專題7.8 平行線的證明章末題型過關(guān)卷（北師大版）（解析版）

第7章平行線的證明章末題型過關(guān)卷【北師大版】參考答案與試題解析選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022·甘肅省慶陽市鎮(zhèn)原縣廟渠初級中學(xué)七年級期中）下列命題是假命題的是（

）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角相等 B．對頂角相等C．平行于同一條直線的兩直線平行 D．同位角相等，兩直線平行【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定定理、平行公理、對頂角的定義，分別對選項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，原命題錯(cuò)誤，故符合題意；B、對頂角相等，原命題正確，故不符合題意；C、平行于同一條直線的兩條直線平行，原命題正確，故不符合題意；D、同位角相等，兩直線平行，原命題正確，故不符合題意．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定定理、平行公理、對頂角的定義，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．2．（3分）（2022·山東·東昌府區(qū)沙鎮(zhèn)中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，△OAD≌△OBC，且∠O=70°，∠C=25°，則∠AEB的度數(shù)是（）A．145° B．140° C．130° D．120°【答案】D【分析】利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理以及四邊形內(nèi)角和定理得出答案．【詳解】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠OBC=∠OAD，∵∠O=70°，∠C=25°，∴∠OBC=∠OAD=180°-∠O-∠C=85°，∴∠AEB=360°-∠O-∠OAD-∠OBC=360°-∠70°-85°-85°=120°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（3分）（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖，己知AB∥CD，∠B=110°，EF平分∠BEC，EG⊥EF，則∠DEG等于（

）A．70° B．35° C．55° D．110°【答案】C【分析】由AB∥CD，∠B=100°，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得∠BEC的度數(shù)，又由EF平分∠BEC，即可求得∠FEC的度數(shù)，然后由EG⊥EF，根據(jù)平角的定義，即可求得∠DEG的度數(shù)．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠B+∠BEC=180°，∵∠B=110°，∴∠BEC=70°，∵EF平分∠BEC，∴∠CEF=12∠BEC=35°∵EG⊥EF，∴∠GEF=90°，∵∠GEF+∠CEF+∠DEG=180°，∴∠DEG=180°-90°-35°=55°．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，以及平角的定義，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)定理的應(yīng)用．4．（3分）（2022·山東·慶云縣尚堂鎮(zhèn)大靳初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE與AD交于點(diǎn)F，AD=BD=5，則AF+CD的長度為（）A．10 B．6 C．5 D．4.5【答案】C【分析】根據(jù)ASA推出△BDF≌△ADC，再根據(jù)全等的性質(zhì)得出CD=DF，即可得出答案．【詳解】解：∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠ADC=∠BDF=∵∠AFE=∠BFD,∠FBD+∠BDF+∠BFD=180°，∴∠DAC=∠DBF，在△BDF和△ADC中，∠FBD=∠DAC∴△BDF≌△ADC(ASA∴DF=CD，∴AF+CD=AF+DF=AD=5；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定和等腰三角形的性質(zhì)，找出△BDF≌△ADC是解題的關(guān)鍵．5．（3分）（2022·浙江杭州·七年級期末）如圖，已知AB∥CD，BE，DE分別平分∠ABF和∠CDF，且交于點(diǎn)E，則(

)A．∠E=∠F B．∠E+∠F=180°C．2∠E+∠F=360° D．2∠E-∠F=180°【答案】C【分析】過點(diǎn)E作EM//AB，利用平行線的性質(zhì)可證得∠BFD=12∠ABF+∠CDF，可以得到∠BED【詳解】解：過點(diǎn)E作EM//AB，如圖：∵AB//CD，EM//AB∴CD∥EM，∴∴∠ABE=∠BEM,∠CDE=∠DEM∵∵∠ABF的平分線與∠CDF的平分線相交于點(diǎn)E，∴∠ABE=1∴∠BED=∠BEM+∠DEM=1∵∠ABF+∠BFD+∠CDF=360°，∴∠ABF+∠CDF=360°-∠BFD∴∠BED=整理得：2∠BED+∠BFD=360°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．6．（3分）（2022·浙江·樂清市虹橋鎮(zhèn)第一中學(xué)八年級期中）如圖，在ΔABC中，∠A=α，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2，…A．α2022 B．α2023 C．α2【答案】D【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根據(jù)角平分線的定義可得∠【詳解】解：∵A1B平分∠ABC,A∴∠A∵∠A即12∴∠A∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD-∠ABC，∴∠A同理，∠A…，以此類推，∠A∴∠A故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的一半是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2022·四川·瀘州市第二十八初級中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠1，且∠1＋∠2＝180°。則下列結(jié)論：①CE∥BF；②∠A＝∠D；③AB∥CD；④∠C＝∠B，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)和平行線的判定可得CE∥BF，欲證明AB∥CD，只需推知∠A＝∠D即可；由平行四邊形的判定與性質(zhì)可知【詳解】證明：∵∠1＋∠2＝180°，又∵∠CGD＋∠2＝180°，∴∠CGD＝∠1，∴CE∥BF，故①正確；∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠1=∠DGC，又∵∠AGE＝∠DGC，∴∠A＝∠D，故②正確；∴AB∥CD，故③正確；∵CE∥BF，∴∠C=∠BFD，∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠B=∠C，故④正確．綜上分析可知，正確的結(jié)論有4個(gè)，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，對頂角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行的判定和性質(zhì)，找出相應(yīng)的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角．8．（3分）（2022·江蘇·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，BD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C恰好與點(diǎn)E重合，則∠B等于（

）A．19° B．20° C．24° D．25°【答案】B【分析】根據(jù)垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)，得∠B=∠EDB；根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得∠AED=2∠B；根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得∠C=2∠B，∠EAD=60°，∠ADE=∠ADC；根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)計(jì)算得∠ADC=90°-∠B【詳解】∵BD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，∴EB=ED∴∠B=∠EDB∴∠AED=∠B+∠EDB=2∠B∵將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C恰好與點(diǎn)E重合，∴∠C=∠AED=2∠B，∠EAD=∠CAD=12∠BAC=60°∵∠CDE=180°-∠EDB=180°-∠B∴∠ADC=1∵∠CAD+∠ADC+∠C=180°∴60+90°-∴∠B=20°故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱、三角形內(nèi)角和、三角形外角、補(bǔ)角、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱、三角形內(nèi)角和、三角形外角的性質(zhì)，從而完成求解．9．（3分）（2022·湖北武漢·七年級期中）如圖：CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC=40°，∠1=∠2，則下列結(jié)論：①∠ACE=2∠4；②CB⊥CF；③∠1=70°；④∠3=2∠4，其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ACB=12∠ACD，∠ACF=12∠ACG，再利用平角定義可得∠BCF=90°，進(jìn)而可得②正確；首先計(jì)算出∠ACB的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)可得∠2的度數(shù)，從而可得∠1的度數(shù)，進(jìn)而可得③正確；利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠3的度數(shù)，然后計(jì)算出∠ACE的度數(shù)，可分析出①錯(cuò)誤；根據(jù)【詳解】解：如圖，∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∴∠ACB=∵∠ACG+∠ACD=180°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴CB⊥CF，故②正確，∵CD∥AB，∠BAC=40°，∴∠ACG=40°，∴∠ACF=∠4=20°，∴∠ACB=90°-20°=70°，∴∠BCD=70°，∵CD∥AB，∴∠2=∠BCD=70°，∵∠1=∠2，∴∠1=70°，故③正確；∵∠BCD=70°，∴∠ACB=70°，∵∠1=∠2=70°，∴∠3=40°，∴∠ACE=30°，∴①∠ACE=2∠4錯(cuò)誤；∵∠4=20°，∠3=40°，∴∠3=2∠4，故④正確，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)，理清圖中角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（3分）（2022·全國·七年級）如圖，已知長方形紙片ABCD，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AD和BC上，且∠EFC=37°，點(diǎn)H和點(diǎn)G分別是邊AD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)A，B，C，D分別沿EF，GH折疊至點(diǎn)N，M，P，K，若MN∥PK，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【答案】D【分析】分兩種情況討論，①當(dāng)PK在AD上方時(shí)，延長MN、KH相交于點(diǎn)Q，根據(jù)MN∥PK，推出EN∥KQ，得到∠AEN=∠AHQ，求出∠AEN的度數(shù)，再根據(jù)∠KHD=∠AHQ即可求解；②當(dāng)PK在BC下方時(shí)，延長MN、HK相交于點(diǎn)O，根據(jù)MN∥PK，推出【詳解】解：①當(dāng)PK在AD上方時(shí)，延長MN、KH相交于點(diǎn)Q，如圖所示∵M(jìn)N∴∠K=∠Q∵∠K=90°∴∠Q=90°∵∠MNE=90°∴∠MNE=∠Q∴EN∴∠AEN=∠AHQ∵∠EFC=37°，AD∴∠AEF=∠EFC=37°∵翻折∴∠AEF=∠NEF=37°∴∠AEN=74°∴∠AHQ=74°∵∠KHD=∠AHQ∴∠KHD=74°②當(dāng)PK在BC下方時(shí)，延長MN、HK相交于點(diǎn)O，如圖所示∵M(jìn)N∴∠O=∠OKP=90°∵∠MNE=90°∴∠MNE=∠O∴EN∴∠AEN=∠AHO∵∠EFC=37°，AD∴∠AEF=∠EFC=37°∵翻折∴∠AEF=∠NEF=37°∴∠AEN=74°∴∠AHO=74°∵∠AHO+∠KHD=180°∴∠KHD=106°故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折、平行線的判定和性質(zhì)、對頂角等知識點(diǎn)，分情況討論，畫出對應(yīng)圖形進(jìn)行求解是解答本題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022·全國·八年級階段練習(xí)）在△ABC中，若∠A=58°，則∠ABC與∠ACB的平分線的夾角度數(shù)為__．【答案】119°##119度【分析】由BP、CP分別平分∠ABC與∠ACB可得∠PBC=12∠ABC，∠PCB=【詳解】如圖，設(shè)∠ABC與∠ACB的平分線的交點(diǎn)為P，∵BP、CP分別平分∠ABC與∴∠PBC=1∴∠BPC=180°-=180°-（=180°-1=180°-1=180°-90°+1=90°+29°=119°，故答案為：119°【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟記三角形的內(nèi)角的和定理是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2022·山東淄博·七年級期中）如圖，直線l1∥l2，若∠1=35°【答案】35°##35度【分析】過點(diǎn)E作EF∥11，利用平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1=∠AEF=35°，∠FEC=∠3，∴∠2=∠AEF+∠FEC=∠1+∠3=35°+∠3，∴∠2-∠3=35°+∠3-∠3=35°，故答案為：35°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．13．（3分）（2022·江西吉安·七年級期中）如圖，已知∠1=∠2，還需再添加一個(gè)條件：______，可知AB∥EF．【答案】∠CDG+∠DGE=180°（答案不唯一）【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)加條件使得CD∥EF，進(jìn)而得出AB∥EF．【詳解】解：當(dāng)∠CDG+∠DGE=180°時(shí)，∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∵∠CDG+∠DGE=180°，∴CD∥EF，∴AB∥EF．故答案為：∠CDG+∠DGE=180°（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練地掌握平行線的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．14．（3分）（2022·河南平頂山·七年級期中）如圖，點(diǎn)P是AM上一點(diǎn)，BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交AM于點(diǎn)C，D，∠A=∠CBD=60°，∠ACB=∠ABD，則∠ABC的度數(shù)為______．【答案】30°##30度【分析】根據(jù)∠CBD=60°，BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，即可得出∠ABN=120°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可得到∠ABC的度數(shù)．【詳解】∵BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP=12∠ABP，∠DBP=12∠∴∠CBD=12（∠ABP+∠PBN）=12∵∠A=∠CBD=60°，∴∠ABN=120°，∴∠A+∠ABN=180°，∠ABC+∠NBD=60°，∴AM∥∴∠NBD=∠BDA，∵∠ACB=∠ABD，即∠BDC+∠CBD=∠ABC+∠CBD，∴∠BDC=∠ABC=∠NBD=30°，∴∠ABC=30°，故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15．（3分）（2022·全國·七年級）如圖，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD,∠BAF=110°，CD與AB在直線EF異側(cè)．若∠DCF=60°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和6度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t秒，在射線CD轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，當(dāng)時(shí)間t的值為______時(shí)，CD與AB平行．【答案】2秒或38秒【分析】分①AB與CD在EF的兩側(cè)，分別表示出∠ACD與∠BAC②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出∠DCF與③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出∠DCF與【詳解】解：存在．分三種情況：如圖①，AB與CD在EF的兩側(cè)時(shí)，∵∠BAF=110°，∴∠ACD=180°-60°-(6t)°=120°-(6t)°，要使AB//CD，則∠ACD=即120°-(6t)°=110°-t°，解得t=2；此時(shí)(180°-60°)÷6=20，∴0<t<20；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF∵∠BAF=110°，∴∠DCF=360°-(6t)°-60°=300°-(6t)°，要使AB//CD，則∠DCF=即300°-(6t)°=110°-t°，解得t=38，此時(shí)(360°-60°)÷6=50，∴20<t<50；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF∵∠BAF=110°，∴∠DCF=(6t)°-(180°-60°+180°)=(6t)°-300°，要使AB//CD，則∠DCF=即(6t)°-300°=t°-110°，解得t=38，此時(shí)t>50，∵38<50，∴此情況不存在．綜上所述，當(dāng)時(shí)間t的值為2秒或38秒時(shí)，CD與AB平行．故答案為：2秒或38秒．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵，要注意分情況討論．16．（3分）（2022·上?！y試·編輯教研五八年級期末）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=8，AC=3，CD是△ABC的中線，將△ABC沿直線CD翻折，點(diǎn)B'是點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CD上的點(diǎn)，如果∠CAE=∠BAB'，那么【答案】95##1.8##【分析】先證明∠ABB'=∠ACE，∠AB'B=90°，結(jié)合∠CAE=∠BAB【詳解】解：如圖，∵△CDB'是由∴∠BCD=∠DCB'，∠CBD=∠CB∴∠DBB∵2∠DCB+2∠CBD+2∠DBB∴∠DCB+∠CBD+∠DBB∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∠ACD+∠CDA=90°，∴∠ABB∵AD=DB=DB∴∠DBB'=∠D∵∠DBB∴2(∠DB∴∠DB∴∠AB∵∠CAE=∠BAB∴∠AEC=∠AB在Rt△AEC中，AC=3，AD=4，∴CD=A∵S△ACD∴3×4=5AE，解得：AE=12在Rt△ACE中，CE=A故答案為：95【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形外角性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022·福建·明溪縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級期中）填空，將本題補(bǔ)充完整．如圖，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝65°．將求∠AGD的過程填寫完整．解：∵EF∥AD（已知）∴∠2＝（）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝（等量代換）∴AB∥GD（）∴∠BAC+＝180°（）∵∠BAC＝65°（已知）∴∠AGD＝°【答案】∠3；兩直線平行，同位角相等；∠3；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；∠AGD；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；115°【分析】由EF∥AD，可得∠2＝∠3，由等量代換可得∠1＝∠3，從而得到DG∥BA，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAC＋∠AGD＝180°，即可求解．【詳解】解：∵EF∥AD（已知）∴∠2＝∠3（兩直線平行，同位角相等）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝∠3（等量代換）∴AB∥GD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴∠BAC＋∠AGD＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠BAC＝65°（已知）∴∠AGD＝115°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)定理；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行的應(yīng)用．18．（6分）（2022·河南·信陽文華寄宿學(xué)校七年級期末）如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，射線OE平分∠AOC，過點(diǎn)O作OD⊥OE，G是射線OB上一點(diǎn)，連接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求證：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，試判斷CD與OE的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)CD∥OE，理由見解析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可證明∠AOE=∠ODG；（2）證明∠EOC=∠C，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，即可證明CD∥OE．（1）證明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CD∥OE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射線OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CD∥OE．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，垂直的定義，平行線的判定，等角的余角相等，正確識圖是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2022·安徽省安慶市外國語學(xué)校八年級期中）如圖①，凹四邊形ABCD形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”，(1)如圖①，在規(guī)形ABCD中，若∠A=80°，∠BDC=130°，∠ACD=30°，則∠ABD=______°；(2)如圖②，將△ABC沿DE，EF翻折，使其頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，若∠CDO+∠CFO=72°，則∠C=______°；(3)如圖③，在規(guī)形ABCD中，∠BAC、∠BDC的角平分線AE、DE交于點(diǎn)E，且∠B＞∠C，試探究∠B，∠C，【答案】(1)20(2)54(3)∠E=1【分析】（1）連接AD，并延長到點(diǎn)E，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠3=∠1+∠B、∠4=∠2+∠C，即可得出∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，根據(jù)∠A=80°，∠BDC=130°，∠ACD=30°，即可得出答案；（2）根據(jù)翻折得出∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠A+∠B=180°-∠C，在根據(jù)∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO=180°-∠C，列出關(guān)于∠C的方程，解方程即可得出答案；（3）根據(jù)角平分線的定義結(jié)合解析（1）得出∠3=12∠BDC=12∠BAC+∠B+∠C，【詳解】（1）解：如圖1，連接AD，并延長到點(diǎn)E，則∠3=∠1+∠B、∠4=∠2+∠C，∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠B+∠C，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，∵∠A=80°，∠BDC=130°，∠ACD=30°，∴∠ABD=∠BDC-∠BAC-∠ACD=20°，故答案為：20；（2）解：∵將△ABC沿DE，EF翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，∴∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，∴∠DOF=∠A+∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B=180°-∠C，∵∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO=180°-∠C，∴∠C+72°=180°-∠C，∴∠C=54°．（3）解：∠E=1如圖3，由（1）知∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，∵DE平分∠BDC，∴∠3=1∵AE平分∠BAC，∴∠1=1∵∠E=∠5-∠3，∠5=∠1+∠B，∴∠E=∠1+∠B-∠3===即∠E=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．20．（8分）（2022·江蘇·飛達(dá)路中學(xué)八年級階段練習(xí)）【閱讀理解】在解決幾何問題時(shí)，我們時(shí)常需要構(gòu)造全等三角形，比如：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長AD到點(diǎn)Q，使得DQ=AD，連接QC，就可構(gòu)造出△ABD≌△QCD，請說明理由．【問題探究】請利用上面構(gòu)造方法解決下面問題：如圖，OA=OB，∠AOB=α，OC=OD，探究一：當(dāng)α=β=90°時(shí)，試說明：AD=2MO．探究二：當(dāng)α和β滿足_________時(shí)，結(jié)論“AD=2MO”依然成立．【答案】閱讀理解：證明見解析；問題探究：探究一：證明見解析；探究二：α+β=180°【分析】閱讀理解：延長AD到點(diǎn)Q，使得DQ=AD，連接QC，利用SAS即可證明△ABD≌△QCD；問題探究：探究一：延長OM到點(diǎn)F，使MF=OM，連接BF，利用SAS證明△BMF≌△CMO，根據(jù)全等三角形得性質(zhì)BF=OC，∠F=∠MOC，進(jìn)而得到BF∥OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)及周角的定義得出∠FBO=∠DOA，利用SAS證明探究二：延長OM到點(diǎn)F，使MF=OM，連接BF，利用SAS證明△BMF≌△CMO，根據(jù)全等三角形得性質(zhì)BF=OC，∠F=∠MOC，進(jìn)而得到BF∥OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)及周角的定義得出∠FBO=∠DOA，利用SAS證明【詳解】閱讀理解：延長AD到點(diǎn)Q，使得DQ=AD，連接QC，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，在△ABD和△QCD中，AD=DQ∠ADB=∠QDC∴△ABD≌△QCDSAS問題探究：探究一：延長OM到點(diǎn)F，使MF=OM，連接BF，∴2OM=OF，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM=CM，在△BMF和△CMO中，BM=CM∠BMF=∠CMO∴△BMF≌△CMOSAS∴BF=OC，∴BF∥∴∠FBO+∠BOC=180°，∵∠BOA+∠COD=90°，∴∠DOA+∠BOC=360°-∠AOB-∠COD=180°，∴∠FBO=∠DOA,∵OC=OD，∴BF=OD，在△FBO和△DOA中，BO=AO∠FBO=∠DOA∴△FBO≌△DOASAS∴OF=AD，∴AD=2MO；探究二：當(dāng)α和β滿足α+β=180°時(shí)，結(jié)論“AD=2MO”依然成立，理由如下：延長OM到點(diǎn)F，使MF=OM，連接BF，∴2OM=OF，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM=CM，在△BMF和△CMO中，BM=CM∠BMF=∠CMO∴△BMF≌△CMOSAS∴BF=OC，∴BF∥∴∠FBO+∠BOC=180°，∵∠BOA+∠COD=α+β=180°，∴∠DOA+∠BOC=360°-∠AOB+∠COD∴∠FBO=∠DOA,∵OC=OD，∴BF=OD，在△FBO和△DOA中，BO=AO∠FBO=∠DOA∴△FBO≌△DOASAS∴OF=AD，∴AD=2MO，故答案為：α+β=180°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和周角的定義，解決本題的關(guān)鍵是作出合理的輔助線構(gòu)造全等三角形．周角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的角．21．（8分）（2022·黑龍江鶴崗·七年級期末）如圖①，AB∥CD，M為平面內(nèi)一點(diǎn)，若BM⊥MC，則易證∠ABM與∠DCM互余．(1)如圖②，AB∥CD．點(diǎn)M在射線EA上運(yùn)動(dòng)，猜想點(diǎn)M在點(diǎn)A和D之間時(shí)，∠BMC與∠ABM、∠DCM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M在射線EA的其它位置上時(shí)（不與點(diǎn)E，A，D重合）請直接寫出∠BMC與∠ABM、∠DCM之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)∠ABM+∠DCM=∠BMC，理由見解析(2)∠BMC=∠DCM-∠ABM或∠BMC=∠ABM-∠DCM．【分析】（1）過M作MF∥AB，交BC于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DCM=∠FMC，可得∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC；（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)M在E、A兩點(diǎn)之間時(shí)；當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長線上時(shí)；進(jìn)行討論可求∠BMC與∠ABM，∠DCM的數(shù)量關(guān)系．（1）解：∠ABM+∠DCM=∠BMC，理由如下：如圖，過M作MF∥AB，交BC于F，則∠ABM=∠BMF，又∵AB∥CD，∴MF∥CD，∴∠DCM=∠FMC，∴∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC；（2）解：當(dāng)點(diǎn)M在E、A兩點(diǎn)之間時(shí)，如圖3，∠BMC=∠DCM-∠ABM；過M作MF∥AB，交EC于F，則∠ABM=∠BMF，又∵AB∥CD，∴MF∥CD，∴∠DCM=∠FMC，∴∠BMC=∠CMF-∠BMF=∠DCM-∠ABM；當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長線上時(shí)，如圖4，∠BMC=∠ABM-∠DCM．過M作MF∥AB，交EC于F，則∠ABM=∠BMF，又∵AB∥CD，∴MF∥CD，∴∠DCM=∠FMC，∴∠BMC=∠BMF-∠CMF=∠ABM-∠DCM．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)建平行線，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答．解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．22．（8分）（2022·遼寧·大連高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)園區(qū)普羅旺斯學(xué)校七年級期中）已知直線AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB、CD之間，點(diǎn)M、N分別在直線AB、CD上．(1)如圖1，直線GH過點(diǎn)E，分別與直線AB、CD交于點(diǎn)G、H，∠AME=∠GND，求證：∠NGH+∠MEH=180°；(2)如圖2，點(diǎn)F在直線CD上，ME、NE分別平分∠AMF、∠MNF，若∠FMN=2∠MEN，求∠MEN的度數(shù)；(3)如圖3，MQ平分∠AME，MH平分∠BME，GN平分∠ENC．直線GN與MH交于點(diǎn)H，NK平分∠END，NF∥MQ．求證：∠MHG=∠KNF．【答案】(1)見解析(2)∠MEN=45°(3)見解析【分析】（1）先證明GN∥MQ，再利用平行線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義即可證明結(jié)論；（2）設(shè)∠AME=∠FME=x°，∠MNE=∠ENF=y°，推出∠MEN=(x+y)°，由已知得到∠FMN=(2x+2y)°，利用平角的定義得到2x+2(x+y)+2y=180，據(jù)此求解即可；（3）設(shè)∠AMQ=x°，∠GNC=y°，推出∠MEN=(2x+2y)°，由平行線的性質(zhì)推出∠MHS=∠BMH=90°?x°，∠ENF=∠FNH=90°?y°，在△NLP中，得到∠LNP=180°?∠NLP?∠LPN=x°，據(jù)此通過計(jì)算即可證明∠MHG=∠KNF．（1）證明：延長ME交CD于點(diǎn)Q，如圖，∵AB∥CD，∴∠AME=∠MQD，∵∠AME=∠GND，∴∠MQD=∠GND，∴GN∥MQ，∴∠NGH=∠GEM，∵∠GEM+∠MEH=180°，∴∠NGH+∠MEH=180°；（2）解：過E作EQ∥AB，如圖．∵M(jìn)E平分∠AMF，EN平分∠MNF，∴設(shè)∠AME=∠FME=x°，∠MNE=∠ENF=y°．∵EQ∥AB，AB∥CD．∴EQ∥CD，∵EQ∥AB．∴∠MEQ=∠AME=x°．∵EQ∥CD．∴∠NEQ=∠ENF=y°．∴∠MEN=∠MEQ+∠NEQ=(x+y)°．∵∠FMN=2∠MEN，∴∠FMN=(2x+2y)°，∵AB∥CD，∴∠BMN=∠MNF=2y