第四節(jié)　數(shù)列求和

重難點——逐一精研(補欠缺)方法(一)分組轉(zhuǎn)化法求和

1．分組轉(zhuǎn)化求和：數(shù)列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項和的數(shù)列求和．2．分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求{an}的前n項和．[典例]

(2021·北京二模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，n∈N*,從條件①：a1＝－3；條件②：an＋1－an＝2；條件③：S2＝－4中選擇兩個作為已知，并完成解答．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2＝a4，b3＝a7，求數(shù)列{an＋bn}的前n項和Tn.[解]

(1)(不能選擇①③作為已知條件)若選擇①②作為已知條件．因為a1＝－3，an＋1－an＝2，所以數(shù)列{an}是以a1＝－3為首項，d＝2為公差的等差數(shù)列．所以an＝2n－5.若選擇②③作為已知條件．因為an＋1－an＝2，所以數(shù)列{an}是以a1為首項，d＝2為公差的等差數(shù)列．因為S2＝－4，所以a1＋a2＝－4.所以2a1＋d＝－4，解得a1＝－3.所以an＝2n－5.[方法技巧]利用分組轉(zhuǎn)化法求和的3個關(guān)鍵點會“列方程”即會利用方程思想求出等差數(shù)列與等比數(shù)列中的基本量會“用公式”會利用等差(比)數(shù)列的通項公式，求出所求數(shù)列的通項公式會“分組求和”觀察數(shù)列的通項公式的特征，若數(shù)列是由若干個簡單數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列等)組成，則求前n項和時可用分組求和法，把數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列方法(二)裂項相消法求和

裂項相消法求和的實質(zhì)和解題關(guān)鍵裂項相消法求和的實質(zhì)是先將數(shù)列中的通項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的，其解題的關(guān)鍵就是準確裂項和消項．(1)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．(2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．[典例]

(2021·淄博二模)在①S5＝50，②S1，S2，S4成等比數(shù)列，③S6＝3(a6＋2)這三個條件中任選兩個，補充到下面問題中，并解答本題．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，前n項和為Sn，且滿足________．(1)求an；[方法技巧]常見數(shù)列的裂項方法[提醒]利用裂項相消法求和時，要注意檢驗裂項前后是否等價，還要注意求和時正負相消后消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項．方法(三)錯位相減法求和

1．適用條件若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和Sn.2．注意事項(1)在寫出Sn與qSn的表達式時，應特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出Sn－qSn；(2)作差后，應注意減式中所剩各項的符號要變號．[方法技巧]錯位相減法求和的基本步驟非等差(比)數(shù)列的奇偶項求和問題——————————————————————————————————[典例]已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(1)解決奇偶項問題的難點在于搞清數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項的首項、項數(shù)、公差(比)等．在解決問題中，感悟分類討論等思想在解題中的有效運用．(2)在討論的時候特別注意分清楚n為奇數(shù)、n為偶數(shù)時最后一項到底加到哪里停止．二、融會貫通應用創(chuàng)新題4．(創(chuàng)新考查方式)在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取它的項：第一次取1；第二次取2個連續(xù)偶數(shù)2,4；第三次取3個連續(xù)奇數(shù)5,7,9；第四次取4個連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16；第五次取5個連續(xù)奇數(shù)17,19,21,23,25，按此規(guī)律取下去，得到一個子數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…，則在這個子數(shù)列中第2022個數(shù)是