中考數(shù)學幾何模型重點突破講練：專題06 三角形中的雙角平分線模型（教師版）

專題06三角形中的雙角平分線模型【模型1】雙角平分線模型如圖，已知在中，BO，CO分別是，的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，可得?！灸Ｐ?】一內(nèi)角一外角平分線模型如圖，已知在中，BP，CP分別是，的平分線，，，，；；；；【模型3】雙外角平分線模型如圖，已知在中，BP，CP分別是，的平分線，根據(jù)外角定理，，，又，，；；；；；；；【例1】如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，延長BO與∠ACB的外角平分線交于點D，若∠BOC＝130°，則∠D＝_____【答案】40°【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，∴∠ACO=∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°，∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案為：40°．【例2】如圖，已知△ABC，O是△ABC內(nèi)的一點，連接OB、OC，將∠ABO、∠ACO分別記為∠1、∠2，則∠1、∠2、∠A、∠O四個角之間的數(shù)量關(guān)系是（

）A．∠1+∠0=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C．∠1+∠2+∠A+∠O=360° D．∠1+∠2+∠A=∠O【答案】D【分析】連接AO并延長，交BC于點D，由三角形外角的性質(zhì)可知∠BOD=∠BAD+∠1，∠COD=∠CAD+∠2，再把兩式相加即可得出結(jié)論．【解析】解：連接AO并延長，交BC于點D，∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角，∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．故選：D．【例3】（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，和的平分線交于，則的度數(shù)是______（2）類比探究：如圖2，在中，的平分線和的外角的角平分線交于，則與的關(guān)系是______，并說明理由．（3）類比延伸：如圖3，在中，外角的角平分線和的外角的角平分線交于，請直接寫出與的關(guān)系是______．【答案】（1）110°；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算即可；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ACE=∠ABC+∠A、∠PCE=∠PBC+∠BPC，根據(jù)角平分線的定義解答；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論然后用角分線的定義，計算即可．【解析】解：（1）∵，∴，∵和的平分線交于，∴，，∴故答案為110°（2），證明：∵是的外角，是的外角，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（3）由（1）得，，故答案為：．一、單選題1．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點O，設∠A=m，則∠BOC=（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠ABC+∠ACB，根據(jù)角的和差，可得∠DBC+∠BCE，根據(jù)角平分線的定義，可得∠OBC+∠OCB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得答案．【解析】解：如圖：，由三角形內(nèi)角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m，由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+m，由∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點O，得∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠BCE）=90°+m，由三角形的內(nèi)角和，得∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-m．故選：B．2．如圖：、是、的角平分線，，（

）A．∠BPC=70o B．∠BPC=140oC．∠BPC=110o D．∠BPC=40o【答案】C【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，進而可求的度數(shù)，再次在中利用三角形內(nèi)角和即可求解．【解析】解：，，又平分，平分，，，，．故選：C．3．如圖，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，則∠A等于（）A．36° B．30° C．20° D．18°【答案】A【分析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分線的性質(zhì)，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代換，即可求得∠A與∠E的關(guān)系，即可得到結(jié)論．【解析】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=（∠A+∠ABC）．又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），∴∠E=∠A=18°，∴∠A=36°．故選A．4．如圖，中，與的平分線交于點，過點作交于點，交于點，那么下列結(jié)論：①和都是等腰三角形②；③；④若，則．其中正確的有（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的判斷與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系即可求解．【解析】解：①∵BF是∠ABC的角平分線，CF是∠ACB的角平分線，∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∵DE∥BC，∴∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，∴DB=DF，EF=EC，∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，∴①選項正確，符合題意；②∵DE=DF+FE，∴DB=DF，EF=EC，∴DE=DB+CE，∴②選項正確，符合題意；③根據(jù)題意不能得出BF＞CF，∴④選項不正確，不符合題意；④∵若∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，∵∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∴∠CBF+∠BCF=×100°=50°，∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，∴④選項正確，符合題意；故①②④正確．故選C5．如圖，，的角平分線交于點，若，，則的度數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：延長PC交BD于E，設AC、PB交于F，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD?∠D，根據(jù)PB、PC是角平分線得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A?∠D，代入即可求出∠P．法二：延長DC，與AB交于點E．設AC與BP相交于O，則∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入計算即可．【解析】解：法一：延長PC交BD于E，設AC、PB交于F，∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD?∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD?∠D，∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A?∠D＋∠ABF＋∠PCD，∵PB、PC是角平分線∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A?∠D∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°．法二：延長DC，與AB交于點E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°，∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，整理得∠ACD?∠ABD＝58°．設AC與BP相交于O，則∠AOB＝∠POC，∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，即∠P＝48°?（∠ACD?∠ABD）＝19°．故選A.二、填空題6．如圖，在中，，和的平分線交于點，得，和的平分線交于點，得；；和的平分線交于點，則__．（用表示）【答案】【分析】利用角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)，易證∠A1=∠A，由于∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…，以此類推可知∠A2020即可求得．【解析】∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1=（∠ACD-∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD-∠ABC，∴∠A1=∠A，以此類推∠A2=∠A1=?∠A=∠A,∠A3=∠A2=∠A=∠A，……，所以∠An=，．故答案為：．7．如圖，在△中，，如果與的平分線交于點，那么＝_________度．【答案】125【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，進而可求的度數(shù)，最后再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．【解析】，．∵BD平分，CD平分，，．故答案為：125．8．如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，交BO的延長線于點E，記，，則以下結(jié)論①，②，③，④，正確的是________．（把所有正確的結(jié)論的序號寫在橫線上）【答案】①④【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°＋∠1，∠BOC＝90°＋∠2，再分析判斷．【解析】∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE?∠DBE＝（∠ACD?∠ABC）＝∠1，故①正確；∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°?（∠OBC＋∠OCB）＝180°?（∠ABC＋∠ACB）＝180°?（180°?∠1）＝90°＋∠1，故②、③錯誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，∴∠OCE＝（∠ACB＋∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2，故④正確；故答案為：①④．9．如圖，的角平分線、相交于點，，則______．【答案】．【分析】根據(jù)三角形的角平分線定義和三角形的內(nèi)角和定理求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．【解析】解：∵OB、OC分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠OBC+∠OCB=∵∠A=40°，∴∠OBC+∠OCB==70°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°．故答案是110．10．如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點F，作，則周長為________．【答案】【分析】知道和是角平分線，就可以求出，的垂直平分線交于點F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半，再求出DE，得到．【解析】解：的垂直平分線交于點F，（垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等）∴∵，是角平分線∴∵∴，∴11．如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F=________．【答案】15°【分析】先由BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，則根據(jù)平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，兩式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出∠E=30°；再由BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代換得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再進行等量代換可得到∠F=∠E．【解析】解：如圖：∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，∵BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，∵BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，∴2∠F=∠E，∴∠F=∠E=×30°=15°．故答案為：15°．三、解答題12．（1）如圖所示，在中，分別是和的平分線，證明：．（2）如圖所示，的外角平分線和相交于點D，證明：．（3）如圖所示，的內(nèi)角平分線和外角平分線相交于點D，證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】（1）設．由的內(nèi)角和為，得．①由的內(nèi)角和為，得．②由②得．③把③代入①，得，即，即（2）∵BD、CD為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線，∴由三角形內(nèi)角和定理得，，=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，=180°-（∠A+180°），=90°-∠A；（3）如圖：∵BD為△ABC的角平分線，交AC與點E，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，兩角平分線交于點D∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，把①代入②得∠D=∠A．13．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O①若∠ABC=40°，∠ACB=50°，則∠BOC的度數(shù)為；②若∠A=76°，則∠BOC的度數(shù)為；③你能找出∠A與∠BOC之間的數(shù)量關(guān)系嗎？說明理由【答案】①135°；②128°；③∠BOC=90°+∠A，理由見解析【分析】①利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義進行求解；②利用三角形的內(nèi)角和定理求出（∠ABC+∠ACB）的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理進行求解；③利用三角形的內(nèi)角和定理求出（∠ABC+∠ACB）的度數(shù),再根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理進行求解．【解析】解：①∵∠ABC=40°，∠ACB=50°，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點O，∴∠OBC=∠ABC=20°，∠OCB=∠ACB=25°，又∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=135°，故答案為：135°；②∵在△ABC中，∠A=76°，∴∠ABC+∠ACB=104°，∴由①知，∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=128°，故答案為：128°③∠BOC=90°+∠A，理由如下：∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．14．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度數(shù)．（2）當∠A為多少度時，∠BPC＝3∠A？【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，求得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得；（2）根據(jù)（1）的方法求得，再結(jié)合條件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A．【解析】（1）平分，平分，，∠ABC+∠ACB＝130°，，，（2）平分，平分，，，，，∠BPC＝3∠A，．15．數(shù)學思想運用：(1)如圖①所示，△ABC的外角平分線交于G，若∠A=80°，則∠BGC=______°，請你猜測∠BGC和∠A的數(shù)量關(guān)系：_______________．(2)如圖②所示，若△ABC的內(nèi)角平分線交于點I，若∠A=50°，則∠BIC=______°，請你猜測∠BIC和∠A的數(shù)量關(guān)系：__________________．(3)已知，如圖③，△ABC中，的平分線與的平分線交于點，請你猜測∠D和∠A的數(shù)量關(guān)系：____________________．若，求的度數(shù)（寫出求解過程）．【答案】(1)

50

(2)

115

(3)，35°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，可知，繼而求出由角平分線的定義得出，再由三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，可得，根據(jù)角平分線的意義可得，再由三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）先由角平分線的定義可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得，利用角的和差即可求解；將代入數(shù)量關(guān)系即可求解．【解析】（1）分別平分故答案為：50，（2）分別平分故答案為：115，（3）分別平分故答案為：16．中，．（1）如圖①，若點是與平分線的交點，求的度數(shù)；（2）如圖②，若點是與平分線的交點，求的度數(shù)；（3）如圖③，若點是與平分線的交點，求的度數(shù)；（4）若.請直接寫出圖①，②，③中的度數(shù)，(用含的代數(shù)式表示)【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分別為：①；②；③【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義得出∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠P的度數(shù)；（2）由三角形內(nèi)角和定理和鄰補角關(guān)系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分線得出∠PBC+∠PCB=（∠CBD+∠BCE）=115°，再由三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果；（3）由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義證出∠P=∠A，即可得出結(jié)果；（4）由（1）（2）（3），容易得出結(jié)果．【解析】解:（1），，點是與平分線的交點，，，，；（2），，點是與平分線的交點，，；（3）點是與平分線的交點，，，，，，；（4）若，在（1）中，；在（2）中，同理得：；在（3）中，同理得：．17．【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡單應用】（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)；【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．【拓展延伸】（4）①在圖4中，若設∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為：（用α、β表示∠P）；②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

【答案】（1）見解析；（2）36°；（3）26°，理由見解析；（4）①∠P=②∠P=【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）直接利用（1）中的結(jié)論兩次，兩式相加，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題．（4）①同法利用（1）種的結(jié)論列出方程即可解決問題．②同法利用（1）種的結(jié)論列出方程即可解決問題．【解析】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．（3）∠P=26°，理由是：如圖3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°．（4）①設∠CAP=m，∠CDP=n，則∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α－∠P=n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），∴2α+β=3∠P∴∠P=．故答案為：∠P=．②設∠BAP=x，∠PCE=y，則∠PAO=x，∠PCB=y．∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，∴∠P=．故答案為：∠P=．18．如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分線交于點Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，請直接寫出∠A的度數(shù)．【答案】（1）130°；（2）；（3）60°或120°或45°或135°【分析】（1）運用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠ABC+∠ACB，進而求出∠BPC即可解決問題；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，那么分四種情況進行討論：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分別列出方程，求解即可．【解析】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵點P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延長BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠