第四節(jié)　數(shù)列求和

重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)方法(一)分組轉(zhuǎn)化法求和

1．分組轉(zhuǎn)化求和：數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和．2．分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和．[典例]

(2021·北京二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*,從條件①：a1＝－3；條件②：an＋1－an＝2；條件③：S2＝－4中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2＝a4，b3＝a7，求數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和Tn.[解]

(1)(不能選擇①③作為已知條件)若選擇①②作為已知條件．因?yàn)閍1＝－3，an＋1－an＝2，所以數(shù)列{an}是以a1＝－3為首項(xiàng)，d＝2為公差的等差數(shù)列．所以an＝2n－5.若選擇②③作為已知條件．因?yàn)閍n＋1－an＝2，所以數(shù)列{an}是以a1為首項(xiàng)，d＝2為公差的等差數(shù)列．因?yàn)镾2＝－4，所以a1＋a2＝－4.所以2a1＋d＝－4，解得a1＝－3.所以an＝2n－5.[方法技巧]利用分組轉(zhuǎn)化法求和的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)會(huì)“列方程”即會(huì)利用方程思想求出等差數(shù)列與等比數(shù)列中的基本量會(huì)“用公式”會(huì)利用等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出所求數(shù)列的通項(xiàng)公式會(huì)“分組求和”觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征，若數(shù)列是由若干個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列等)組成，則求前n項(xiàng)和時(shí)可用分組求和法，把數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列方法(二)裂項(xiàng)相消法求和

裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)和解題關(guān)鍵裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)是先將數(shù)列中的通項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的，其解題的關(guān)鍵就是準(zhǔn)確裂項(xiàng)和消項(xiàng)．(1)裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．[典例]

(2021·淄博二模)在①S5＝50，②S1，S2，S4成等比數(shù)列，③S6＝3(a6＋2)這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并解答本題．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足________．(1)求an；[方法技巧]常見(jiàn)數(shù)列的裂項(xiàng)方法[提醒]利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意檢驗(yàn)裂項(xiàng)前后是否等價(jià)，還要注意求和時(shí)正負(fù)相消后消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)．方法(三)錯(cuò)位相減法求和

1．適用條件若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Sn.2．注意事項(xiàng)(1)在寫(xiě)出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出Sn－qSn；(2)作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)．[方法技巧]錯(cuò)位相減法求和的基本步驟非等差(比)數(shù)列的奇偶項(xiàng)求和問(wèn)題——————————————————————————————————[典例]已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(1)解決奇偶項(xiàng)問(wèn)題的難點(diǎn)在于搞清數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差(比)等．在解決問(wèn)題中，感悟分類討論等思想在解題中的有效運(yùn)用．(2)在討論的時(shí)候特別注意分清楚n為奇數(shù)、n為偶數(shù)時(shí)最后一項(xiàng)到底加到哪里停止．二、融會(huì)貫通應(yīng)用創(chuàng)新題4．(創(chuàng)新考查方式)在正整數(shù)數(shù)列中，由1開(kāi)始依次按如下規(guī)則取它的項(xiàng)：第一次取1；第二次取2個(gè)連續(xù)偶數(shù)2,4；第三次取3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5,7,9；第四次取4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16；第五次取5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17,19,21,23,25，按此規(guī)律取下去，得到一個(gè)子數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…，則在這個(gè)子數(shù)列中第2022個(gè)數(shù)是