高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)課件

2022高考一輪復(fù)習(xí)5.1任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀關(guān)聯(lián)考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化．2.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．1.象限角及終邊相同的角．2.扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用．3.三角函數(shù)的定義及應(yīng)用．1.數(shù)學(xué)抽象．2.直觀想象．3.數(shù)學(xué)運(yùn)算．(3)不相等的角終邊一定不相同．(

)(2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)．(

)課前自測(cè)(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角．(

)×√×(4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．(

)

(6)若α為第一象限角，則sinα＋cosα＞1.(

)1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)√√√

=2

AC3．若sinα＜0，且tanα＞0，則α是(

)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角sinα＜0tanα＞0α是第三象限角Cα的終邊在第三、第四象限或y軸的非正半軸上α的終邊在第一或第三象限4．一條弦長(zhǎng)等于半徑，則此弦所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為________rad.rrr

60°5．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－4，3)，則2sinα＋tanα的值為________．

Oxy－43P(－4，3)5α

考點(diǎn)梳理1．任意角的概念角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著________從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．(1)定義端點(diǎn)(2)角的分類按旋轉(zhuǎn)方向正角按_________方向旋轉(zhuǎn)而成的角負(fù)角按_________方向旋轉(zhuǎn)而成的角零角射線沒(méi)有旋轉(zhuǎn)按終邊位置前提：角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合象限角角的終邊在第幾象限，這個(gè)角就是第幾象限角其他角的終邊落在坐標(biāo)軸上逆時(shí)針順時(shí)針(3)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝____________________________．{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}Oxyα2．弧度制(1)定義把長(zhǎng)度等于_______的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.半徑長(zhǎng)(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝___________角度與弧度的換算1°＝______rad，1rad＝()°≈57°18′弧長(zhǎng)公式l＝__________扇形面積公式S＝_________＝

α·r2

α·r

3．任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么___叫做α的正弦，記作sinα___叫做α的余弦，記作cosα___叫做α的正切，記作tanα各象限符號(hào)ⅠⅡⅢⅣ口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦yx

正正正正負(fù)負(fù)負(fù)負(fù)負(fù)負(fù)正正常用結(jié)論象限角的集合第一象限角

第二象限角

第三象限角

第四象限角

常用結(jié)論軸線角的集合終邊落在x軸上的角

終邊落在y軸上的角

終邊落在坐標(biāo)軸上的角

常用結(jié)論三角函數(shù)定義的推廣

設(shè)點(diǎn)P(x，y)是角α終邊上任意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)重合，r＝|OP|，則常見(jiàn)誤區(qū)4．利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．1．相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角卻不一定相等．2．在同一個(gè)式子中，不能同時(shí)出現(xiàn)角度制與弧度制．3．已知三角函數(shù)值的符號(hào)求角的終邊位置時(shí)，不要遺忘終邊在坐標(biāo)軸上的情況．!典例剖析考點(diǎn)1象限角及終邊相同的角

A

C3．(多選)已知角2α的終邊在x軸的上方，那么角α可能是(

)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時(shí)，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α為第三角限角．角2α的終邊在x軸的上方當(dāng)k＝2n，n∈Z時(shí)，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α為第一象限角；k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Zk·180°<α<k·180°＋90°，k∈ZAC4．在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為_________________．代入得β＝－675°和β＝－315°.所有與45°終邊相同的角可表示為β＝45°＋k×360°(k∈Z)．令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，

從而k＝－2和k＝－1，－675°和－315°方法總結(jié)象限角的2種判斷方法圖象法在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角轉(zhuǎn)化法先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角

注意“順轉(zhuǎn)減，逆轉(zhuǎn)加”的應(yīng)用，如角α的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°可得角α＋180°的終邊，類推可知α＋k·180°(k∈Z)表示終邊落在角α的終邊所在直線上的角．①將θ的范圍用不等式(含有k，且k∈Z)表示；②兩邊同除以n或乘以n；注意考點(diǎn)2扇形的弧長(zhǎng)及面積公式[例1]已知扇形的圓心角是α

，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)l；

(2)若扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？由已知得，l＋2R＝20，則l＝20－2R，0<R<10，

所以當(dāng)R＝5時(shí)，S取得最大值，最大值為25cm2，此時(shí)l＝10cm，α＝2rad.

方法總結(jié)弧長(zhǎng)、扇形面積問(wèn)題的解題策略

運(yùn)用弧度制下有關(guān)弧長(zhǎng)、扇形面積公式的前提是角的度量單位為弧度．(2)求扇形面積的關(guān)鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)量中的任意兩個(gè)量．提醒跟蹤訓(xùn)練1．(多選)已知扇形的周長(zhǎng)是6cm，面積是2cm2，則下列選項(xiàng)正確的有(

)A．扇形的半徑為2B．扇形的半徑為1C．圓心角的弧度數(shù)是1D．圓心角的弧度數(shù)是2可得圓心角的弧度數(shù)是4或1，扇形的半徑是1或2.設(shè)扇形半徑為r，圓心角的弧度數(shù)為α，

ABC

記扇形的圓心角為α，

考點(diǎn)3三角函數(shù)的定義角度一利用三角函數(shù)的定義求值

C

記P為角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，設(shè)P(x，y)(x<0，y<0)

sinα<0sinαcosβ<0

角α只能是第三象限角|OP|＝1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))x2＋y2＝1

方法總結(jié)(3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角α的三角函數(shù)值．先求P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值．三角函數(shù)定義問(wèn)題的解題策略角度二判斷三角函數(shù)值的符號(hào)[例3](2020·高考全國(guó)卷Ⅱ)若α為第四象限角，則(

)A．cos2α>0B．cos2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0通解α為第四象限角D

－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)cos2α≤0或cos2α>0，sin2α<0角度二判斷三角函數(shù)值的符號(hào)[例3](2020·高考全國(guó)卷Ⅱ)若α為第四象限角，則(

)A．cos2α>0B．cos2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0優(yōu)解Dα為第四象限角

方法總結(jié)要判定三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定值的符號(hào)．如果不能確定角所在的象限，那就要進(jìn)行分類討論求解．三角函數(shù)值符號(hào)的判斷方法跟蹤訓(xùn)練

300°＝360°－60°，則300°是第四象限角，故sin300°<0；－305°＝－360°＋55°，則－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；

D

C

角α的終邊位于第二或第四象限當(dāng)角α的終邊位于第二象限時(shí)，

當(dāng)角α的終邊位于第四象限時(shí)，

0隨堂訓(xùn)練

點(diǎn)P(sinx－cosx，－3)在第三象限sinx－cosx<0