2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題和詳細(xì)解析

2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題和詳細(xì)解析2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題和詳細(xì)解析

一、選擇題（每小題4分，共20分。每題只有一個正確答案）

1.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+kx+m$，若$f(1)=4$，$f(-1)=2$，則$k$的值為：

A.-2

B.-1

C.0

D.1

解析：代入$f(1)$和$f(-1)$得到方程組：

$2+k+m=4$

$-2+k-m=2$

解這個方程組得到$k=-1$，因此答案選B。

2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線$l_1$過點$(1,1)$和$(4,5)$，直線$l_2$過點$(3,2)$和$(6,4)$，則直線$l_1$和$l_2$的斜率的乘積為：

A.-1

B.0

C.1

D.2

解析：直線$l_1$的斜率為

$\frac{5-1}{4-1}=\frac{4}{3}$，

直線$l_2$的斜率為

$\frac{4-2}{6-3}=\frac{2}{3}$，

兩直線的斜率之積為$\frac{4}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{9}$，因此答案選D。

3.設(shè)函數(shù)$f(x)$滿足$f(3x)=4f(2x)-1$，且$f(2)=4$，則$f(-3)$的值為：

A.1

B.2

C.4

D.6

解析：代入$x=-\frac{3}{2}$得到：

$f\left(\frac{3}{2}\right)=4f(2)-1=15$，

代入$x=-3$得到：

$f(-3)=4f(-\frac{3}{2})-1=59$，

因此答案選D。

4.已知圓心為$O$的圓的方程為$(x+4)^2+(y-2)^2=25$，且點$A(-3,2)$在此圓上，則點$A$到直線$x=-4$的距離為：

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：點$A$到直線$x=-4$的距離就是點$A$的橫坐標(biāo)與直線$x=-4$的橫坐標(biāo)之差，即$-3-(-4)=1$，因此答案選A。

5.甲、乙兩人共同承包了一項工程，甲承包的工程比乙少用8天，如果甲單獨承包該項工程，需要13天完成，則乙單獨承包該項工程需要多少天完成？

A.20

B.21

C.22

D.23

解析：設(shè)乙單獨承包該項工程需要$x$天完成，則根據(jù)題意可得：

$\frac{1}{13}-\frac{1}{x}=\frac{1}{8}$，

解這個方程得到$x=24$，因此答案選B。

二、填空題（每小題5分，共20分）

1.已知三角形的兩個內(nèi)角分別為$30°$和$45°$，則第三個內(nèi)角的度數(shù)為$\rule{2cm}{0.5pt}$。

解析：三角形的內(nèi)角和為$180°$，已知兩個內(nèi)角分別為$30°$和$45°$，因此第三個內(nèi)角的度數(shù)$=180°-30°-45°=105°$，因此答案為$105°$。

2.若$a^2-\frac{1}{a^2}=9$，則$a+\frac{1}{a}$的值為$\rule{2cm}{0.5pt}$。

解析：根據(jù)題意可得：

$a^2-\frac{1}{a^2}=\left(a-\frac{1}{a}\right)\left(a+\frac{1}{a}\right)=9$，

因此$a+\frac{1}{a}=\frac{9}{a-\frac{1}{a}}$，

將已知條件$a^2-\frac{1}{a^2}=9$代入得到$a+\frac{1}{a}=\frac{9}{3}=3$，因此答案為$3$。

3.有一球從$h$高處自由落下，每次反彈的高度是前一次的$\frac{3}{5}$，若總共經(jīng)過15次反彈，則球經(jīng)過的路程為$\rule{2cm}{0.5pt}$。

解析：根據(jù)題意可得球經(jīng)過的路程為$h+2h\left(1+\frac{3}{5}\right)+2h\left(1+\frac{3}{5}\right)^2+\dotsb+2h\left(1+\frac{3}{5}\right)^{14}$，

利用等比數(shù)列的求和公式得到球經(jīng)過的路程為：

$h\left(\frac{1-\left(1+\frac{3}{5}\right)^{15}}{1-\left(1+\frac{3}{5}\right)}\right)$，

計算得到球經(jīng)過的路程為$30h\left(1-\frac{1}{\left(\frac{8}{5}\right)^{15}}\right)$。

4.已知$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，則$\tan\frac{\alpha}{2}$的值為$\rule{2cm}{0.5pt}$。

解析：根據(jù)半角公式可得：

$\tan\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}=\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{3}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$。

三、計算題（每小題10分，共20分）

1.已知$(1+i)^3=a+bi$，其中$i$為虛數(shù)單位，$a$和$b$為實數(shù)，則$a$和$b$的值分別為多少？

解析：展開$(1+i)^3$得到：

$(1+i)^3=1^3+3\cdot1^2\cdoti+3\cdot1\cdoti^2+i^3=1+3i+3i^2+i^3$，

由于$i^2=-1$，$i^3=-i$，因此$(1+i)^3=1+3i+3(-1)+(-i)=-2+2i$，

所以$a=-2$，$b=2$。

2.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-5x+4}{x-4}$，求$f(3)$的值。

解析：代入$x=3$得到：

$f(3)=\frac{3^2-5\cdot3+4}{3-4}=\frac{9-15+4}{-1}=\frac{-2}{-1}=2$。

四、解答題（每小題20分，共40分）

1.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$，求函數(shù)$f(x)$的定義域。

解析：對于函數(shù)$f(x)$來說，分母不能為零，即$x^2-4x+3>0$，

解這個不等式得到$x<1$或$x>3$，因此函數(shù)$f(x)$的定義域為$(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$。

2.某地市成人高中在高考數(shù)學(xué)競賽中取得突出成績，校長決定獎勵參賽學(xué)生。獎金總額為9000元，獎金分為大獎、中獎和小獎，每人至少得到100元，現(xiàn)規(guī)定大獎比中獎多1000元，中獎比小獎多500元。問獎金總額分配給多少位學(xué)生？

解析：設(shè)小獎為$x$元，則中獎為$x+500$元，大獎為$(x+500)+1000=x+1500$元。

根據(jù)題意可得：

$x+(x+500)+(x+1500)\geq9000$，

$3x+2000\geq9000$，

$3x\geq7000$，

$x\geq\frac{7000}{3}$，

因此至少有$\lceil\frac{7000}{3}\rceil=2334$位學(xué)生可以分得獎金，即獎金總額分配給2334位學(xué)生。

總結(jié)：本篇文章給出了一套2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的試題和詳細(xì)解析，試題包括選擇題、填空題和計算題，涵蓋了代數(shù)、幾何和函數(shù)等多個數(shù)學(xué)知識點。希望這份試題和解析能夠幫助廣大高中生更好地備戰(zhàn)數(shù)學(xué)競賽，提高數(shù)學(xué)水平。3.某班級一次考試的分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分。已知成績高于90分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的比例為0.1，求這個班級的總?cè)藬?shù)。

解析：成績高于90分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的比例為0.1，即高于90分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的10%。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)，如果一個分布的概率密度函數(shù)是正態(tài)分布，且平均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ，那么對于一個給定的值x，可以用Z分?jǐn)?shù)來表示，Z=(x-μ)/σ，Z分?jǐn)?shù)表示x距離平均值μ的標(biāo)準(zhǔn)差個數(shù)。

設(shè)班級的總?cè)藬?shù)為N，高于90分的學(xué)生人數(shù)為n。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)，Z分?jǐn)?shù)為1.28時，對應(yīng)的概率為0.1。即有n/N=0.1，n=0.1N。

平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分，對于90分的學(xué)生，Z分?jǐn)?shù)為(90-80)/10=1，即90分的學(xué)生距離平均分80分的標(biāo)準(zhǔn)差個數(shù)為1。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)，Z分?jǐn)?shù)為1時，對應(yīng)的概率為0.8413。即有n/N=0.8413，n=0.8413N。

綜上所述，0.1N=0.8413N，解得N≈1500。

所以這個班級的總?cè)藬?shù)約為1500人。

4.某大型商場舉辦了一次滿減活動，滿100元減20元。若小明購物了若干個商品，每個商品的價格均為整數(shù)元，最后小明共花了2023元，請問小明最少購買了多少個商品？

解析：設(shè)小明購買的商品數(shù)量為n，每個商品的價格為x元。根據(jù)題意可