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4.2.2等差數(shù)列前n項和(2)致自己:2023年已接近尾聲;這一年我們成長了許多...懂得了什么叫堅強(qiáng)...體驗過什么叫奮斗...人教2019A版教材選擇性必修第二冊第四章《數(shù)列》設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,末項為an,前n項和為sn
【說明】①推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式的方法叫
;②等差數(shù)列的前n項和公式類同于
;③{an}為等差數(shù)列
,這是一個關(guān)于
的
沒有
的“
”
倒序相加法梯形的面積公式Sn=an2+bnn常數(shù)項二次函數(shù)(注意a還可以是0)溫故知新例1.某校新建一個報告廳,要求容納800個座位,報告廳共有20排座位,從第2排起后一排都比前一排多2個座位.問第1排應(yīng)安排多少個座位.一.實際應(yīng)用探究:數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)分析:將第1排到第20排的座位數(shù)依次排成一列,構(gòu)成數(shù)列{an}.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,由題意可知,{an}是等差數(shù)列,且公差及前20項的和已知,所以可利用等差數(shù)列的前n項和公式求首項(1)解:由已知得:整體思想認(rèn)識公式性質(zhì)法求和:整體思想(2)解:
奇數(shù)項前2n-1項中間項an的2n-1倍拓展:等差數(shù)列性質(zhì):例2:已知等差數(shù)列{an}中,S2=16,S4=24,求數(shù)列{|an|}的前n項和An.
例3:已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=10,公差d=-2,則Sn是否存在最大值?若存在,求Sn的最大值及取得最大值時n的值;若不存在,請說明理由.分析:由a1>0和d<0,可以證明{an}是遞減數(shù)列,且存在正整數(shù)k,使得當(dāng)n=k時,an<0,Sn遞減,這樣,就把求Sn的最大值轉(zhuǎn)化為求{an}的所有正數(shù)項的和.探究:等差數(shù)列前n項和的最值問題例3:已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=10,公差d=-2,則Sn是否存在最大值?若存在,求Sn的最大值及取得最大值時n的值;若不存在,請說明理由.
在等差數(shù)列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
變式練習(xí)解二:∵S17=S9,∴S17-S9=0即a10+a11+…+a17=0.
∵a10+a17=a11+a16=…=a13+a14.∴a13+a14=0∵a1=25>0,∴a13>0,a14<0.∴S13最大,最大值為169.深度學(xué)習(xí):如何利用對稱法求前n項和最值?觸類旁通:請歸納等差數(shù)列的前n項和的最值的求法
知道公差不為0的等差數(shù)列的前n項和Sn可以表示成Sn=an2+bn(a≠0)的形式,我們可將其變形為結(jié)合二次函數(shù)可知Sn的最值情況如下:若a>0,則當(dāng)最小時,Sn有最小值;若a<0,則當(dāng)最小時,Sn有最大值.要注意n的取整性和n的解的個數(shù)(1)利用二次函數(shù)求Sn的最值(2)不等式組法:符號轉(zhuǎn)折點(diǎn)法觸類旁通:請歸納等差數(shù)列的前n項和的最值的求法(3)對稱法備選例題四、小結(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容:1、等差數(shù)列的前項和公式1:2、等差數(shù)列
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