中考數學幾何模型重點突破講練：專題29 三角形的內切圓模型（教師版）

專題29三角形的內切圓模型【模型】如圖29-1，已知⊙O為的內切圓。（1）OA、OB、OC分別平分；（2）點O到AB，BC，AC的距離相等，均為⊙O的半徑?！纠?】如圖，在中，其周長為20，⊙I是的內切圓，其半徑為，則的外接圓半徑為（）A．7 B． C． D．【答案】D【分析】過C作CD⊥AB于D，由結合面積求出BC的長，由內心可以求出，的外接圓圓心為O,F是優(yōu)弧BC上任意一點，過O作OE⊥BC于E，求出圓心角，最后由垂徑定理求出半徑OB【解析】過C作CD⊥AB于D，的外接圓圓心為O,F是優(yōu)弧BC上任意一點，過O作OE⊥BC于E，設，∵，∴，∵在周長為20，內切圓半徑為，∴，∴∴中，∴∵在周長為20，∴∴解得∵是的內心∴BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB∴∵∴∴∵°∴∴∵OE⊥BC∴,∴故選D【例2】如圖，中，，則的內切圓半徑為_________．【答案】4【分析】先作AD⊥BC于點D，利用勾股定理求AD，再求三角形ABC的面積，利用內心與三頂點連線將三角形分成三個三角形，利用內切圓的半徑求三個三角形面積，利用面積構造r的等式，求出即可．【解析】過A作AD⊥BC于點D，設BD=x，CD=14-x，∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，∴132-x2=152-(14-x)2，解得：x=5，AD=，S△ABC==84，設的內切圓半徑為r，連結AI，BI，CI，則，S△ABC＝=，∴，∴21r=84，∴r=4，故答案為：4．【例3】如圖，AB=AC，CD⊥AB于點D，點O是∠BAC的平分線上一點，⊙O與AB相切于點M，與CD相切于點N．（1）求證：∠AOC=135°；（2）若NC=3，BC=，求DM的長．【答案】（1）見解析；（2）DM=1．【分析】(1)只要證明OC平分∠ACD，即可解決問題；(2)由切線長定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，設DM=DN=x，在Rt△BDC中，根據，構建方程即可解決問題．【解析】（1）證明：連接OM，ON，過O點做OE⊥AC，交AC于E，如圖所示，∵⊙O與AB相切于點M，與CD相切于點N∴OM⊥AB，ON⊥CD，∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB，∴OM=OE，即：E為⊙O的切點；∴OE=ON，又∵OE⊥AC，ON⊥CD，∴OC平分∠ACD，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∴∠OAC+∠OCA=45°，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°，即：∠AOC=135°，（2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，設DM=DN=x，∵AB=AC，∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x，∵CD=3+x，在Rt?BCD中，由勾股定理得：，即：，解得：x=1或x=-1（舍去），即DM=1．一、單選題1．若的外接圓半徑為R，內切圓半徑為，則其內切圓的面積與的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫好符合題意的圖形，由切線長定理可得：結合勾股定理可得：再求解直角三角形的面積，從而可得直角三角形的內切圓的面積與直角三角形的面積之比．【解析】解：如圖，由題意得：，由切線長定理可得：設，，而故選B．2．如圖，⊙O是等邊△ABC的內切圓，分別切AB，BC，AC于點E，F，D，P是上一點，則∠EPF的度數是（

）A．65° B．60° C．58° D．50°【答案】B【分析】連接OE，OF．求出∠EOF的度數即可解決問題．【解析】解：如圖，連接OE，OF．∵⊙O是△ABC的內切圓，E，F是切點，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB=∠OFB=90°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∴∠EPF=∠EOF=60°，故選：B．3．如圖，已知矩形的周長為，和分別為和的內切圓，連接，，，，，若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設AB=x，BC=y，內切圓半徑為r，由矩形的對稱性知，結合直角三角形內切圓半徑與三角形面積間的關系得到x、y、r的關系式，再由推導出x、y、r的關系，從而分別求出r，xy、的值，最后由勾股定理求得EF值.【解析】如圖，設AB=x，BC=y，內切圓半徑為r，則AC=∵矩形的周長為，∴x+y=8①∵和分別為和的內切圓，∴②由矩形的對稱性知，∵，∴，∴，即③由①、②、③聯立方程組，解得：r=1，xy=14，，作EH⊥FH于H，由勾股定理得：=36-32+8=12，∴EF=，故選：B.4．如圖，點是的內心，，則(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據三角形內角和定理求出，求出，求出的度數，根據三角形的內角和定理求出即可．【解析】解：，，點是的內心，，，，．故選：D．二、填空題5．已知平面直角坐標系中，點A(5，0)、B(，)和點P(a，a)．若⊙M是△PAB的內切圓，則⊙M面積的最大值是________________．【答案】π【分析】先求出AB解析式，得到AB與l平行，求出S△ABP為定值，由S△ABP=，可得當△PAB的周長最小時符合題意，再根據對稱性得到△PAB的周長值求出r，故可求解．【解析】設直線AB的解析式為y=kx+b把A(5，0)、B(，)代入得解得∴∵P(a，a)∴P點在直線l：上∴ABl∴S△ABP為定值如圖，作AC⊥l，在Rt△AOC中，∵k==tan∠AOC∴設AC=3a，CO=4a，∵AO=5，∴AC2+CO2=AO2，即（3a）2+（4a）2=52，解得a=1，∴AC=3，∵AB=，∴S△ABP=為定值，設△PAB的內切圓⊙M半徑為r，∵S△ABP=，∴當最小時，∵=AB+BP+AP，當BP+AP最小時符合題意，作點A關于直線l的對稱點D，∴PD=PA，當PA+PB=BD時，BP+AP最小，∵ABl，∴∠DAB=90°，AD=2AC=6，∴BD=，∴最小值為18，此時r=，∴⊙M面積為=π，故答案為：π．6．如圖，在中，，，，⊙為的內切圓，，與⊙分別交于點，．則劣弧的長是_______．【答案】【分析】先利用勾股定理計算出，再利用直角三角形內切圓半徑的計算方法得到，接著三角形角平分線的性質得到，然后根據弧長公式計算劣弧的長．【解析】解：，，，，為的內切圓，，平分，平分，，劣弧的長．故答案為．7．如圖所示的網格由邊長為個單位長度的小正方形組成，點、、、在直角坐標系中的坐標分別為，，，則內心的坐標為______．【答案】（2，3）【分析】根據A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系，計算出△ABC各邊的長度，易得該三角形是直角三角形，設BC的關系式為：y=kx+b，求出BC與x軸的交點G的坐標，證出點A與點G關于BD對稱，射線BD是∠ABC的平分線，三角形的內心在BD上，設點M為三角形的內心，內切圓的半徑為r，在BD上找一點M，過點M作ME⊥AB，過點M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到點M的坐標．【解析】解：根據A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系，根據題意可得：AB=，AC=，BC=，∵，∴∠BAC=90°，設BC的關系式為：y=kx+b，代入B，C，可得，解得：，∴BC：，當y=0時，x=3，即G（3,0），∴點A與點G關于BD對稱，射線BD是∠ABC的平分線，設點M為三角形的內心，內切圓的半徑為r，在BD上找一點M，過點M作ME⊥AB，過點M作MF⊥AC，且ME=MF=r，∵∠BAC=90°，∴四邊形MEAF為正方形，S△ABC=，解得：，即AE=EM=，∴BE=，∴BM=，∵B（-3，3），∴M（2，3），故答案為：（2，3）．8．已知的三邊a、b、c滿足，則的內切圓半徑=____．【答案】1【分析】先將變形成，然后根據非負性的性質求得a、b、c的值，再運用勾股定理逆定理說明△ABC是直角三角形，最后根據直角三角形的內切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半解答即可．【解析】解：則=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，∵42+32=52∴△ABC是直角三角形∴的內切圓半徑==1．故答案為1．9．如圖，的內切圓與分別相切于點，且，，則陰影部分的面積為_______(結果保留)．【答案】【分析】先根據勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再設的半徑為r，根據三角形的面積公式得出r的值，然后根據正方形的判定與性質、扇形的面積公式、三角形的面積公式即可得．【解析】是直角三角形，且設的半徑為r，則內切圓與分別相切于點即解得又四邊形AEOF是矩形，矩形AEOF是正方形則故答案為：．10．如圖，是四邊形的內切圓，連接、、、．若，則的度數是____________．【答案】【分析】如圖，設四個切點分別為點，分別連接切點與圓心，可以得到4對全等三角形，進而得到，，，，根據這8個角和為360°，∠1+∠8=，即可求出=∠5+∠4=72°．【解析】解：設四個切點分別為點，分別連接切點與圓心，則，，，且，在與中∴，∴，同理可得：，，，．故答案為：三、解答題11．已知：．問題一：請用圓規(guī)與直尺（無刻度）直接在內作內切圓，（要求清晰地保留尺規(guī)作圖的痕跡，不要求寫畫法）問題二：若的周長是24，的面積是24，，求的內切圓半徑．【答案】（1）見解析；（2）r=2【分析】（1）先作∠B和∠C的平分線交于點O，再過點O作OH⊥AB于H，然后以點O為圓心，OH為半徑作圓即可；（2）連結OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根據切線的性質得OD=OE=OF=r，則利用S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC得到rAB+rBC+rAC=24，變形得到r（AB+BC+AC）=24，然后把周長為24代入計算即可得到r的值．【解析】解：（1）如圖，為所求作的的內切圓；（2）解：如下圖，連結OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，設它的內切圓的半徑為r，則OD=OE=OF=r，∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，∴rAB+rBC+rAC=24，∴r（AB+BC+AC）=24，∴r24=24，∴r=2．即的內切圓的半徑為2．12．如圖，⊙O是△ABC的內切圓，且⊙O與△ABC的三邊分別切于點D、E、F，已知AB長為10cm，BC長為6cm，AC長為8cm．（1）求AE、CD、BF的長；（2）連接OD，OE，判斷四邊形ODCE的形狀，并說明理由；（3）求⊙O的面積．【答案】（1）AE=6cm；CD=2cm；BF=4cm；（2）四邊形ODCE是正方形，理由見解析；（3）4π．【分析】（1）根據切線長定理列出方程組可以得到解答；（2）連接OD、OE，則由切線性質和勾股定理可得∠C=∠OEC=∠ODC=90°，所以四邊形ODCE是矩形，再由OE=OD可知四邊形ODCE是正方形；（3）由（2）可得⊙O的半徑OD=CD=2cm，所以由面積公式即可求得⊙O的面積．【解析】解：（1）設AE=xcm，CD=ycm，BF=zcm，則由切線長定理可得：AF=AE=x，CE=CD=ycm，BD=BF=zcm，∴由題意可得：，解之可得：，∴AE=6cm，CD=2cm，BF=4cm；（2）四邊形ODCE是正方形，理由如下：如圖，連接OD、OE，∵，∴∠C=90°，又CA、CB與⊙O相切，∴∠OEC=∠ODC=90°，∴四邊形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴四邊形ODCE是正方形；（3）由（2）知，⊙O的半徑OD=CD=2cm，∴．13．如圖，已知⊙O為Rt△ABC的內切圓，切點分別為D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．（1）求BF的長；（2）求⊙O的半徑r．【答案】（1）BF＝10；（2）r=2．【分析】（1）設BF＝BD＝x，利用切線長定理，構建方程解決問題即可．（2）證明四邊形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解決問題．【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝＝＝5，∵⊙O為Rt△ABC的內切圓，切點分別為D，E，F，∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，設BF＝BD＝x，則AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，∵AE+EC＝5，∴13﹣x+12﹣x＝5，∴x＝10，∴BF＝10．（2）連接OE，OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四邊形OECF是矩形，∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．即r＝2．14．已知：如圖，⊙O是Rt△ABC的內切圓，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半徑r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半徑r．【答案】（1）r=3cm.

(2)r=（a+b-c）．【分析】首先設AC、AB、BC與⊙O的切點分別為D、E、F；易證得四邊形OFCD是正方形；那么根據切線長定理可得：CD=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的長．【解析】（1）如圖,連接OD，OF；在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm；根據勾股定理AB==15cm；四邊形OFCD中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；則四邊形OFCD是正方形；由切線長定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；則CD=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（12+9-15）=3cm．（2）當AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得：CD=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（a+b-c）．則⊙O的半徑r為：（a+b-c）．15．如圖，在中，，，是的外接圓，連接并延長交于點，連接，點是的內心．（1）請用直尺和圓規(guī)作出點，證明；（2）求線段長．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）三角形內心的作法確定點E，點是的內心可得到，是的外接圓，用外接圓的性質可以求出，再用三角形角之間的關系可以證明．（2）得到為的直徑，是的外接圓可知垂直平分，是內心可推出，再用三角函數的性質可求出．【解析】（1）如圖，點即為所求．∵，，∴．連接BE，∵點是的內心，∴．∵是的外接圓，∴，又∵，∴，∴，在中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．（2）∵，∴為的直徑，∴∵是的外接圓∴垂直平分∴平分∵是內心∴平分∴點在線段上，即∵∴，∴∵∴．16．如圖，的半徑是3，點是上一點，弦垂直平分線段，點是上的任意一點（不與，重合），于點，以為圓心，為半徑作，分別過，兩點作的切線，切點分別為，，兩切線交于點．（1）求弦的長；（2）求的大小；（3）設的面積為，若，求的半徑．【答案】（1）；（2）60°；（3）1【分析】（1）連結，記與的交點為，則有．由弦垂直平分線段，可得，．在中求得，即可得；（2）連結，，，由（1）得，，即可得，所以，．由題意，得點為的內心，可得，．再由，即可得．（3）連結，，，設的周長為，的半徑為，則有，，，所以．又因，是的切線，可得，在直角中，，求得．已知，可得，解之即可得的半徑．【解析】（1）如圖，連結，記與的交點為，則有．∵弦垂直平分線段，∴，．在中，∵，∴．（2）如圖，連結，，，由（1）得，，∴，∴，∴．∵由題意，得點為的內心，∴，．∵，∴，∴．（3）如圖，連結，，ME，設的周長為，的半徑為，則有，，，∴．∵，是的切線，∴，∴在直角中，，∴．∵，∴，∴，或（舍去），∴的半徑是1．17．【特例感知】（1）如圖（1），是的圓周角，BC為直徑，BD平分交于點D，，，求點D到直線AB的距離．【類比遷移】（2）如圖（2），是的圓周角，BC為的弦，BD平分交于點D，過點D作，垂足為點E，探索線段AB，BE，BC之間的數量關系，并說明理由．【問題解決】（3）如圖（3），四邊形ABCD為的內接四邊形，，BD平分，，，求的內心與外心之間的距離．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）．【分析】（1）如圖①中，作于，于．理由面積法求出，再利用角平分線的性質定理可得解決問題；（2）如圖②中，結論：．只要證明，推出，，推出即可解決問題；（3）如圖③，過點D作DF⊥BA，交BA的延長線于點F，DE⊥BC，交BC于點E，連接AC，作△ABC△ABC的內切圓，圓心為M，N為切點，連接MN，OM．由（1）（2）可知，四邊形BEDF是正方形，BD是對角線．由切線長定理可知：，推出，由面積法可知內切圓半徑為2，在中，理由勾股定理即可解決問題；【解析】解：（1）如圖①中，作于，于．

圖①平分，，，，是直徑，，，，，．故答案為（2）如圖②中，結論：．

圖②理由：作于，連接，．平分，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖③，過點D作DF⊥BA，交BA的延長線于點F，DE⊥BC，交BC于點E，連接AC，作△ABC△ABC的內切圓，圓心為M，N為切點，連接MN，OM．由（1）（2）可知，四邊形BEDF是正方形，BD是對角線．

圖③，正方形的邊長為7，由（2）可知：，，由切線長定理可知：，，設內切圓的半徑為，則解得，即，在中，．故答案為．18．如圖1，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形的頂點在軸的正半軸上，為坐標原點，現將正方形繞點按順時針方向旋轉，旋轉角為（）（1）當點落到軸正半軸上時，求邊在旋轉過程中所掃過的面積；（2）若線段與軸的交點為（如圖2），線段與直線的交點為，當時，求此時內切圓的半徑；（3）設的周長為，試判斷在正方形旋轉的過程中值是否發(fā)生變化，并說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不發(fā)生變化，理由見詳解.【分析】（1）由題意當點落到軸正半軸上時，邊在旋轉過程中所掃過的面積由此計算即可．（2）如圖2中，在取一點，使得，首先證明是等腰直角三角形，推出，設，則，可得，解得，推出，同理可得，推出，設的內切圓的半徑為，則有，由此求出即可解決問題．（3）在正方形旋轉的過程中值不發(fā)生變化．如圖3中，延長到使得．只要證明，推出，，再證明，推出，推出的周長．【解析】解：（1）如圖1中，由題意當點落到軸正半軸上時，邊在旋轉過程中所掃過的面積．（2）如圖2中，在取一點，使得，，，，是等腰直角三角形，，設，則，，，，同理可得，，設的內切圓的半徑為，則有，．（3）在正方形旋轉的過程中值不發(fā)生變化．理由：如圖3中，延長到使得．，，，，，，，，，，，，的周長，的周長為定值．19．閱讀材料：已知，如圖（1），在面積為S的△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,內切圓O的半徑為r連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個小三角形．∴．（1）類比推理：若面積為