2024屆黑龍江省大慶市重點中學(xué)中考沖刺卷數(shù)學(xué)試題含解析

2024屆黑龍江省大慶市重點中學(xué)中考沖刺卷數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．如圖，從邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形，然后將剩余部分剪后拼成一個長方形，上述操作能驗證的等式是（）A． B．C． D．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（―3，6）、B（―9，一3），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）3．如圖，A點是半圓上一個三等分點，B點是弧AN的中點，P點是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1，則AP＋BP的最小值為A．1 B． C． D．4．濟(jì)南市某天的氣溫：-5~8℃，則當(dāng)天最高與最低的溫差為（）A．13 B．3 C．-13 D．-35．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，則∠B′等于（）A．30° B．50° C．40° D．70°6．如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，過點D作DE∥AC，且DE=AC，連接CE、OE，連接AE，交OD于點F，若AB=2，∠ABC=60°，則AE的長為（）A． B． C． D．7．如圖，直線a、b被c所截，若a∥b，∠1=45°，∠2=65°，則∠3的度數(shù)為（）A．110° B．115° C．120° D．130°8．下列調(diào)查中，調(diào)查方式選擇合理的是（）A．為了解襄陽市初中每天鍛煉所用時間，選擇全面調(diào)查B．為了解襄陽市電視臺《襄陽新聞》欄目的收視率，選擇全面調(diào)查C．為了解神舟飛船設(shè)備零件的質(zhì)量情況，選擇抽樣調(diào)查D．為了解一批節(jié)能燈的使用壽命，選擇抽樣調(diào)查9．有兩把不同的鎖和三把鑰匙，其中兩把鑰匙恰好分別能打開這兩把鎖，第三把鑰匙不能打開這兩把鎖，任意取出一把鑰匙去開任意的一把鎖，一次打開鎖的概率是（）A． B． C． D．10．搶微信紅包成為節(jié)日期間人們最喜歡的活動之一．對某單位50名員工在春節(jié)期間所搶的紅包金額進(jìn)行統(tǒng)計，并繪制成了統(tǒng)計圖．根據(jù)如圖提供的信息，紅包金額的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．20，20 B．30，20 C．30，30 D．20，30二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．當(dāng)a＜0，b＞0時．化簡：＝_____．12．用換元法解方程，設(shè)y=，那么原方程化為關(guān)于y的整式方程是_____．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A，P分別在x軸、y軸上，∠APO＝30°．先將線段PA沿y軸翻折得到線段PB，再將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段PC，連接BC．若點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），則線段BC的長為_____．14．王英同學(xué)從A地沿北偏西60°方向走100米到B地，再從B地向正南方向走200米到C地，此時王英同學(xué)離A地的距離是_____米．15．下列圖形是用火柴棒擺成的“金魚”，如果第1個圖形需要8根火柴，則第2個圖形需要14根火柴，第根圖形需要____________根火柴.16．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=6cm，將△ABC以點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到AB邊延長線上的點D處，則AC邊掃過的圖形（陰影部分）的面積是_____cm1．（結(jié)果保留π）．17．如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，則EC的長是_____．三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝1．在BC上求作一點P，使PA+PB＝BC；(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)求BP的長．19．（5分）如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過三個景點A、B、C，景區(qū)管委會又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點D，經(jīng)測量，景點D位于景點A的北偏東30′方向8km處，位于景點B的正北方向，還位于景點C的北偏西75°方向上，已知AB=5km.景區(qū)管委會準(zhǔn)備由景點D向公路a修建一條距離最短的公路，不考試其他因素，求出這條公路的長．（結(jié)果精確到0.1km）．求景點C與景點D之間的距離．（結(jié)果精確到1km）．20．（8分）下面是一位同學(xué)的一道作圖題：已知線段a、b、c（如圖），求作線段x，使他的作法如下：（1）以點O為端點畫射線，．（2）在上依次截取，．（3）在上截取．（4）聯(lián)結(jié)，過點B作，交于點D．所以：線段________就是所求的線段x．①試將結(jié)論補完整②這位同學(xué)作圖的依據(jù)是________③如果，，，試用向量表示向量．21．（10分）某新建成學(xué)校舉行美化綠化校園活動，九年級計劃購買A，B兩種花木共100棵綠化操場，其中A花木每棵50元，B花木每棵100元．（1）若購進(jìn)A，B兩種花木剛好用去8000元，則購買了A，B兩種花木各多少棵？（2）如果購買B花木的數(shù)量不少于A花木的數(shù)量，請設(shè)計一種購買方案使所需總費用最低，并求出該購買方案所需總費用．22．（10分）水果店張阿姨以每斤2元的價格購進(jìn)某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，每天可售出100斤，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出20斤，為保證每天至少售出260斤，張阿姨決定降價銷售．若將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是斤（用含x的代數(shù)式表示）；銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價降低多少元？23．（12分）如圖，某地方政府決定在相距50km的A、B兩站之間的公路旁E點，修建一個土特產(chǎn)加工基地，且使C、D兩村到E點的距離相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E應(yīng)建在離A站多少千米的地方？24．（14分）如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，AD是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線，交DA的延長線于點E，連接BD，且∠E＝∠DBC．（1）求證：DB平分∠ADC；（2）若EB＝10，CD＝9，tan∠ABE＝，求⊙O的半徑．

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、A【解題分析】

由圖形可以知道，由大正方形的面積-小正方形的面積=矩形的面積，進(jìn)而可以證明平方差公式．【題目詳解】解：大正方形的面積-小正方形的面積=，

矩形的面積=，

故，

故選：A．【題目點撥】本題主要考查平方差公式的幾何意義，用兩種方法表示陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．2、D【解題分析】

試題分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O關(guān)于原點位似，∴△ABO∽△A′B′O且＝.∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵點A（―3，6）且相似比為，∴點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是（―3×，6×），∴A′（－1,2）.∵點A′′和點A′（－1,2）關(guān)于原點O對稱，∴A′′（1,―2）.故答案選D.考點：位似變換.3、C【解題分析】作點A關(guān)于MN的對稱點A′,連接A′B，交MN于點P，則PA+PB最小，連接OA′,AA′.∵點A與A′關(guān)于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點，∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′，∵點B是弧AN∧的中點，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=1，∴A′B=∴PA+PB=PA′+PB=A′B=故選：C.4、A【解題分析】由題意可知，當(dāng)天最高溫與最低溫的溫差為8-（-5）=13℃，故選A.5、A【解題分析】

利用三角形內(nèi)角和求∠B，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解.【題目詳解】解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得：∠B=30°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得：∠B′=∠B=30°.故選：A.【題目點撥】本題考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形對應(yīng)角相等是本題的解題關(guān)鍵.6、C【解題分析】在菱形ABCD中,OC=AC，AC⊥BD，∴DE=OC，∵DE∥AC，∴四邊形OCED是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴平行四邊形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AD=AB=AC=2,OA=AC=1，在矩形OCED中,由勾股定理得：CE=OD=，在Rt△ACE中,由勾股定理得：AE=；故選C.點睛:本題考查了菱形的性質(zhì)，先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直求出∠COD=90°，證明四邊形OCED是矩形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC=AB，再根據(jù)勾股定理得出AE的長度即可.7、A【解題分析】試題分析：首先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠1+∠2=∠4，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠3=∠4求解．解：根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∴∠1+∠2=∠4=110°，∵a∥b，∴∠3=∠4=110°，故選A．點評：本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，難度較小．8、D【解題分析】

A．為了解襄陽市初中每天鍛煉所用時間，選擇抽樣調(diào)查，故A不符合題意；B．為了解襄陽市電視臺《襄陽新聞》欄目的收視率，選擇抽樣調(diào)查，故B不符合題意；C．為了解神舟飛船設(shè)備零件的質(zhì)量情況，選普查，故C不符合題意；D．為了解一批節(jié)能燈的使用壽命，選擇抽樣調(diào)查，故D符合題意；故選D．9、B【解題分析】解：將兩把不同的鎖分別用A與B表示，三把鑰匙分別用A，B與C表示，且A鑰匙能打開A鎖，B鑰匙能打開B鎖，畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，一次打開鎖的有2種情況，∴一次打開鎖的概率為：．故選B．點睛：本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．注意樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．10、C【解題分析】

根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)就是眾數(shù)，把一組數(shù)據(jù)按照大小順序排列，中間那個數(shù)或中間兩個數(shù)的平均數(shù)叫中位數(shù)．【題目詳解】捐款30元的人數(shù)為20人，最多，則眾數(shù)為30，中間兩個數(shù)分別為30和30，則中位數(shù)是30，故選C．【題目點撥】本題考查了條形統(tǒng)計圖、眾數(shù)和中位數(shù)，這是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、【解題分析】分析：按照二次根式的相關(guān)運算法則和性質(zhì)進(jìn)行計算即可.詳解：∵，∴.故答案為：.點睛：熟記二次根式的以下性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵：（1）；（2）=.12、6y2-5y+2=0【解題分析】

根據(jù)y＝，將方程變形即可．【題目詳解】根據(jù)題意得：3y＋，得到6y2－5y＋2＝0故答案為6y2－5y＋2＝0【題目點撥】此題考查了換元法解分式方程，利用了整體的思想，將方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．13、22【解題分析】

只要證明△PBC是等腰直角三角形即可解決問題.【題目詳解】解：∵∠APO＝∠BPO＝30°，∴∠APB＝60°，∵PA＝PC＝PB，∠APC＝30°，∴∠BPC＝90°，∴△PBC是等腰直角三角形，∵OA＝1，∠APO＝30°，∴PA＝2OA＝2，∴BC＝2PC＝22，故答案為22．【題目點撥】本題考查翻折變換、坐標(biāo)與圖形的變化、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明△PBC是等腰直角三角形．14、100【解題分析】先在直角△ABE中利用三角函數(shù)求出BE和AE，然后在直角△ACF中，利用勾股定理求出AC．解：如圖，作AE⊥BC于點E．∵∠EAB=30°，AB=100，∴BE=50，AE=50．∵BC=200，∴CE=1．在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理得：AC=100．即此時王英同學(xué)離A地的距離是100米．故答案為100．解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．15、【解題分析】

根據(jù)圖形可得每增加一個金魚就增加6根火柴棒即可解答.【題目詳解】第一個圖中有8根火柴棒組成，第二個圖中有8+6個火柴棒組成，第三個圖中有8+2×6個火柴組成，……∴組成n個系列正方形形的火柴棒的根數(shù)是8+6（n-1）=6n+2.故答案為6n+2【題目點撥】本題考查數(shù)字規(guī)律問題，通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律是解題關(guān)鍵.16、9π【解題分析】

根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAC=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得BC=AB，然后求出陰影部分的面積=S扇形ABE﹣S扇形BCD，列計算即可得解．【題目詳解】∵∠C是直角，∠ABC=60°，∴∠BAC=90°﹣60°=30°，∴BC=AB=×6=3（cm），∵△ABC以點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)得到△BDE，∴S△BDE=S△ABC，∠ABE=∠CBD=180°﹣60°=110°，∴陰影部分的面積=S扇形ABE+S△BDE﹣S扇形BCD﹣S△ABC=S扇形ABE﹣S扇形BCD=﹣=11π﹣3π=9π（cm1）．故答案為9π．【題目點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積計算，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，求出陰影部分的面積等于兩個扇形的面積的差是解題的關(guān)鍵．17、【解題分析】

由△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，DE∥AC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得DB：AB=BE：BC，又由DB=4，AB=6，BE=3，即可求得答案．【題目詳解】解：∵DE∥AC，∴DB：AB=BE：BC，∵DB=4，AB=6，BE=3，∴4：6=3：BC，解得：BC=，∴EC=BC﹣BE=﹣3=．故答案為．【題目點撥】考查了平行線分線段成比例定理，解題時注意：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例．三、解答題（共7小題，滿分69分）18、(1)見解析；(2)2.【解題分析】

（1）作AC的垂直平分線與BC相交于P；（2）根據(jù)勾股定理求解.【題目詳解】(1)如圖所示，點P即為所求．(2)設(shè)BP＝x，則CP＝1﹣x，由(1)中作圖知AP＝CP＝1﹣x，在Rt△ABP中，由AB2+BP2＝AP2可得42+x2＝(1﹣x)2，解得：x＝2，所以BP＝2．【題目點撥】考核知識點：勾股定理和線段垂直平分線.19、（1）景點D向公路a修建的這條公路的長約是3.1km；（2）景點C與景點D之間的距離約為4km．【解題分析】

解：（1）如圖，過點D作DE⊥AC于點E，過點A作AF⊥DB，交DB的延長線于點F，在Rt△DAF中，∠ADF=30°，∴AF=AD=×8=4，∴DF=，在Rt△ABF中BF==3，∴BD=DF﹣BF=4﹣3，sin∠ABF=，在Rt△DBE中，sin∠DBE=，∵∠ABF=∠DBE，∴sin∠DBE=，∴DE=BD?sin∠DBE=×（4﹣3）=≈3.1（km），∴景點D向公路a修建的這條公路的長約是3.1km；（2）由題意可知∠CDB=75°，由（1）可知sin∠DBE==0.8，所以∠DBE=53°，∴∠DCB=180°﹣75°﹣53°=52°，在Rt△DCE中，sin∠DCE=，∴DC=≈4（km），∴景點C與景點D之間的距離約為4km．20、①CD；②平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得對應(yīng)線段成比例；③.【解題分析】

①根據(jù)作圖依據(jù)平行線分線段成比例定理求解可得；②根據(jù)“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得對應(yīng)線段成比例”可得；③先證得，即，從而知．【題目詳解】①∵，∴OA：AB=OC：CD，∵，，，，∴線段就是所求的線段x，故答案為：②這位同學(xué)作圖的依據(jù)是：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得對應(yīng)線段成比例；故答案為：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得對應(yīng)線段成比例；③∵、，且，∴，∴，即，∴，∴．【題目點撥】本題主要考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定及向量的計算．21、（1）購買A種花木40棵，B種花木60棵；（2）當(dāng)購買A種花木50棵、B種花木50棵時，所需總費用最低，最低費用為7500元．【解題分析】

（1）設(shè)購買A種花木x棵，B種花木y棵，根據(jù)“A，B兩種花木共100棵、購進(jìn)A，B兩種花木剛好用去8000元”列方程組求解可得；（2）設(shè)購買A種花木a棵，則購買B種花木（100﹣a）棵，根據(jù)“B花木的數(shù)量不少于A花木的數(shù)量”求得a的范圍，再設(shè)購買總費用為W，列出W關(guān)于a的解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．【題目詳解】解析：（1）設(shè)購買A種花木x棵，B種花木y棵，根據(jù)題意，得：，解得：，答：購買A種花木40棵，B種花木60棵；（2）設(shè)購買A種花木a棵，則購買B種花木（100﹣a）棵，根據(jù)題意，得：100﹣a≥a，解得：a≤50，設(shè)購買總費用為W，則W=50a+100（100﹣a）=﹣50a+10000，∵W隨a的增大而減小，∴當(dāng)a=50時，W取得最小值，最小值為7500元，答：當(dāng)購買A種花木50棵、B種花木50棵時，所需總費用最低，最低費用為7500元．考點：一元一次不等式的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用.22、（1）100+200x；（2）1．【解題分析】試題分析：（1）銷售量=原來銷售量﹣下降銷售量，列式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)銷售量×每斤利潤=總利潤列出方程求解即可得到結(jié)論．試題解析：（1）將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是100+×20=100+200x斤；（2）根據(jù)題意得：，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴100+200x≥260，∴x≥0.8