第八節(jié)　函數與方程

1．函數的零點(1)函數零點的定義對于函數y＝f(x)，我們把使

的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．(2)幾個等價關系方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與

有交點?函數y＝f(x)有

．f(x)＝0零點x軸(3)函數零點的判定(函數零點存在定理)如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有_________，那么函數y＝f(x)在區(qū)間

內有零點，即存在c∈(a，b)，使得_______，這個c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且

的函數y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝0f(a)f(b)<03．二次函數圖象與零點的關系(1)若連續(xù)不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點．函數的零點不是一個“點”，而是方程f(x)＝0的實根．(2)圖象連續(xù)不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號．(3)連續(xù)不斷的函數圖象通過零點時，函數值可能變號，也可能不變號．(4)由函數y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)f(b)<0，如圖所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件．1．(人教A版必修第一冊P155·T2改編)函數y＝f(x)的圖象是一個連續(xù)不斷的曲線，部分對應關系如表所示，則該函數的零點個數至少為

(

)A.2 B．3C．4 D．5解析：由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函數f(x)在區(qū)間[1,6]上至少有3個零點．答案：B

x123456y126.115.15－3.9216.78－45.6－232.645．函數f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零點，則k的取值范圍是________．層級一/基礎點——自練通關(省時間)基礎點(一)函數零點存在定理的理解

[題點全訓]1．對于函數f(x)，若f(－1)f(3)<0，則

(

)A．方程f(x)＝0一定有實數解

B．方程f(x)＝0一定無實數解C．方程f(x)＝0一定有兩實根

D．方程f(x)＝0可能無實數解解析：因為函數f(x)的圖象在(－1,3)上未必連續(xù)，所以盡管f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能無實數解．答案：D

2．若函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，則下列說法正確的是

(

)A．若f(a)f(b)>0，則不存在實數c∈[a，b]，使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)<0，則存在且只存在一個實數c∈[a，b]，使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)>0，則可能存在實數c∈[a，b]，使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)<0，則可能不存在實數c∈[a，b]，使得f(c)＝0[一“點”就過]對函數零點存在定理的理解存在性當函數y＝f(x)滿足定理的條件時，函數在區(qū)間(a，b)內至少存在一個零點唯一性在滿足定理的條件下，若函數f(x)在區(qū)間(a，b)上又是單調函數，則該函數在區(qū)間(a，b)內只有一個零點不可逆性若函數f(x)在區(qū)間(a，b)有零點，不一定有f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，也不一定有f(a)f(b)<0成立基礎點(二)函數判斷零點所在區(qū)間

[題點全訓]1．函數f(x)＝log3x＋x－2的零點所在的區(qū)間為

(

)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：函數f(x)＝log3x＋x－2的定義域為(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，圖象是一條連續(xù)曲線．由題意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根據函數零點存在定理可知，函數f(x)＝log3x＋x－2有唯一零點，且零點在區(qū)間(1,2)內．答案：B

2．(2021·石嘴山三模)方程2x＝2－x的根所在區(qū)間是

(

)A．(－1,0) B．(2,3)C．(1,2) D．(0,1)解析：令f(x)＝2x＋x－2，因為f(0)＝20＋0－2＝－1＜0，f(1)＝21＋1－2＝1＞0，所以f(0)f(1)＜0，由函數零點存在定理知，D正確．答案：D

[一“點”就過]確定函數零點所在區(qū)間的常用方法利用函數零點存在定理首先看函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點數形結合法通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)重難點判斷函數零點的個數

[典例]

(2021·北京高考)已知f(x)＝|lgx|－kx－2，給出下列四個結論：(1)若k＝0，則f(x)有兩個零點；(2)?k＜0，使得f(x)有一個零點；(3)?k＜0，使得f(x)有三個零點；(4)?k＞0，使得f(x)有三個零點．以上正確結論的序號是__________．[解析]

f(x)＝|lgx|－kx－2，可轉化成兩個函數y1＝|lgx|，y2＝kx＋2的交點問題．對于(1)，當k＝0時，|lgx|＝2，有兩個交點，如圖a所示，(1)正確；對于(2)，存在k＜0，使y1＝|lgx|與y2＝kx＋2相切，如圖b所示，(2)正確；對于(3)，若k＜0，y1＝|lgx|與y2＝kx＋2最多有2個交點，如圖c所示，(3)錯誤；對于(4)，當k＞0時，過點(0,2)存在函數g(x)＝lgx(x＞1)的切線，此時共有兩個交點，當直線斜率稍微小于相切時的斜率時，就會有3個交點，如圖d所示，故(4)正確．[答案]

(1)(2)(4)[方法技巧]函數零點個數的判定方法直接求零點令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點利用函數零點存在定理利用該定理不僅要求函數在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，還必須結合函數的圖象和性質(如單調性)才能確定函數有多少個零點圖象法畫兩個函數的圖象，看其交點的個數有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點解析：依題意，當x>0時，作出函數y＝lnx與y＝x2－2x的圖象(如圖)，可知兩個函數的圖象有兩個交點；當x≤0時，函數f(x)＝2x＋1與x軸只有一個交點．綜上，函數f(x)有3個零點．故選D.答案：D

2．設函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點個數為

(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：因為函數f(x)是定義域為R的奇函數，所以f(0)＝0，即x＝0是函數f(x)的1個零點．當x>0時，令f(x)＝ex＋x－3＝0，則ex＝－x＋3，分別畫出函數y＝ex和y＝－x＋3的圖象，如圖所示，兩函數圖象有1個交點，所以函數f(x)有1個零點．根據對稱性知，當x<0時，函數f(x)也有1個零點．綜上所述，f(x)的零點個數為3.答案：C

層級三/細微點——優(yōu)化完善(掃盲點)一、全面清查易錯易誤點1．(忽略二次項系數為零)函數f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，則實數a的值為(

)2．(忽略零點存在定理的條件)設f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2,3)內近似解的過程中得到f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，則方程的根所在區(qū)間為

(

)A．(2,2.25) B．(2.25,2.5)C．(2.5,2.75) D．(2.75,3)解析：因為f(2.5)<0，f(2.75)>0，由函數零點存在定理知，方程的根所在區(qū)間為(2.5,2.75)．答案：C

二、融會貫通應用創(chuàng)新題3．(借助數學文化)我國古代數學典籍《九章算術》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢．”翻譯過來就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都進一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則幾天后兩鼠相遇．這個問題體現了古代對數列問題的研究．現將墻的厚度改為200尺，則至少需要多少天時間才能打穿？

(

)A．6 B．7C．8 D．94．(結合新定義問題)對于定義在R上的函數y＝f(x)，若存在非零實數x0，使函數y＝f(x)在(－∞，x0)和(x0，＋∞)上均有零點，則稱x0為函數y＝f(x)的一個“折點”．下列四個函數中存在“折點”的是

(

)A