D為的三等分點(diǎn)，若∠COD＝50°，則∠BOE的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．50° D．60°【解答】解：∵點(diǎn)C、D為的三等分點(diǎn)，∴＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，∴∠AOE＝150°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝30°，故選：B．7．如圖，AB為⊙O的直徑，，∠BOD＝42°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．90° B．96° C．98° D．100°【解答】解：∵，∴∠COD＝∠BOD＝42°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AOC＝180°﹣∠COD﹣∠BOD＝180°﹣42°﹣42°＝96°．故選：B．8．如圖，在半徑為的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足為點(diǎn)P．若AB＝CD＝8，則OP的長為（）A． B． C．4 D．2【解答】解：連接OA、OC，過O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，則∠OFP＝∠OEP＝∠CEO＝∠AFO＝90°，∵AB⊥CD，∴∠EPF＝90°，∴四邊形OFPE是矩形，∴OE＝FP，EP＝OF，∵OF⊥AB，OF過O，AB＝8，∴AF＝BF＝4，由勾股定理得：OF＝＝＝2，同理OE＝2，即FP＝OE＝2，在Rt△OFP中，由勾股定理得：OP＝＝＝2，故選：B．9．如圖，AB是⊙O的直徑，＝，∠COD＝52°，則∠AOD的大小為．【解答】解：∵＝，∴∠COD＝∠BOC＝52°，∴∠AOD＝180°﹣∠COD﹣∠BOC＝76°，故答案為：76°．10．如圖，已知AB、CD是⊙O的直徑，＝，∠BOD＝32°，則∠COE的度數(shù)為度．【解答】解：∵∠BOD＝32°，∴∠AOC＝∠BOD＝32°，∵＝，∴∠AOE＝∠AOC＝32°，∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝32°+32°＝64°，故答案為：64．11．半徑為2cm的⊙O中，弦長為2cm的弦所對的圓心角度數(shù)為．【解答】解：如圖，作OD⊥AB，由垂徑定理知，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝AB＝（cm），∵cosA＝＝，∴∠A＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，故答案為：120°．12．如圖，在⊙O中，＝，則下列結(jié)論中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正確的是（填序號）．【解答】解：在⊙O中，＝，∴AB＝CD，故①正確；∵BC為公共弧，∴＝故④正確；∴AC＝BD，故②正確；∴∠AOC＝∠BOD，故③正確．故答案為：①②③④．13．如圖，已知圓O的弦AB與直徑CD交于點(diǎn)E，且CD平分AB．（1）已知AB＝6，EC＝2，求圓O的半徑；（2）如果DE＝3EC，求弦AB所對的圓心角的度數(shù)．【解答】解：（1）連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝r，OE＝r﹣2，∵CD平分AB，∴AE＝BE＝3，CD⊥AB，在Rt△OAE中，32+（r﹣2）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半徑為；（2）連接OB，如圖，∵DE＝3EC，∴OC+OE＝3EC，即OE+CE+OE＝3CE，∴OE＝CE，∴OE＝OC＝OA，在Rt△OAE中，∵sinA＝＝，∴∠A＝30°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠A＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，即弦AB所對的圓心角的度數(shù)為120°．14．如圖，在⊙O中，AB＝AC．（1）若∠BOC＝100°，則的度數(shù)為°；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半徑．【解答】解：（1）∵在⊙O中，∠BOC＝100°，∴∠BAC＝50°，∵＝，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴＝130°，故答案為：130；（2）連接AO，延長AO交BC于D，則AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12；在直角△OBD中，由勾股定理，得OB