2023-2024學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期期中調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat20頁2023-2024學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期期中調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為2∶3∶5，用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本．若樣本中A型號的產(chǎn)品有20件，則樣本容量n為（

）A．50 B．80 C．100 D．200【答案】C【分析】直接由分層抽樣的定義按比例計(jì)算即可.【詳解】由題意樣本容量為.故選：C.2．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則z＝（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將代入中化簡可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，故選：A3．已知圓與圓的公共弦所在直線與軸垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．－4 B．－2 C．2 D．4【答案】D【分析】兩個圓方程相減，可得所在直線方程，翻譯條件解出值即可.【詳解】，兩方程相減得到公共弦所在直線方程為公共弦所在直線方程與軸垂直，，解得故選：D4．《數(shù)書九章》天池測雨：今州郡都有天池盆，以測雨水．但知以盆中之水為得雨之?dāng)?shù)．不知器形不同，則受雨多少亦異，未可以所測，便為平地得雨之?dāng)?shù)，即平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積．假令器形為圓臺，盆口徑(直徑)一尺四寸，底徑(直徑)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，則平地降雨量為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，作出圓臺的軸截面，再結(jié)合圓臺的體積公式與題意求解即可.【詳解】根據(jù)題意，該盆可以視作圓臺，故作出該圓臺的軸截面，如圖，根據(jù)題意得：寸，寸，寸，寸，所以寸，即水面的半徑為寸，所以盆中水的體積為（立方寸），因?yàn)槠降亟涤炅康扔谂柚蟹e水體積除以盆口面積，所以平地降雨量為寸，故平地雨降寸.故選：B.5．已知，則＝（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由倍角公式和差角公式、平方關(guān)系求解即可.【詳解】.故選：D6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由長度關(guān)系可得，知，在中，利用可構(gòu)造齊次方程求得雙曲線離心率.【詳解】設(shè)，為等邊三角形，，，又，，，，，，，解得：（舍）或，雙曲線的離心率為.故選：C.7．在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上一點(diǎn)．若向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B．C． D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)投影向量求解公式求解即可.【詳解】設(shè),因?yàn)槭侵本€上任意一點(diǎn)，所以所以在方向上得投影向量為.故選：.8．已知函數(shù)．若，，且在上恰有1個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為（

）A．(0，] B．(，] C．(，] D．(，]【答案】B【分析】根據(jù)題意，為的最大值點(diǎn)，根據(jù)在上恰有1個零點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)圖象，列不等式求出實(shí)數(shù)ω的取值范圍.【詳解】由得，，所以，即，，因?yàn)?，，，因?yàn)樵谏锨∮?個零點(diǎn)，所以①，無解，②，解得，綜上，實(shí)數(shù)ω的取值范圍為，故選：B.二、多選題9．某研究小組依次記錄下10天的觀測值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，則（

）A．眾數(shù)是22B．80百分位數(shù)是28C．平均數(shù)是30D．前4個數(shù)據(jù)的方差比最后4個數(shù)據(jù)的方差小【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)眾數(shù)的概念進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，把數(shù)據(jù)從小到大排列，按照百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，利用平均數(shù)的定義進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，分別計(jì)算出前4個數(shù)據(jù)和最后4個數(shù)據(jù)的方差，比較后得到結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，22出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為22，A正確；B選項(xiàng)，將數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排列，20，22，22，22，24，26，26，28，32，78，，故選取第8個和第9個數(shù)的平均數(shù)作為80百分位數(shù)，即，B錯誤；C選項(xiàng)，，故平均數(shù)為30，C正確；D選項(xiàng)，前4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故前4個數(shù)據(jù)的方差為，最后4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故最后4個數(shù)據(jù)的方差為，，故前4個數(shù)據(jù)的方差比最后4個數(shù)據(jù)的方差小.故選：ACD10．聲音是由物體的振動產(chǎn)生的聲波，一個聲音可以是純音或復(fù)合音，復(fù)合音由純音合成，純音的函數(shù)解析式為.設(shè)聲音的函數(shù)為,音的響度與的最大值有關(guān)，最大值越大，響度越大；音調(diào)與的最小正周期有關(guān)，最小正周期越大聲音越低沉．假設(shè)復(fù)合音甲的函數(shù)解析式是，純音乙的函數(shù)解析式是，則下列說法正確的有（

）A．純音乙的響度與ω?zé)o關(guān)B．純音乙的音調(diào)與ω?zé)o關(guān)C．若復(fù)合音甲的音調(diào)比純音乙的音調(diào)低沉，則D．復(fù)合音甲的響度與純音乙的響度一樣大【答案】AC【分析】對于A，判斷純音乙函數(shù)的最大值是否為定值即可；對于B，判斷純音乙函數(shù)的周期是否為定值即可；對于C，只需復(fù)合音甲函數(shù)的周期更大即可，列出不等式計(jì)算并判斷；對于D，可以發(fā)現(xiàn)，但不能取等，由此即可判斷.【詳解】由題意，設(shè)的最小正周期為，則，所以，故，故，當(dāng)時，有，從而的最小正周期為，對于A，由于純音乙的最大值，即其最大值不變，所以純音乙的響度與ω?zé)o關(guān)，故A正確；對于B，對于純音乙函數(shù)而言，其周期滿足，所以純音乙的音調(diào)與ω有關(guān)，故B錯誤；對于C，若復(fù)合音甲的音調(diào)比純音乙的音調(diào)低沉，則復(fù)合音甲函數(shù)的周期要更大，即，解得，故C正確；對于D，，但不能同時取等，所以，即，所以復(fù)合音甲的響度比純音乙的響度小，故D錯誤.故選：AC.11．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：的焦點(diǎn)為，，，為拋物線上的任意三點(diǎn)(異于點(diǎn))，，則下列說法正確的有（

）A．設(shè)，到直線的距離分別為，，則B．C．若，則D．若直線，，的斜率分別為，，，則【答案】BCD【分析】根據(jù)拋物線得定義可判斷；根據(jù)三角形重心公式以及拋物線定義可判斷；根據(jù)重心相關(guān)性質(zhì)即可判斷；根據(jù)題意求得直線,,的斜率，代入等式計(jì)算可判斷.【詳解】對于，拋物線方程為，所以拋物線得準(zhǔn)線為，所以，到直線的距離之和，因?yàn)槿c(diǎn)不一定共線，所以，即，故錯誤；對于，因?yàn)闉閽佄锞€上任意三點(diǎn)，且，所以為的重心，，所以，所以，故正確；對于，延長交于點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹匦模?，且是的中點(diǎn)，因?yàn)?，在中，有，所以，故正確；對于，因?yàn)?，兩式相減,得：,所以,,同理可得,,,所以，故正確.故選：.12．在長方體中，，點(diǎn)E是正方形內(nèi)部或邊界上異于點(diǎn)C的一點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．若∥平面，則B．設(shè)直線與平面所成角的最小值為θ，則C．存在，使得D．若，則EB的最小值為【答案】ABD【分析】對于A：根據(jù)面面平行的性質(zhì)分析判斷；對于B：分析可知直線與平面所成角為，進(jìn)而可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，取到最小值，運(yùn)算求解即可；對于C：設(shè)，若，則，代入運(yùn)算求解即可；對于D：分析可知，所以點(diǎn)在以為直徑的半圓上（不包括），結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)槠矫妗纹矫?，若∥平面，則平面又因?yàn)槠矫?，且平面平面，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)槠矫妫瑒t直線與平面所成角為，顯然，可知，則，可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，取到最大值，此時取到最小值，即取到最小值，所以，故B正確；對于選項(xiàng)C：假設(shè)存在，使得，設(shè)，則，可得，若，則，即，整理得，無解，所以不存在，使得，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：若，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，且，平面，所以平面，且平面，則，所以點(diǎn)在以為直徑的半圓上（不包括），設(shè)的中點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，即EB的最小值為，故D正確；故選：ABD.三、填空題13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和，點(diǎn)在軸上．若直線與直線的夾角為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】/（0.5）【分析】翻譯垂直條件，利用直線斜率建立方程求解即可.【詳解】設(shè)橫坐標(biāo)為，且由題意得，與相互垂直，，解得,故,故答案為：14．在中，，D是射線上一點(diǎn)，且，則．【答案】14【分析】畫出圖形，首先在中運(yùn)用正弦定理得，然后在中運(yùn)用余弦定理即可.【詳解】如圖所示：在中，，所以，由正弦定理有，即，在中，，則由余弦定理可得.故答案為：14.15．某商場為了促銷，每天會在上午和下午各舉辦一場演出活動，兩場演出活動相互獨(dú)立．每個時段演出的概率分別如下：上午演出時段9：00－9：3010：00－10：3011：00－11：30下午演出時段14：00－14：3015：00－15：3016：00－16：30相應(yīng)的概率若某顧客打算第二天11：00抵達(dá)商場并逛小時后離開，則他當(dāng)天能觀看到演出的概率為．【答案】【分析】利用概率的性質(zhì)、互斥事件的概率公式、對立事件的概率公式運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，顧客打算第二天11：00抵達(dá)商場并逛小時后離開，即14：30離開，設(shè)11：00－14：30看不到演出的概率為，11：00－14：30看不到演出即上午演出時間為9：00－9：30或10：00－10：30且下午演出時間為15：00－15：30或16：00－16：30，上午演出時間為9：00－9：30或10：00－10：30的概率；下午演出時間為15：00－15：30或16：00－16：30的概率，∴，∴當(dāng)天能觀看到演出的概率為.故答案為：.16．已知向量,，，則向量最大夾角的余弦值為．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)得到滿足關(guān)系式，然后利用向量夾角公式算出夾角余弦的表達(dá)式，利用一元二次方程的判別式算出的取值范圍，進(jìn)而算出向量最大夾角的余弦值.【詳解】根據(jù)題意設(shè)，可得，所以，設(shè)向量夾角為，則，設(shè)，得，代入，整理得，由，得，即，解得，則當(dāng)時，有最大值，此時有最小值，由于，可知最小時角最大，所以最大夾角的余弦值為.故答案為:.四、解答題17．已知函數(shù)的最大值為．(1)求的解析式；(2)若，，求實(shí)數(shù)m的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換得到，根據(jù)最大值得到，得到函數(shù)解析式；（2）先根據(jù)求出，求出，從而得到實(shí)數(shù)m的取值范圍，得到答案.【詳解】（1），因?yàn)榈淖畲笾禐椋?，解得，所以．?）由（1）可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，即時，．因?yàn)楹愠闪?，所以即可，即恒成立，因此m的最小值為．18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心在上，且圓C與x軸相切，直線，．(1)若直線與圓C相切，求a的值；(2)若直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，將圓C分成的兩段弧的弧長之比為，且，求圓C的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由題意設(shè)圓心，，分析可得，且，進(jìn)而求解即可；（2）結(jié)合題設(shè)和圓的性質(zhì)可得圓心C到的距離d等于圓C半徑的倍，進(jìn)而列出方程可得或，再由可得AB的垂直平分線經(jīng)過和圓心，進(jìn)而結(jié)合斜率關(guān)系列出方程求解即可.【詳解】（1）因?yàn)閳A心C在直線l上，可設(shè)圓心，．因?yàn)閳AC與x軸相切，所以，又因?yàn)橹本€與圓C相切，所以，即，解得.（2）因?yàn)锳，B把圓C分成的兩段弧長之比為，所以弦AB所對劣弧圓心角為，所以圓心C到的距離d等于圓C半徑的倍，則，即，解得或，又因?yàn)?，所以AB的垂直平分線經(jīng)過和圓心，所以，當(dāng)時，，圓C方程為；當(dāng)時，，圓C方程為.綜上所述，圓C方程為或.

19．如圖，一個質(zhì)地均勻的正二十面體骰子的各面上標(biāo)有數(shù)字這個數(shù)字(相對的兩個面上的數(shù)字相同)，拋擲這個骰子，并記錄下朝上一面(與地面或桌面平行)的數(shù)字．記事件為“拋兩次，兩次記錄的數(shù)字之和大于”，記事件為“拋兩次，兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“拋兩次，第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”．(1)求，；(2)判斷事件與事件是否相互獨(dú)立，并說明理由．【答案】(1)，(2)獨(dú)立，理由見解析【分析】（1）確定樣本空間，共有100種等可能的樣本點(diǎn)，，，得到概率；（2）計(jì)算，，，得到結(jié)論.【詳解】（1）若用表示第一次拋擲骰子數(shù)字為，用表示第二次拋擲骰子數(shù)字為，則樣本空間，共有100種等可能的樣本點(diǎn)．，所以．因?yàn)楣灿?0個樣本點(diǎn)，所以．（2），故，，共有個樣本點(diǎn)，故．，故．故，所以事件與事件獨(dú)立．20．在中，分別為角所對的邊，．(1)求角的大?。?2)若的面積為，且，，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）解法一：根據(jù)題意，由余弦定理化簡得，求得，即可求解；解法2：根據(jù)題意，由正弦定理和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，得到，求得，即可求解；（2）利用三角形的面積公式，求得，結(jié)合題意，利用向量的運(yùn)算法則，化簡得，進(jìn)而得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）解法一：因?yàn)?，所以，由余弦定理得，化簡得，所以，因?yàn)?，所?解法2：因?yàn)?，所以，由正弦定理得，因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)?，所以，即，化簡得，因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)?，所?（2）解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，即等號成立，所以的最小值為．21．如圖，在所有棱長都等于1的三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABB1＝，∠B1BC＝．

(1)證明：A1C1⊥B1C；(2)求直線BC與平面ABB1A1所成角的大小．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用勾股定理得出AC⊥B1C，異面直線所成角定義即得.（2）首先根據(jù)題意連接AB1，A1B，交于點(diǎn)O，連接BC1，連接CO，進(jìn)而證明CO⊥平面A1ABB1，再根據(jù)線面角的定義即得.【詳解】（1）證明：連接AB1，在△ABB1中，∠ABB1＝，AB＝BB1＝1，所以AB1＝，在△BCB1中，∠B1BC＝，BC＝BB1＝1，所以B1C＝1，所以在△ACB1中，AB1＝，B1C＝1，AC＝1，所以AB12＝AC2＋B1C2，所以AC⊥B1C．又因?yàn)樵谌庵鵄BC－A1B1C1中，1，所以A1C1⊥B1C．（2）方法1連接AB1，A1B，交于點(diǎn)O，連接BC1，連接CO．

在邊長都為1的正方形A1ABB1中，O是AB1的中點(diǎn)，又因?yàn)锽1C＝AC＝1，所以CO⊥AB1．因?yàn)樗倪呅蜝1BCC1邊長都為1，所以B1C⊥BC1．由(1)知B1C⊥A1C1．又因?yàn)锳1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1平面A1BC1，所以B1C⊥平面A1BC1．因?yàn)锳1B平面A1BC1，所以B1C⊥A1B．因?yàn)樵谶呴L都為1的四邊形A1ABB1中，A1B⊥AB1．又因?yàn)锳B1∩B1C＝B1，AB1，B1C平面AB1C，所以A1B⊥平面AB1C．因?yàn)镃O平面AB1C，所以CO⊥A1B．又因?yàn)锳1B∩AB1＝O，A1B，AB1平面A1ABB1，所以CO⊥平面A1ABB1，所以∠CBO即為直線BC與平面ABB1A1所成的角．在邊長都為1的四邊形A1ABB1中，∠ABB1＝，所以BO＝．因?yàn)锽C＝1，所以，所以∠CBO＝，所以直線BC與平面ABB1A1所成角的大小為．方法2取AB1中點(diǎn)O，連接BO，CO．在△ACB1中，AC＝B1C＝1，所以CO⊥AB1，

在邊長都為1