習(xí)題課-函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

綜合考法一函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合[典例]

(2020·新高考全國卷Ⅰ)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是

(

)A．[－1,1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3][解析]

由題意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)單調(diào)遞減，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.當(dāng)x>0時(shí)，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；當(dāng)x<0時(shí)，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；當(dāng)x＝0時(shí)，顯然符合題意．綜上，原不等式的解集為[－1,0]∪[1,3]，故選D.[答案]

D[方法技巧]1．常見題型及解法比較大小問題一般解法是利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為與在同一單調(diào)區(qū)間上的有關(guān)自變量的函數(shù)值，然后利用單調(diào)性比較大小解抽象不等式①將所給的不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值的大小關(guān)系；②利用單調(diào)性脫去符號“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題2.解題注意點(diǎn)在轉(zhuǎn)化時(shí)，自變量的取值必須在同一單調(diào)區(qū)間上；當(dāng)不等式一邊沒有符號“f”時(shí)，需要轉(zhuǎn)化為含有符號“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)<0，則f(x－1)<f(1)；偶函數(shù)中f(x)＝f(|x|)的靈活應(yīng)用等．2．(2022·重慶沙坪壩區(qū)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)．若f(2a－1)<f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(

)(1)函數(shù)周期性與奇偶性的綜合多是求值或比較大小問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知函數(shù)解析式的定義域內(nèi)求解．(2)解決函數(shù)奇偶性與圖象的對稱性的綜合問題時(shí)，要注意把已知函數(shù)的奇偶性按定義轉(zhuǎn)化，再判斷函數(shù)圖象的對稱軸或?qū)ΨQ中心；也可利用圖象變換關(guān)系得出函數(shù)圖象的對稱性．總之，要充分利用已知條件進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化．[針對訓(xùn)練]1．已知y＝f(x)為奇函數(shù)且對任意x∈R，f(x＋2)＝f(－x)，若當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋a)，則f(2021)＝

(

)A．－1 B．0C．1 D．2解析：因?yàn)閥＝f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，因?yàn)閷θ我鈞∈R，f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋a)，所以f(0)＝log2a＝0，解得a＝1，則f(2021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝log22＝1.答案：C

單調(diào)性、奇偶性、周期性是函數(shù)的三大特征．對于函數(shù)性質(zhì)結(jié)合的題目，函數(shù)的周期性有時(shí)需要通過函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律．因此在解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性