2023年四川省遂寧市遂寧高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知向量3=（1,6），坂是單位向量，若忖一0=6,貝（）

兀n?！溉達271

A.—B.-C.—D.—

6433

/v2

2.已知雙曲線C:=-2=1（。＞0力＞0）的焦距為2c,過左焦點￡作斜率為1的直線交雙曲線C的右支于點P,若線

ab-

段PF1的中點在圓O:f+V=,2上，則該雙曲線的離心率為（）

A.72B.272C.V2+1D.2V2+1

3.7（x）==在原點附近的部分圖象大概是（）

4.已知機為實數(shù)，直線4：mx+y-l=O,l2：（3m-2）x+my-2=O,貝!J"機=1”是“（//夕的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并

創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”。如圖是

利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖，則輸出的〃值為（）（參考數(shù)據(jù)：

V3?1.732,sinl5°?0.2588,sin75°?0.9659)

6.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+?）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=4B./（x）=xsinxC.f（x）-x2+|x|D.y=+

7.已知定義在[0,+8）上的函數(shù)滿足/（x）=g/（尤+2）,且當(dāng)xe[0,2）時，/（幻=一一+2%.設(shè)/。）在

[2〃-2,2〃）上的最大值為%且數(shù)列｛4｝的前〃項的和為S“.若對于任意正整數(shù)〃不等式

MS,+1）22〃一9恒成立，則實數(shù)攵的取值范圍為（）

A.[0,+8）B.*+ocjC.奈+00D.二,+8

64

8.已知函數(shù)/（x）=lnx,g（x）=（2〃7+3）x+〃，若Vxe（0,+oo）總有/（x）Wg（x）恒成立.記（2根+3）〃的最小值

為*,%〃），則打的最大值為（）

9.已知定義在R上的偶函數(shù)當(dāng)轉(zhuǎn)。時，?。?，手,設(shè)方心偽?詆。加多,

則（）

A.b>a>cB.b>a=cC.a=c>bD.c>a>b

10.已知p：cosx=sin（g+y,4：x=>則p是《的（）

I2/

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

V

11.已知正四面體的內(nèi)切球體積為％外接球的體積為匕則一=()

v

A.4B.8C.9D.27

12.命題“7%>0,X。+1)>(左一1)2”的否定為()

A.Vx>0,x(x+1)>(x-1)2B.V%,0,x(x+l)>(x-lf

C.>0,x(x+1)?(x-1)2D.3A,,0,x(x+1)>(x-1)2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在AABC中，AB=25AC=45,ZB4c=90。，則AAHC繞8C所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表

面積為.

14.函數(shù)/(x)=ln(I-x)+j4+3x-x，的定義域是.(寫成區(qū)間的形式)

15.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，曲線C:孫=6上任意一點P到直線/:x+6y=0的距離的最小值為.

16.小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強國”的答題活動，要從4道題中隨機抽取2道作答，小李會其中的三道題，則抽到的2道題

小李都會的概率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐P-A5C。中，底面ABCD是邊長為2的菱形，ZADC=6O°,△B4Z)為等邊三角形，

平面24。，平面ABC。，M,N分別是線段PQ和8c的中點.

(1)求直線CM與平面所成角的正弦值；

(2)求二面角D-AP-B的余弦值；

(3)試判斷直線MN與平面弱8的位置關(guān)系，并給出證明.

18.(12分)已知數(shù)列｛凡｝為公差不為零的等差數(shù)列，S“是數(shù)列｛a,,｝的前〃項和，且％、生、生成等比數(shù)列，S7=49.

設(shè)數(shù)列也｝的前〃項和為T,,且滿足log,(7；,+2)=￡二.

(1)求數(shù)列｛4｝、｛<｝的通項公式;

⑵令q,證明:C1+c2+???+€?<3.

m

19.（12分）已知命題P：VxeR,x2-x+m>Q;命題4：函數(shù)/（x）=lnx-無零點.

（1）若F為假，求實數(shù)機的取值范圍；

（2）若〃八4為假，pvq為真,求實數(shù)，〃的取值范圍.

20.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點。，焦點在x軸上，右頂點A（2,0）到右焦點的

距離與它到右準(zhǔn)線的距離之比為!.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若M,N是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩點，設(shè)尸（-4,0）,連接PM交橢圓C于另一點￡.求證：直線NE過

定點8,并求出點8的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，過點B的直線交橢圓C于S,T兩點，求歷?討的取值范圍.

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為《一（加為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點。為極點，x軸正半軸

y=2m

為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為「sin夕-QCOS夕+1=0.

（I）求直線/的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；

/、11

（H）已知點P（2,l）,設(shè)直線/與曲線C相交于M,N兩點，求函+網(wǎng)的值.

22.（10分）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且8cos?殳工-2cos2A=3

2

（1）求A；

（2）若。=2,且面積的最大值為G，求AABC周長的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

設(shè)B=(x,y),根據(jù)題意求出x，＞的值，代入向量夾角公式，即可得答案;

【詳解】

設(shè)B=(x,y),，“一坂=(1一%,百一)),

??,石是單位向量，x2+y2=l,

口一目=5(17)2+(百_))2=3,

X=1,

聯(lián)立方程解得：

)=0,

X~~2,

—?—,TT

綜上所述：＜a,b＞=一.

3

故選：C.

【點睛】

本題考查向量的模、夾角計算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時

注意B的兩種情況.

2.C

【解析】

設(shè)線段2耳的中點為A，判斷出A點的位置，結(jié)合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.

【詳解】

設(shè)線段夕后的中點為A,由于直線6P的斜率是1,而圓O：f+y2=c2,所以A(0,C).由于。是線段耳外的中點，

所以|PK|=2|Q4|=2c,而仍用=2|AG|=2x&c=2夜C,根據(jù)雙曲線的定義可知-耳|一忙用=2”，即

2夜c-2c=2。，即一刀|三二&+L

故選：c

本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔

題.

3.A

【解析】

分析函數(shù)y=/(x)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間(0,〃)上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出正確選項.

【詳解】

令sinxoO,可得即函數(shù)y=/(x)的定義域為左心ZwZ},定義域關(guān)于原點對稱，

cos(-x)cosx

/(--?)=—7一;=--:一=-f(x),則函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，排除C、D選項；

sin(—x)sinx

當(dāng)0<*<兀時，e。05*〉。，sinx>0,則〃x)=——>0,排除B選項.

sinx

故選：A.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，考查分

析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

4.A

【解析】

根據(jù)直線平行的等價條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】

當(dāng)m=l時，兩直線方程分別為直線h：x+y-1=0,h：x+y-2=0滿足h〃L,即充分性成立，

當(dāng)m=()時，兩直線方程分別為y-1=0,和-2x-2=0,不滿足條件.

?.3m-2m-2

當(dāng)m/)時，則h〃12n-----=一0—，

m1-1

.3m—2mq_

由------=一得Min?-3m+2=0得m=l或m=2,

m1

.m—2..

由77—j?得n#2,則m=L

即“m=l”是“h〃L”的充要條件,

故答案為：A

【點睛】

(D本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價條件，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能

力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線qx+Oy+q=0和直線的x+%y+，2=°平行，則。1偽一。24=0且兩

直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.

5.C

【解析】

由〃=6開始，按照框圖，依次求出s,進行判斷。

【詳解】

〃=6ns='x6sin60°?2.598,n=12^s=-xl2sin30°=3,

22

n=24=>s=-x24sinl5°?3.1058,故選C.

2

【點睛】

框圖問題，依據(jù)框圖結(jié)構(gòu)，依次準(zhǔn)確求出數(shù)值，進行判斷，是解題關(guān)鍵。

6.C

【解析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項進行判斷即可.

【詳解】

A：y=為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

B：/(%)=心皿*在(0,+8)上不單調(diào)，不符合題意；

c：y=為偶函數(shù)，且在(0,+“)上單調(diào)遞增，符合題意;

o：y=|x+l|為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.

故選：c.

【點睛】

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

由已知先求出=2'T，即a?=2"，進一步可得5?=2"-1,再將所求問題轉(zhuǎn)化為k之節(jié)」對于任意正整

數(shù)〃恒成立，設(shè)％=冬?，只需找到數(shù)列｛%｝的最大值即可.

【詳解】

當(dāng)2〃-2〈x<2〃時，則0Wx+2-2〃<2,/(x+2-2〃)=-(x+2-2〃)(x-2〃)，

所以，/(x)=2"-1f[x-2(n-1)]=-2"-1(%+2-2n)(%-2n),顯然當(dāng)x=2〃_]時，

/(x)max=2J，故4=2"，S?=I*')=2"_i,若對于任意正整數(shù)n不等式

1—2

MS,+1)22〃—9恒成立，即k2"N2“一9對于任意正整數(shù)〃恒成立，即對于任

土丁1tah.皿t_,vv>rL2〃-911—2n人11—2n八11

意正整數(shù)”恒成立，設(shè)％=下「，cn+x-cn=—^,令亍L>°，解得〃<豆，

令與之<°，解得〃>]，考慮到〃eN*,故有當(dāng)〃K5時，｛%｝單調(diào)遞增，

33

當(dāng)“26時，有｛%｝單調(diào)遞減，故數(shù)列｛qj的最大值為，6=1=77，

264

3

所以22.

764T

故選：C.

【點睛】

本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前〃項和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識，是一道較

為綜合的數(shù)列題.

8.C

【解析】

根據(jù)Vx?O,M)總有/(x)Wg(x)恒成立可構(gòu)造函數(shù)/z(x)=lnx-(26+3)x-求導(dǎo)后分情況討論〃(x)的最大

值可得最大值最大值h\'1|=-ln(2m+3)-l-n,

I2m+3J

即一1“2〃2+3)—1一〃工(),根據(jù)題意化簡可得(2加+3)〃2(2〃2+3)[-111(2加+3)-1],求得

網(wǎng)加,〃）=（2加+3）[—111（2m+3）-1],再換元求導(dǎo)分析最大值即可.

【詳解】

由題，VXG（0,-KO）總有l(wèi)nx<（2/n+3）x4-/2即lnx-（2m+3）x恒成立.

設(shè)力（力=111%-（2〃2+3）工一明則〃（工）的最大值小于等于0.

又〃（x）=，_（2根+3）,

若2加+34。貝。'（x）>0,/z（x）在（0,+e）上單調(diào)遞增，〃（力無最大值.

若2m+3>0,貝!I當(dāng)x>云5三時,"（x）<0,//（X）在（另白，+=°]上單調(diào)遞減，

當(dāng)0<x<e三時,〃'（x）〉0,/z（x）在（°，司長]上單調(diào)遞增.

故在、=擊處取得最大值"（五=m上一一"=一1*2加+3）-1一〃.

故—ln（2n?+3）—1—〃<0,化簡得（2根+3）〃2（2根+3）[—In（2加+3）—1].

故F（m,n）=（2m+3）[-In（2m+3）-1]，令r=2m+3,（f>0）,可令左⑺=T（ln/+l）,

故%（）=-Inf-2,當(dāng)時，K⑺<（），S）在（7,+°0）遞減；

當(dāng)0<f<J時，K⑺>0,左。）在遞增.

故在f=J"處〃（/）取得極大值，為人（7）=一7（"/■+1]=/.

故尸（/〃,〃）的最大值為5.

故選：c

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題，需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍，再分析函數(shù)的最值，進而求導(dǎo)構(gòu)造

函數(shù)求解（2加+3）〃的最大值.屬于難題.

9.B

【解析】

f+2x

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，可判斷4，c關(guān)系；由XNO時，/5)=/一三三，求得導(dǎo)函數(shù)，并構(gòu)造函數(shù)g(x)=e'-x-l

由g'(x)進而判斷函數(shù)/(x)在x?0時的單調(diào)性，即可比較大小.

【詳解】

/(“)為定義在R上的偶函數(shù)，

所以c=/In#}/■/n*)=/(ln⑹

所以a=c；

r2+2%

當(dāng)x?O時，/a)=e'—

貝！Ir(x-—l,

令g(x)=e*-x-l

JH!lgf(x)=ex-l,當(dāng)尤20時，g'(x)="-120,

則g(x)="—x—l在x?()時單調(diào)遞增，

因為g(O)=e0-0-1=0,所以g(x)=e*-x-lNO,

即fr(x)=er-x-l>0,

2x

則/(幻=6"-土r~+產(chǎn)在X20時單調(diào)遞增，

而0<ln夜<0，所以

/(lnV2)</(V2),

綜上可知，/^ln^=/(lnV2)</(V2)

即a=c<。，

故選：B.

【點睛】

本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

10.B

【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡Sin[^+y\=cos），再分析即可.

【詳解】

JI）rr57rTCS77

[W+），=cos），,所以q成立可以推出P成立，但p成立得不到g成立，例如COS—=COS二，而一HJ,

所以P是g的必要而不充分條件.

故選：B

【點睛】

本題考查充分與必要條件的判定以及誘導(dǎo)公式的運用,屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

設(shè)正四面體的棱長為1,取8C的中點為O,連接4）,作正四面體的高為首先求出正四面體的體積，再利用

等體法求出內(nèi)切球的半徑，在RtMMN中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.

【詳解】

設(shè)正四面體的棱長為1,取8C的中點為。，連接AO,

作正四面體的高為

A

則==2AO=￡

233

PM=yJPA2-AM2=—,

3

.,z_173V6_V2

P-ABC34312

設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,內(nèi)切球的球心為

則%-ABC=4%-ABC=4Xgx7r，

解得：r-;

12

設(shè)外接球的半徑為R,外接球的球心為N,

則|MV|=|PM-R|或|R-PM|,AN=R,

在川聞4N中，由勾股定理得：

AM2+MN2^AN2,

.?.1+（逅—R]=/?2,解得R=近,

334

故選：D

【點睛】

本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式,

屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

套用命題的否定形式即可.

【詳解】

命題“VxeM,p(x)”的否定為“Hre”，所以命題“Vx>0,x(x+1)>(%-1)2”的否定為

u3x>0,x(x+l)<(x-1)2

故選：C

【點睛】

本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.6亞兀

【解析】

由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，根據(jù)圓錐側(cè)面積s=?〃計算公式可得.

【詳解】

解：由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，

在AAbC中，AB=2右，AC=亞,N6AC=90°,如下圖所示,

底面圓的半徑為'=A0==2

則所形成的幾何體的表面積為S=仃(4+4)=4X2X(2后+6)=6非兀.

故答案為：6亞兀.

【點睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積計算問題，屬于基礎(chǔ)題.

14.[-1,1)

【解析】

[l-x>0\x<\

要使函數(shù)/(X)有意義，需滿足，。,八，即1乙，解得TWx<l,故函數(shù)/(x)的定義域是1-1,1).

|4+3x-x~20[-14x44

15.5/3

【解析】

解法一：曲線C上任取一點立]，利用基本不等式可求出該點到直線/的距離的最小值；

Ix0J

解法二：曲線C函數(shù)解析式為由了=-走求出切點坐標(biāo)，再計算出切點到直線/的距離即可所求答案.

x3

【詳解】

解法一（基本不等式）：在曲線。上任取一點PX。，

.3

該點到直線/的距離為,京

a=--------

2

當(dāng)且僅當(dāng)上|=廚時,即當(dāng)x0=±G時，等號成立,

因此，曲線c上任意一點。到直線/距離的最小值為6;

解法二（導(dǎo)數(shù)法）：曲線。的函數(shù)解析式為＞=走，則了=-§,

XX

設(shè)過曲線C上任意一點PX。,乎］的切線與直線/平行，則-，!=-等，解得/=±6,

當(dāng)天=石時，「（百』）到直線/的距離“=2^5=6；

當(dāng)天=一6時，尸卜6,—1）到直線/的距離1=乎=6.

所以曲線C:孫=唐上任意一點到直線/:X+百y=0的距離的最小值為73.

故答案為：6

【點睛】

本題考查曲線上一點到直線距離最小值的計算，可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來找出切點，轉(zhuǎn)化為切點到直線的距離,

也可以設(shè)曲線上的動點坐標(biāo)，利用基本不等式法或函數(shù)的最值進行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等

題.

1

16.-

2

【解析】

從四道題中隨機抽取兩道共6種情況，抽到的兩道全都會的情況有3種，即可得到概率.

【詳解】

由題：從從4道題中隨機抽取2道作答，共有C：=6種，

小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的情況共有=3種，

C；.l

所以其概率為

故答案為：—

2

【點睛】

此題考查根據(jù)古典概型求概率，關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個數(shù).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)叵(2)-且(3)直線MN//平面證明見解析

105

【解析】

取中點。，連接OC,則OC_LAD,再由已知證明OP,平面ABC。，以。為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)C,OD,OP

所在直線為x,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面加8的一個法向量方.

(1)求出揄的坐標(biāo)，由;;與c卷所成角的余弦值可得直線CM與平面Q鉆所成角的正弦值；

(2)求出平面PAD的一個法向量，再由兩平面法向量所成角的余弦值可得二面角。-AP-3的余弦值；

(3)求出加的坐標(biāo)，由二加=0,結(jié)合腦v(z平面Q43,可得直線MN//平面RR.

【詳解】

???底面ABC。是邊長為2的菱形，ZADC=60°,

AACD為等邊三角形.

取AO中點。，連接OC,則OC_LA￡>,

為等邊三角形，

:.OPLAD,

又平面PAD_L平面ABC。，且平面PAOpI平面ABCD=，

.?.OP，平面ABC。.

以。為坐標(biāo)原點，分別以oc,OD,。。所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

N

x

則A(0,-J,0),0(0,1,0),C(V3,0,0),8(石，-2,0),P(0,0,我,

M(0,；，與,N(百，-1，0).

還=(0,1,6)，6=(△-1,0)，設(shè)平面的一個法向量為*=(x,y,z)?

n-AP=y+>j3z=0r-

由1'r-，取y=j3,得"

n-AB=y/3x-y=0

(1)證明：設(shè)直線CM與平面所成角為。，

涼=(一星，爭，

則sin6=|cos<n,CM>|=但.看!=-fi—=—,

|；||CM|后x210

即直線CM與平面A46所成角的正弦值為叵;

10

(2)設(shè)平面ZMP的一個法向量為2=(1,0,0),

,ttn-m1\/5

由cos<ti,m>=~rr~~尸=,

\n\-\m\V5xl5

得二面角O-AP-B的余弦值為-好；

5

（3）加=（G,_|,_g）,

.TAAKTFl3G,6八

??tvMN=5/3-------H------=0>

22

又MNo平面PAB,

???直線MV//平面

【點睛】

本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考

查推理能力與計算能力，屬于中檔題.

18.（1）an=2n-\,bn=2"

（2）證明見解析

【解析】

（1）利用首項q和公差d構(gòu)成方程組，從而求解出｛4｝的通項公式；由｛4｝的通項公式求解出S“的表達式，根據(jù)

log?（北+2）=瓦以及2=7；—7；“（〃之2）,求解出也｝的通項公式；

（2）利用錯位相減法求解出｛%｝的前〃項和““，根據(jù)不等關(guān)系證明即可.

【詳解】

(1)設(shè)首項為4,公差為d.

a2~ai'a5

由題意，得，7x64>解得4=1，d=2

I'2

：.a?=2n-\,S?+l=-----尸——-=(?+1)

...1鳴(7；+2)=瓦="+1,...7；=2的-2

當(dāng)“N2時，7；_1=2"-2

：.bn=Tn-Tn_x=2\"22.當(dāng)〃=1時,4=1=2滿足上式.

.，.bn=2"

217—1

（2）=，令數(shù)列｛c'｝的前”項和為

?1352?-1

"2'22232"

1?1352H-32n-l

”，=尹+釬廣一+----17

2"----2,,+,

兩4式相—減得”1〃=十1J2(齊1+/1…+牙11卜2/尸7-1

1rt-1、

1272〃一132〃+3

22"+122”

=3￥<3恒成立，得證.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，難度一般.（1）當(dāng)用a“=S,-5,1（“22）求解｛%｝的通項公式時，一定

要注意驗證〃=1是否成立；（2）當(dāng)一個數(shù)列符合等差乘以等比的形式，優(yōu)先考慮采用錯位相減法進行求和，同時注意

對于錯位的理解.

19.(1)m>一(2)(一,一］

e4e

【解析】

77?

(1)F為假，則<7為真，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)/(尤)=Inx-,x有零點條件得機的取值范圍;

(2)由「入4為假，pvq為真,知P，4一真一假；分類討論列不等式組可解.

【詳解】

Iny/77

(1)依題意，4為真，則Inx——x=0無解，即——=一無解；

2x2

..、Inxr,，,、1—Inx

令g(x)=——，貝！lg(x)=—―,

XX

故當(dāng)xe(O,e)時，g[x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(e,+8),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

作出函數(shù)g(x)圖象如下所示，

f但rim12

觀察可知，一>gz(ex)=-,即加〉一；

2ee

(2)若P為真,則△=1—4m<0,解得/“>,；

4

由〃為假，pvq為真,知〃國一真一假；

1

m>—

412

若〃真q假，則實數(shù)團滿足:，則一<加4—；

4e

m<—

e

m<—

4

若〃假4真，則實數(shù)加滿足彳；，無解；

17

綜上所述，實數(shù)〃?的取值范圍為(一,一].

4e

【點睛】

本題考查根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)的問題.

其思路：與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題.解決此類問題時，一

般先利用等價轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值

或范圍.

丫22S

20.(1)—+^-=1；(2)證明詳見解析，B(-l,0)；(3)-4,--

43'"L4

【解析】

⑴根據(jù)題意列出關(guān)于a,b,c的等式求解即可.

(2)先根據(jù)對稱性，直線NE過的定點8一定在x軸上，再設(shè)直線PM的方程為)，=女。+4),聯(lián)立直線與橢圓的方程，進

而求得NE的方程，并代入乂=人(玉+4),y2=k(x2+4)化簡分析即可.

(3)先分析過點B的直線ST斜率不存在時OS-Of的值，再分析存在時,設(shè)直線ST的方程為y=m(x+\)，聯(lián)立直線與橢

圓的方程，得出韋達定理再代入面?討=玉毛+%為求解出關(guān)于攵的解析式，再求解范圍即可?

【詳解】

解：(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程與

+方=l(a>/?>0),焦距為2c,

Cl

由題意得,。=2,

a-c_c_1

由P~a~2，可得c=l,

-a

c

則〃2=片-C2=3,

22

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1;

43

(2)證明：根據(jù)對稱性，直線NE過的定點B一定在x軸上，

由題意可知直線PM的斜率存在，

設(shè)直線PM的方程為y=k(x+4),

y=k(x+4)

聯(lián)立，x2y?，消去)，得至?。?4K+3)%2+32女?x+64左2-12=0,

---F--=1

43

設(shè)點時(知凹),七(乙,%)，

則

64^-12

所以玉+x=---^,x,x=

2r24r+3

所以NE的方程為丁一乂二絲土上口一馬），

/一%

令y=0,得x=%=

%+X

將）1=%（玉+4）,%=攵（々+4）代入上式并整理,

2X1X2+4（%+x2）

X+*2+8

（12弘2-24）-12弘2

整理得釬京■西一，

所以，直線NE馬x軸相交于定點8（-1,0）.

（3）當(dāng)過點B的直線ST的斜率不存在時，直線ST的方程為x=—l

此時OGO7=-9,

4

當(dāng)過點B的直線ST斜率存在時,

設(shè)直線ST的方程為.V=m{x+1）,且S（x3,%）,T（X4，乂）在橢圓C上,

y=m（x+V）

聯(lián)立方程組/2,

——+—=1

消去y,整理得（4〃/+3）x2+8m2x+4m2-12=0,

貝!IA=（8m2）2-4（4w2+3）（W-12）=144（/M2+1）＞0.

8m2_462—12

所以馬+冗4=

4M+3'4m2+3'

9m2

m

所以y3y4=（工3+1）（工4+1）=~（工3%4+工3++1）=

4m2+3

7vr5M+12533

所以O(shè)S.°T~X3X4+y3y4=一---2~~1~；—TV,

4m+344（4機2+3）

由〃，N0,得。S?OTe—4,——j,

綜上可得,(方.而的取值范