3章-隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)變量

補(bǔ)充：第二章作業(yè)1.以單隊(duì)列單服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)為例，簡(jiǎn)述事件、活動(dòng)和進(jìn)程3個(gè)基本要素之間的關(guān)系。2.與固定步長(zhǎng)推進(jìn)法相比，在仿真過(guò)程中推進(jìn)仿真時(shí)間的變步長(zhǎng)推進(jìn)法有什么優(yōu)點(diǎn)？3.簡(jiǎn)述排隊(duì)系統(tǒng)和庫(kù)存系統(tǒng)的主要特征，并說(shuō)說(shuō)他們的區(qū)別？4.假設(shè)有一家超級(jí)市場(chǎng)請(qǐng)你去為他們建立商場(chǎng)的仿真模型，用來(lái)分析超級(jí)市場(chǎng)的運(yùn)行現(xiàn)狀并提出建議。簡(jiǎn)述你的工作計(jì)劃。第三章

隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)變量圖

離散事件系統(tǒng)仿真變步長(zhǎng)時(shí)間推進(jìn)法的控制流開(kāi)始(0)激活初始化程序(1)激活時(shí)間推進(jìn)程序(2)激活事件發(fā)生程序i重復(fù)主程序①設(shè)置仿真鐘=0②初始化系統(tǒng)狀態(tài)與統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)器③初始化事件列表(1)更新系統(tǒng)狀態(tài)(2)更新統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)器(3)產(chǎn)生將來(lái)事件并添加到事件列表中①確定下一事件類型，如i②推進(jìn)仿真鐘生成隨機(jī)變量仿真結(jié)束？(1)計(jì)算有關(guān)評(píng)價(jià)指標(biāo)(2)寫(xiě)仿真報(bào)告報(bào)告生成器終止YN(1)i(0)學(xué)習(xí)內(nèi)容3.1隨機(jī)變量與隨機(jī)數(shù)3.2常用分布3.3隨機(jī)數(shù)發(fā)生器3.4隨機(jī)變量的產(chǎn)生方法學(xué)習(xí)要求掌握：線性同余發(fā)生器、中值法、加同余法生成偽隨機(jī)數(shù)；逆變換法生成隨機(jī)變量。隨機(jī)實(shí)驗(yàn)：一個(gè)可觀察結(jié)果的人工或自然過(guò)程，所產(chǎn)生的結(jié)果可能不止一個(gè)，但事先不能確定會(huì)產(chǎn)生什么結(jié)果。例：骰子樣本空間：一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的全部可能出現(xiàn)的結(jié)果的集合，記為Ω。隨機(jī)事件：一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的一些可能的結(jié)果，是樣本空間的一個(gè)子集概率分布：如果樣本空間上的所有隨機(jī)事件都確定了概率，這些概率構(gòu)成樣本空間的一個(gè)概率分布物流系統(tǒng)中的隨機(jī)事件舉例客戶的需求物流設(shè)備作業(yè)時(shí)間設(shè)備故障、調(diào)整交通阻塞交貨期……3.1隨機(jī)變量與隨機(jī)數(shù)隨機(jī)變量：X離散型隨機(jī)變量：若隨機(jī)變量只能在有限或可列無(wú)窮多個(gè)(實(shí)數(shù))點(diǎn)上取值，則稱該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。概率分布三種表示方式：公式法：如泊松分布列表法：圖示法：x012P0.20.30.5210x-10.50.30.2P3.1隨機(jī)變量與隨機(jī)數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量X在一個(gè)或多個(gè)非退化的實(shí)數(shù)區(qū)間連續(xù)取值，且存在非負(fù)實(shí)函數(shù)f(x)，使得對(duì)任意x有。概率密度函數(shù)：f(x)隨機(jī)數(shù)：設(shè)X的概率密度函數(shù)為,則X為[0,1]上的均勻分布函數(shù)。在計(jì)算機(jī)上可產(chǎn)生X的抽樣序列{xn}，通常稱xn為[0,1]上均勻分布隨機(jī)變量X的隨機(jī)數(shù)。3.2常用分布分布函數(shù)：F(x)=P(X≤x)，概率累積函數(shù)/累積分布函數(shù)1.泊松分布：P(λ),λ是X的數(shù)學(xué)期望。分布定義常用于描述單位時(shí)間、單位面積或單位空間中罕見(jiàn)“質(zhì)點(diǎn)”總數(shù)的隨機(jī)分布規(guī)律。罕見(jiàn)事件的發(fā)生數(shù)為X，則X服從泊松分布。如單位時(shí)間內(nèi)放射型物質(zhì)放射出α粒子的數(shù)目；單位長(zhǎng)度的布匹上的疵點(diǎn)數(shù)路口通過(guò)的車輛數(shù)服務(wù)臺(tái)到達(dá)的顧客數(shù)…函數(shù)Poisson(mean,stream,substream)3.2常用分布2.均勻分布：X~U（a，b）含義隨機(jī)變量X在區(qū)間[min,max]的取值機(jī)會(huì)相等如果區(qū)間[min,max]為一整數(shù)區(qū)間，那么X服從整數(shù)均勻分布對(duì)某一變量的數(shù)據(jù)了解甚少，并且希望獲得特定范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)值時(shí)，采用該函數(shù)函數(shù)Uniform(min,max,stream,substream)3.2常用分布3.正態(tài)分布：X~N（μ，σ2

）某地區(qū)男(女)性成人的身高測(cè)量一個(gè)零件長(zhǎng)度的誤差函數(shù)Normal(mean,sd,stream,substream)例

將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在90攝氏度，液體的溫度X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X~N(90,0.52)，則在任意時(shí)刻測(cè)得的液體溫度為Normal(90,0.5)3.2常用分布4.指數(shù)分布：X~EXPO（λ

）含義表示獨(dú)立隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔函數(shù)Negexp(mean,stream,substeam)例旅客到達(dá)機(jī)場(chǎng)的時(shí)間間隔；客戶訂單到達(dá)的時(shí)間間隔；電子元器件壽命分布3.2常用分布5.二項(xiàng)分布：XB(trial,prob)分布定義任意一次試驗(yàn)中，只有事件A發(fā)生和不發(fā)生兩種結(jié)果，發(fā)生的概率分別是：p和1-p；若在相同的條件下，進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，用X表示這n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，那么X服從二項(xiàng)分布，記做XB(trial,prob)；函數(shù)binomial(prob,trials,stream,substream)例：特定供應(yīng)商提供的發(fā)動(dòng)機(jī)次品率為10%，求批量為5的發(fā)動(dòng)機(jī)中每批的次品數(shù)binomial(0.1,5)分布列如表3.3隨機(jī)數(shù)發(fā)生器對(duì)不同的系統(tǒng)或者過(guò)程進(jìn)行仿真時(shí)，如果系統(tǒng)或過(guò)程本身包含固有的隨機(jī)組成成分，就需要一定的方法來(lái)生成或者獲得隨機(jī)的數(shù)值。例如，排隊(duì)系統(tǒng)中的時(shí)間間隔，服務(wù)時(shí)間，庫(kù)存系統(tǒng)中的需求量等。在計(jì)算機(jī)仿真中，能否產(chǎn)生具有一定性能要求的隨機(jī)數(shù)是決定仿真是否可信的重要因素之一。3.3隨機(jī)數(shù)發(fā)生器按照某種概率分布要求產(chǎn)生一系列的隨機(jī)數(shù)。偽隨機(jī)數(shù)：按照一定的計(jì)算方法產(chǎn)生的一列數(shù)，使它們具有類似于均勻隨機(jī)變量的性質(zhì)，稱這樣產(chǎn)生的一系列數(shù)值為偽隨機(jī)數(shù)。一.線性同余法(線性同余發(fā)生器LCG)：*Ui為第i個(gè)隨機(jī)數(shù)，Z0稱為隨機(jī)數(shù)源或種子值；a為乘子；c為增量；m為模數(shù)；參數(shù)均為非負(fù)整數(shù)，應(yīng)滿足a＜m,c＜m,Z0＜m。將種子值Z0代入，得到一個(gè)Z0，Z1，…，Zi，…，Zn序列值。再令，則可得到均勻分布隨機(jī)數(shù)U(0,1)。*例：令Z0=27，

a=17，c=43，m=100，確定i=1,2,3的隨機(jī)數(shù)。解：產(chǎn)生的整數(shù)值將總是在0-99之間，Z0=27

Z1=(17×27+43)mod100=2，

U1=2/100=0.02

Z2=(17×2+43)mod100=77，

U2=77/100=0.77

Z3=(17×77+43)mod100=52，

U3=52/100=0.52線性同余發(fā)生器的缺點(diǎn)1.由公式計(jì)算得到的隨機(jī)數(shù)序列并不是真正意義上的隨機(jī)數(shù)，其取決于參數(shù)a，c，m，Z0。為使利用LCG產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)在[0,1]區(qū)間上表現(xiàn)出均勻分布的特性，必須適當(dāng)選擇參數(shù)。所以產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是否滿足需求，要對(duì)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的均勻性、獨(dú)立性和相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)。線性同余發(fā)生器的缺點(diǎn)2.所得到的Ui序列只能取有理數(shù)值0,1/m,2/m，…，m-1/m，或其中的一部分，這取決于a，c，m，Z0。只有當(dāng)m足夠大時(shí)，在[0,1]區(qū)間內(nèi)的取點(diǎn)才足夠密集。這可以保證在大多數(shù)情況下，獲得與真實(shí)的在[0,1]區(qū)間上的均勻分布足夠接近的隨機(jī)數(shù)。3.循環(huán)，即產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)具有周期性。當(dāng)Zi所取的值與以前的某次取值相同時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生相同的序列取值，并無(wú)窮重復(fù)下去。這個(gè)周期的長(zhǎng)短稱為發(fā)生器的周期。顯然周期最大=m，稱為全周期。LCG具有全周期的充要條件為：m和c互為質(zhì)數(shù)，即唯一的公約數(shù)是1；如果q是一個(gè)能整除m的質(zhì)數(shù),則q能整除a-1；如果m能被4整除，則a-1也能被4整除。二.中值平分法首先給出一個(gè)初值種子X(jué)0，對(duì)該數(shù)的平方取中間值的位數(shù)，將小數(shù)點(diǎn)放在數(shù)的最前方就得到一個(gè)隨機(jī)數(shù)。中間位數(shù)X1平方，按照同樣方法產(chǎn)生第二個(gè)隨機(jī)數(shù)。缺點(diǎn)：重復(fù)、退化二.中值平分法X0=6541，U0=0.6541X02=42784681，中間位數(shù)X1=7846，U2=0.7846……若出現(xiàn)奇位數(shù)則在平方數(shù)前補(bǔ)齊零三.加同余法只需要n個(gè)隨機(jī)數(shù)的序列x1，…，xn，然后隨機(jī)發(fā)生器把序列擴(kuò)充為xn+1，xn+2,…即可公式其中m為模。目前，隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生大多都是以黑匣子的形式集成在計(jì)算機(jī)軟件或仿真軟件里，如果需要，只需調(diào)用即可。四.組合發(fā)生器為了產(chǎn)生具有更長(zhǎng)周期和更好統(tǒng)計(jì)性能的隨機(jī)數(shù)，人們研究了采用兩個(gè)或者更多個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，將它們組合到一起，來(lái)生成最后的隨機(jī)數(shù)，而使最后的隨機(jī)數(shù)的周期長(zhǎng)度和性能比其中某個(gè)單獨(dú)的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)都更好。四.組合發(fā)生器n個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器組合發(fā)生器3.4隨機(jī)變量的產(chǎn)生方法隨機(jī)系統(tǒng)中的不確定性事件的相關(guān)變量，如到達(dá)間隔時(shí)間、服務(wù)時(shí)間等，是用具有某種統(tǒng)計(jì)分布的隨機(jī)變量來(lái)進(jìn)行建模的。計(jì)算機(jī)仿真模型產(chǎn)生隨機(jī)變量的方法一般是首先通過(guò)某種算法產(chǎn)生一個(gè)[0,1]區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，然后采用逆變法或其他方法產(chǎn)生服從某分布的隨機(jī)變量。3.4隨機(jī)變量的產(chǎn)生方法本節(jié)假定一個(gè)已經(jīng)完全確定的分布，來(lái)尋找方法生成這個(gè)分布的隨機(jī)數(shù)樣本，以輸入仿真模型使用。本節(jié)所有方法均假設(shè)隨機(jī)數(shù)u1，u2，…為均勻分布U(0,1)。1.逆變換法(反函數(shù)法)*逆變換法也稱反函數(shù)法，若U~U(0,1)，而F-1(U)

是分布函數(shù)F(x)的反函數(shù)，則X=F-1(U)~F(x)。由隨機(jī)數(shù)U(0,1)可直接生成規(guī)定分布F(x)的隨機(jī)變量{xi

}。算法步驟：設(shè)隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為F(x)；在區(qū)間[0,1]上取均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量u=F(x)

；由分布函數(shù)的反函數(shù)F-1(u)

得到的值即為所需要的隨機(jī)變量x；x=F-1(u)

即為所需要的隨機(jī)變量。1）1）

逆變換法生成均勻分布的隨機(jī)變量概率密度函數(shù)累積分布函數(shù)均勻分布隨機(jī)變量生成器

x11F(x1)F(x)xnxn-1x5x4x3xx2F(x3)F(x2)

例2.設(shè)離散隨機(jī)變量x的質(zhì)量函數(shù)及累積分布函數(shù)如表所示：表x的質(zhì)量函數(shù)及累積分布函數(shù)2.卷積法

由兩個(gè)或更多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的和形成的概率分布稱為原始變量的卷積分布。卷積法就是通過(guò)兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量的相加來(lái)得到新的具有某種所希望的分布的隨機(jī)變量。假設(shè)具有獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,,…,，令

則的分布函數(shù)與的分布函數(shù)相同，此時(shí)稱的分布為的折卷積。為了生成，可先獨(dú)立地從相應(yīng)分布函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)變量,,…,，然后利用上式得到，這就是卷積法。3.合成法若x的密度函數(shù)可寫(xiě)成且。合成法步驟如下：(1)產(chǎn)生一個(gè)正隨機(jī)變量，滿足

=0,1,2,…(2)根據(jù)取不同的值，產(chǎn)生服從分布函數(shù)(與相對(duì)應(yīng))的，然后返回。例題

雙指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為密度分布如圖所示。試生成服從該分布的隨機(jī)變量。圖雙指數(shù)分布的密度函數(shù)曲線例題解：該分布的概率密度函數(shù)，可以由以下兩個(gè)函數(shù)組合起來(lái)表示

式中可以看出，函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)和之和，并且。對(duì)于和可以應(yīng)用逆變換法，從而利用合成法生成隨機(jī)變量的過(guò)程如下。例題

(1)在區(qū)間上生成兩個(gè)相互獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)數(shù)，。

(2)當(dāng)時(shí)，則從生成，利用逆變換法可以得到。

(3)