第24章圓單元測試能力提升卷-【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）第24章圓單元測試（能力提升卷）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分100分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2023秋?梁溪區(qū)校級期中）已知⊙O的直徑是10，點(diǎn)P到圓心O的距離是5，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．不能確定【答案】B【分析】首先求得該圓的半徑，再根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進(jìn)行分析判斷．若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【解答】解：根據(jù)題意，得該圓的半徑是5，大于點(diǎn)P到圓心O的距離5，則點(diǎn)P在⊙O上，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，這里要特別注意8是圓的直徑；掌握點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023?南海區(qū)校級模擬）如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】連接OA，如圖，先根據(jù)垂徑定理得到AE＝BE＝8，然后利用勾股定理計算出OA即可．【解答】解：連接OA，如圖，∵CD⊥AB，∴AE＝BE=12AB=12在Rt△OAE中，OA=OE即⊙O半徑為10．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?．（2023秋?梁溪區(qū)校級期中）下列說法中，正確的是（）A．長度相等的弧是等弧 B．在同圓或等圓中，等弦對等弧 C．優(yōu)弧一定比劣弧長 D．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等【答案】D【分析】根據(jù)等弧、優(yōu)弧、劣弧的定義以及圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理判斷即可．【解答】解：A、能夠重合的弧是等弧，說法錯誤，故選項不符合題意；B、在同圓或等圓中，等弦所對的劣弧和劣弧相等，優(yōu)弧和優(yōu)弧相等，說法錯誤，故選項不符合題意；C、優(yōu)弧一定比劣弧長，說法錯誤，條件是同圓或等圓中，故選項不符合題意；D、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，說法正確，故選項符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系以及圓的認(rèn)識，解題的關(guān)鍵是掌握圓心角，弧，弦之間的關(guān)系．4．（2023?鹿城區(qū)校級三模）已知圓錐的底面半徑是4，母線長是5，則圓錐的側(cè)面積是（）A．10π B．15π C．20π D．25π【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形、扇形的面積公式計算，得到答案．【解答】解：圓錐的側(cè)面積=12×2π×4×5＝故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是圓錐的計算，理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022秋?盤龍區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BCD＝124°，則∠A的度數(shù)為（）A．24° B．51° C．56° D．62°【答案】C【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，即可計算．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣124°＝56°．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查圓內(nèi)接四邊形，關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．6．（2023秋?青秀區(qū)校級期中）如圖，A，P，B，C是⊙O上的四點(diǎn)，∠APC＝∠BPC＝60°，PA＝2，PC＝6，則AB長為（）A．25 B．35 C．27 D．37【答案】C【分析】過點(diǎn)A作AH⊥PC于點(diǎn)H．首先證明△ABC是等邊三角形，解直角三角形求出AC，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥PC于點(diǎn)H．∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵AH⊥PC，∠APC＝60°，∴AH＝PA?sin∠APC＝PA?sin60°＝2×32=3，PH＝PA?cos∠APC＝PA?cos60°＝∴CH＝PC﹣PH＝6﹣1＝5，∴AC=AH2∴AB＝27．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．7．（2023?泰山區(qū)校級自主招生）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，AC經(jīng)過點(diǎn)O，與⊙O分別相交于點(diǎn)D，C，若∠ACB＝30°，AB=3A．32 B．33 C．32-【答案】C【分析】首先求出∠AOB，OB，然后利用S陰＝S△ABO﹣S扇形OBD計算即可．【解答】解：連接OB．∵AB是⊙O切線，∴OB⊥AB，∵OC＝OB，∠C＝30°，∴∠C＝∠OBC＝30°，∴∠AOB＝∠C+∠OBC＝60°，在RT△ABO中，∠ABO＝90°，AB=3，∠A＝30∴OB＝1，∴S陰＝S△ABO﹣S扇形OBD=12×故選：C．【點(diǎn)評】本題考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，直角三角形30度角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分割法求面積，記住扇形面積公式，屬于中考?？碱}型．8．（2023?興寧市二模）如圖所示，AB為⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)G，∠CDB＝30°，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB延長線于點(diǎn)E，在不添加輔助線的情況下，角度為30°的角的個數(shù)為（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)得∠A＝∠OCA＝∠CDB＝30°，從而得∠BOC＝60°再根據(jù)CD⊥AB，即可得∠OCG＝30°，最后根據(jù)CE是⊙O的切線，得∠OCE＝90°，從而得∠E＝30°，即可得出答案．【解答】解：∵OA＝OC，∠A＝∠CDB＝30°，∴∠A＝∠OCA＝30°，∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝60°，∵CD⊥AB，∴∠CGO＝90°，∴∠OCG＝90°﹣∠BOC＝30°，∵CE是⊙O的切線，∴CE⊥OC，∴∠OCE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠BOC＝30°，∴∠A＝∠CDB＝∠OCA＝∠OCG＝∠E＝30°，即在不添加輔助線的情況下，角度為30°的角的個數(shù)為5個．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理和切線的性質(zhì)上解題的關(guān)鍵．9．（2023秋?蘇州期中）如圖，⊙O是△ADB，△BDC的外接圓，∠DBC＝2∠ADB，若AB＝25，CD＝8，則⊙O的半徑為（）A．25 B．5 C．112 D【答案】B【分析】連接OA、OB、OC、OD，過點(diǎn)O作OE⊥CD，交CD于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求出DE，根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】解：如圖，連接OA、OB、OC、OD，過點(diǎn)O作OE⊥CD，交CD于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，則∠DOE=12∠DOC，DF=12∵∠DBC＝2∠ADB，∴∠DOC＝2∠AOB，∴∠DOE＝∠AOB，∴DE＝AB＝25，∴EF=DE設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ODF中，OD2＝DF2+OF2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得：r＝5，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023?岱岳區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y=14x2-4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C（0，3）為圓心，2為半徑的圓上的動點(diǎn)，Q是線段PAA．25 B．52 C．3 D【答案】D【分析】連接PB，由拋物線y=14x2-4關(guān)于y軸對稱，得到OA＝OB，因此OQ是△APB的中位線，得到OQ=12PB，當(dāng)PB過圓心C時，PB長最大，OQ長最大，求出B的坐標(biāo)是（4，0），得到OB【解答】解：連接PB，∵拋物線y=14x∴OA＝OB，∵PQ＝AQ，∴OQ是△APB的中位線，∴OQ=12∴當(dāng)PB長最大時，OQ長最大，當(dāng)PB過圓心C時，PB長最大，當(dāng)y=14∴x＝±4，∴B的坐標(biāo)是（4，0），∴OB＝4，∵C的坐標(biāo)是（0，3），∴OC＝3，∴BC=OC∵⊙C的半徑是2，∴PC＝2，∴PB＝PC+BC＝7，∴OQ=7∴OQ的最大值是72故選：D．【點(diǎn)評】本題考查三角形中位線定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是明白當(dāng)PB過圓心C時，PB長最大，由三角形中位線定理即可求解．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2023秋?東城區(qū)校級期中）如圖，在⊙O中AB是直徑，CD⊥AB，∠BAC＝30°，OD＝2，那么DC的長等于23．【答案】23．【分析】由垂徑定理推出BD=BC，DH＝CH，由圓周角定理得到∠BOD＝2∠A＝60°，求出∠D＝90°﹣∠BOD＝30°，因此OH=12OD＝1，由勾股定理求出DH=3，即可得到CD＝2【解答】解：∵AB是直徑，CD⊥AB，∴BD=BC，DH＝∴∠BOD＝2∠A＝2×30°＝60°，∴∠D＝90°﹣∠BOD＝30°，∴OH=12OD=12∴DH=O∴CD＝2DH＝23．故答案為：23．【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，關(guān)鍵是由圓周角定理推出∠BOD＝60°．12．（2023秋?越秀區(qū)校級期中）如圖所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，∠BOC＝130°，AD∥OC，則∠AOD＝80°．【答案】80°．【分析】先根據(jù)題意求出∠AOC＝50°，再利用AD∥OC，得到∠DAO＝∠AOC＝50°，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠AOD＝80°．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∠BOC＝130°，∴∠AOC＝50°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠AOC＝50°，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠ADO﹣∠DAO＝180°﹣50°﹣50°＝80°故答案為：80°．【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋?溫州期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，記△ACE的周長為C1，正六邊形ABCDEF的周長為C2，則C1C2的值為【答案】32【分析】設(shè)正六邊形的邊長為a，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出DH，從而得出CE的長，進(jìn)而解決問題．【解答】解：設(shè)正六邊形的邊長為a，連接AD，交CE于H，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴DC＝DE＝a，∠CDE＝120°，AD⊥CE，∴DH=12∴CE＝2CH=3a由正六邊形的性質(zhì)知，△ACE是等邊三角形，∴C1故答案為：32【點(diǎn)評】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋?大連期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點(diǎn)．∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)是130°．【答案】130°．【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解．【解答】解：∵∠A+∠BCD＝180°，∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE＝65°，∴∠BOD＝2∠A＝130°．故答案為：130°．【點(diǎn)評】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．15．（2023秋?西湖區(qū)校級期中）已知△ABC的邊BC=42，且△ABC內(nèi)接于半徑為4cm的⊙O，則∠A的度數(shù)為45°或135°【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接OB、OC，作OD⊥BC于D，則∠ODB＝90°，由垂徑定理得出BD＝CD=12BC，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BOD＝∠COD=12∠BOC，由三角函數(shù)求出∠BOD＝45°，得出∠【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)△ABC是銳角三角形時；連接OB、OC，作OD⊥BC于D，如圖1所示：則∠ODB＝90°，BD＝CD=12BC＝22cm，∠BOD＝∠COD=1∵sin∠BOD=BD∴∠BOD＝45°，∴∠BOC＝90°，∴∠A=12∠BOC＝②當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，如圖2所示：∠A＝180°﹣45°＝115°；綜上所述：∠A的度數(shù)為45°或135°，故答案為：45°或135°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度適中．16．（2023秋?蘇州期中）如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)F，∠AFC＝45°，點(diǎn)E是AF上一點(diǎn)，EF＝10cm，點(diǎn)O從點(diǎn)E出發(fā)，以1cm/s的速度沿射線EB運(yùn)動．以點(diǎn)O為圓心，23OE長為半徑作⊙O，若點(diǎn)O運(yùn)動的時間為t，當(dāng)⊙O與直線CD相切時，則t的值為6或30【答案】6或30．【分析】當(dāng)O點(diǎn)在F點(diǎn)左側(cè)與⊙O相切時，作OH⊥CD于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OH=23OE，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OF=23OE，則OE＝10-23OE，解方程求出OE，然后計算此時t的值；當(dāng)O點(diǎn)在F點(diǎn)右側(cè)與⊙O相切時，作O′H′⊥CD于H′點(diǎn)，如圖，同樣得到O′H′=23OE′，O′F=23O′E，則O′E＝10+【解答】解：當(dāng)O點(diǎn)在F點(diǎn)左側(cè)與⊙O相切時，作OH⊥CD于H點(diǎn)，如圖，∴OH=23∵∠AFC＝45°，∴OF=2OH=2×2∴EO＝EF﹣OF，∴OE＝10-23解得OE＝6，此時t=61當(dāng)O點(diǎn)在F點(diǎn)右側(cè)與⊙O相切時，作O′H′⊥CD于H′點(diǎn)，如圖，∴O′H′=23∵∠DFB＝∠AFC＝45°，∴O′F=2O′H′=2×23O′E∴EO′＝EF+O′F，∴O′E＝10+23O′解得O′E＝30，此時t=301綜上所述，t的值為6秒或30秒．故答案為6或30．【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了扇形的面積公式．三、解答題（本大題共7小題，共52分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022秋?槐蔭區(qū)期末）如圖所示的拱橋，用AB表示橋拱．（1）若AB所在圓的圓心為O，EF是弦CD的垂直平分線，請你利用尺規(guī)作圖，找出圓心O．（不寫作法，但要保留作圖痕跡）（2）若拱橋的跨度（弦AB的長）為16m，拱高（AB的中點(diǎn)到弦AB的距離）為4m，求拱橋的半徑R．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）作弦AB的垂直平分線，交于G，交AB于點(diǎn)H，交CD的垂直平分線EF于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求作的圓心；（2）首先連接OA，由（1）可得：△AOH為直角三角形，H是AB的中點(diǎn)，GH＝4，即可求得AH的長，然后在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2，即可求得拱橋的半徑R．【解答】解：（1）作弦AB的垂直平分線，交于G，交AB于點(diǎn)H，交CD的垂直平分線EF于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求作的圓心．（如圖1）（2分）（2）連接OA．（如圖2）由（1）中的作圖可知：△AOH為直角三角形，H是AB的中點(diǎn)，GH＝4，∴AH=12AB＝8．（∵GH＝4，∴OH＝R﹣4．在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2，∴R2＝82+（R﹣4）2．（4分）解得：R＝10．（5分）∴拱橋的半徑R為10m．【點(diǎn)評】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．18．（2023秋?永康市期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D為圓弧上一點(diǎn)，CD＝BC．（1）求證：OC∥AD．（2）若AD＝6，AB＝10，求點(diǎn)O到AD的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）4．【分析】（1）證CD=BC，再由圓周角定理得∠COD＝∠COB=12∠BOD，∠A=12∠（2）連接BD，過點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)E，由垂徑定理得AE＝DE，再由三角形中位線定理得OE=12BD，然后由圓周角定理得∠ADB＝90°，進(jìn)而由勾股定理得BD＝【解答】（1）證明：∵CD＝BC，∴CD=∴∠COD＝∠COB=12∠BOD，∠A=1∴∠A＝∠COB，∴OC∥AD；（2）解：如圖，連接BD，過點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)E，則AE＝DE，∵OA＝OB，∴OE是△ABD的中位線，∴OE=12∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴BD=AB∴OE=12BD＝即點(diǎn)O到AD的距離為4．【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，平行線的判定，三角形中位線定理以及勾股定理等知識，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．19．（2023秋?文成縣期中）如圖，AB是半徑為5的⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是⊙O上的點(diǎn)，且OD∥BC，AC分別與BD、OD相交于點(diǎn)E、F．（1）求證：點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)；（2）若CB＝4，求DF的長；（3）若∠DOA＝80°，點(diǎn)P是直徑AB上任意一點(diǎn)，直接寫出PC+PD的最小值．【答案】（1）見解析；（2）2；（3）53．【分析】（1）利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，再證明OF⊥AC，然后根據(jù)垂徑定理得到點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)；（2）證明OF為△ACB的中位線得到OF=12BC＝3，然后計算OD﹣（3）作C點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C′，C′D交AB于P，連接OC，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時PC+PD的值最小，再計算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如圖，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出DH，從而得到PC+PD的最小值．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴AD=即點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF，而OA＝OB，∴OF為△ACB的中位線，∴OF=12BC＝∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；（3）解：作C點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C′，C′D交AB于P，連接OC，如圖，∵PC＝PC′，∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，∴此時PC+PD的值最小，∵AD=∴∠COD＝∠AOD＝80°，∴∠BOC＝20°，∵點(diǎn)C和點(diǎn)C′關(guān)于AB對稱，∴∠C′OB＝20°，∴∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如圖，則∠ODH＝30°，則C′H＝DH，在Rt△OHD中，OH=12OD∴DH=3OH=∴DC′＝2DH＝53，∴PC+PD的最小值為53．【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理．20．（2023秋?新吳區(qū)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，延長BC至點(diǎn)D，使DC＝CB，延長DA與⊙O的另一個交點(diǎn)為E，連接AC，CE．（1）求證：∠E＝∠D；（2）若AB＝6，BC﹣AC＝2，求CE的長．【答案】（1）見解析；（2）1+17【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求出∠ACB＝90°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出AC和BC，求出DC，求出∠B＝∠E＝∠D，根據(jù)等腰三角形的判定得出DC＝CE，即可求出答案．【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BD，∵BC＝CD，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D，∵∠E＝∠B，∴∠E＝∠D；（2）解：在Rt△ACB中，AB＝6，BC﹣AC＝2，由勾股定理得：AC2+（AC+2）2＝62，解得：AC＝﹣1+17（負(fù)根已經(jīng)舍去），BC＝1+∵BC＝CD，即CD＝1+17∵由圓周角定理得：∠B＝∠E，又∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CE＝DC，∵CD＝1+17∴CE＝1+17【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．21．（2023?泰山區(qū)校級自主招生）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)E，且交BC于點(diǎn)F．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若BF＝6，⊙O的半徑為5，求CE的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）連接OE，證明∠OEA＝90°即可；（2）連接OF，過點(diǎn)O作OH⊥BF交BF于H，由題意可知四邊形OECH為矩形，利用垂徑定理和勾股定理計算出OH的長，進(jìn)而求出CE的長．【解答】（1）證明：連接OE．∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠C，∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝90°∴AC是⊙O的切線；（2）解：連接OE、OF，過點(diǎn)O作OH⊥BF交BF于H，由題意可知四邊形OECH為矩形，∴OH＝CE，∵BF＝6，∴BH＝3，在Rt△BHO中，OB＝5，∴OH=52∴CE＝4．【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線和垂徑定理以及勾股定理的運(yùn)用，具有一定的綜合性．22．（2023秋?海門市期中）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD為直徑，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，連接AC．（1）求證：∠CAD＝∠ECB；（2）如圖2，連結(jié)OC，若OC⊥CE，∠EAD＝60°，AC=23，求AD、AC與弧CD【答案】（1）見詳解；（2）3+【分析】（1）先判斷出∠CBE＝∠D，再用等角的余角相等，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出OC∥AB，再判斷出BC∥OA，進(jìn)而得出四邊形ABCO是菱形，求出AC，BC，根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計算，得到答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠CBE＝∠D，∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；（2）解：由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，∴∠CBE＝