第四節(jié)　條件概率與全概率公式、相互獨立事件

1．相互獨立事件2.條件概率(1)條件概率的計算公式1．(人教A版必修第二冊P249·練習(xí)T3改編)天氣預(yù)報表明在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為

(

)A．0.2 B．0.3C．0.38 D．0.563．(湘教版選擇性必修第二冊P115·例6改編)質(zhì)監(jiān)部門對某種建筑構(gòu)件的抗壓能力進行檢測，對此建筑構(gòu)件實施兩次擊打，若沒有受損，則認(rèn)為該構(gòu)件通過質(zhì)檢．若第一次擊打后該構(gòu)件沒有受損的概率為0.85，當(dāng)?shù)谝淮螞]有受損時第二次再實施擊打也沒有受損的概率為0.80，則該構(gòu)件經(jīng)過質(zhì)檢的概率為(

)A．0.4 B．0.16C．0.68 D．0.17解析：設(shè)Ai表示第i次擊打后該構(gòu)件沒有受損，i＝1,2，則由已知可得P(A1)＝0.85，P(A2|A1)＝0.80，因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)·P(A2|A1)＝0.85×0.80＝0.68，即該構(gòu)件經(jīng)過質(zhì)檢的概率為0.68.答案：C

層級一/基礎(chǔ)點——自練通關(guān)(省時間)基礎(chǔ)點(一)相互獨立事件的概念

[題點全訓(xùn)]1．壇子中放有3個白球，2個黑球，從中不放回地取球兩次，每次取一個球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，則A1和A2 (

)A．是互斥事件

B．是相互獨立事件C．是對立事件

D．不是相互獨立事件2．(2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則

(

)A．甲與丙相互獨立

B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立

D．丙與丁相互獨立[一“點”就過]判斷兩個事件是否相互獨立的兩種方法(1)根據(jù)問題的實質(zhì)，直觀上看一事件的發(fā)生是否影響另一事件發(fā)生的概率來判斷，若沒有影響，則兩個事件就是相互獨立事件．(2)定義法：通過式子P(AB)＝P(A)P(B)來判斷兩個事件是否獨立，若上式成立，則事件A，B相互獨立，這是定量判斷．[一“點”就過]求條件概率的常用方法層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)重難點(一)事件的獨立性的概率計算

[典例]

(2022·石家莊模擬)某課程考核分理論與實驗兩部分，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都“合格”，則該課程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9,0.8,0.7；在實驗考核中合格的概率分別為0.8,0.7,0.9.所有考核是否合格相互之間沒有影響．(1)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；(2)求這三人課程考核都合格的概率．(結(jié)果保留三位小數(shù))[方法技巧](1)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率時，一般先求出每個事件發(fā)生的概率，再求積．(2)使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們能同時發(fā)生．重難點(二)乘法公式與全概率公式

[典例]某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%,20%,30%和35%，且四條流水線的產(chǎn)品不合格率分別為0.05，0.04，0.03和0.02，現(xiàn)從該廠的這一產(chǎn)品中任取一件，求抽到不合格品的概率．[解]設(shè)A＝“任取一件這種產(chǎn)品，抽到不合格品”，Bi＝“任取一件這種產(chǎn)品，結(jié)果是第i條流水線的產(chǎn)品”(i＝1,2,3,4)，則Ω＝B1∪B2∪B3∪B4，且B1，B2，B3，B4兩兩互斥，根據(jù)題意P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.20，P(B3)＝0.30，P(B4)＝0.35，P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.04，P(A|B3)＝0.03，P(A|B4)＝0.02，由全概率公式，得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＋P(B4)P(A|B4)＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋0.35×0.02＝0.0315，故從該廠產(chǎn)品中任取一件，抽到不合格品的概率是0.0315.[方法技巧]當(dāng)事件A發(fā)生的概率不好直接求解時，可以采用化整為零的方式把事件A分解，然后借助全概率公式間接求出事件A發(fā)生的概率．[針對訓(xùn)練]已知甲袋中裝有6個紅球、4個白球；乙袋中裝有8個紅球、6個白球，隨機取一只袋子再從該袋中取一球，求該球是紅球的概率．4．(體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用)孔子曰“三人行，必有我?guī)熝桑睆臄?shù)學(xué)角度來看，這句話有深刻的哲理，古語說三百六十行，行行出狀元．假設(shè)甲、乙、丙三人中，每一人在每一行業(yè)中勝過孔圣人的概率為1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行業(yè)中勝過孔圣人的概率為(參考數(shù)據(jù)：0.99360≈0.03,0.01360≈0,0.973≈0.912673) (

)A．0.0027% B．99.9973%C．0 D．91.2673%解析：一個人三百六十行全都不如孔圣人的概率為0.99360≈0.03，三個人三百六十行都不如孔圣人的概率為0.033＝0.000027，所以至少一人在至少一行業(yè)中勝過孔圣人的概率為1－0.000027＝0.999973＝99.9973%.故選B.答案：B

5．(混淆獨立事件與互斥事件