江蘇省無錫市江陰市成化重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第二次階段檢測數(shù)學(xué)試題（含答案）

成化重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高一第二次階段檢測（數(shù)學(xué)）本試卷共4頁，22小題滿分150分考試用時120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．集合，，則＝（▲）A．B．C． D．2．（▲）A． B． C． D．3．已知是角的終邊上一點(diǎn)，，則（▲）A． B． C． D．4．若，則（▲）A．B．C． D．5．已知，則（▲）A． B． C． D．6．函數(shù)的大致圖象為（▲）A．B．C． D．7．已知函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且是上的增函數(shù)，有如下的對應(yīng)值表1234以下說法中錯誤的是（▲）A． B．C．函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn) D．函數(shù)可能無零點(diǎn)8．設(shè)函數(shù)，有四個實(shí)數(shù)根，，，，且，則的取值范圍是（▲）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（▲）A．命題“，”的否定是“，”B．“”是“”的充要條件C．設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件D．“，，則10．已知，，且，下列結(jié)論中正確的是（▲）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是 D．的最大值是11．下列命題為真命題的是（▲）A．若是第一象限角，則B．終邊經(jīng)過點(diǎn)的角的集合是C．對，恒成立D．若，且，則12．定義在上的偶函數(shù)滿足：，且對于任意，都有，若函數(shù)，則下列說法正確的是（▲）A．在上單調(diào)遞增 B．C．在上單調(diào)遞減 D．若正數(shù)滿足，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過，則▲.14．已知扇形的面積為，該扇形圓心角的弧度數(shù)是，則扇形的弧長為▲.15．已知函數(shù)，當(dāng)時，▲，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是▲．16．已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且，若，均屬于，當(dāng)時，都有．若對所有，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是▲.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本題滿分10分）已知，其中.(1)求，的值；(2)求的值.18．（本題滿分12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集合，?1)求；(2)若，求的取值范圍．19．（本題滿分12分）已知函數(shù)，．(1)求的值域；(2)對，使得成立，求的取值范圍．20．（本題滿分12分）已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（本題滿分12分）某工廠為某汽車公司加工一款新能源汽車，已知加工該款汽車每年需投入固定成本億元，若年加工量為萬輛，則每年需另投入變動成本億元，且，該工廠為此汽車公司每加工一輛汽車，可獲得萬元的加工費(fèi).記該工廠加工這款汽車所獲得的年利潤為億元.（注：利潤＝加工費(fèi)成本）.(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式.(2)要使年利潤不低于億元，則年加工量至少為多少萬輛？(3)當(dāng)年加工量為多少萬輛時，年利潤最大？并求出年利潤的最大值.22．（本題滿分12分）已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)解關(guān)于的不等式；(3)設(shè)，若函數(shù)與圖象有個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案解析一、單選題1．集合，，則＝（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由補(bǔ)集和并集的定義直接求解.【詳解】集合，，則，.故選：B2．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)計(jì)算作答.【詳解】.故選：C3．已知是角的終邊上一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行求值即可.【詳解】由三角函數(shù)的定義知:，所以.故選：A.4．若，則（

）A． B．C． D．【答案】D故選：D5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為整體，利用誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故選：D.6．函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可判斷錯誤，根據(jù)，可排除.【詳解】依題可知：函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，故函數(shù)為偶函數(shù)，故錯誤；又當(dāng)時，，故錯誤，故選：.7．已知函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且是上的增函數(shù)，有如下的對應(yīng)值表x1234y1.213.7910.28以下說法中錯誤的是（

）A． B．C．函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn) D．函數(shù)可能無零點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)判斷AB；利用零點(diǎn)存在性定理判斷CD.【詳解】對于A，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，正確；對于B，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，，正確；對于C，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，且，即，所以函數(shù)有且僅有一個在區(qū)間的零點(diǎn)，正確；對于D，因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，且，即，所以函數(shù)在區(qū)間上一定存在零點(diǎn)，錯誤，故選：D.8．設(shè)函數(shù)，有四個實(shí)數(shù)根，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及題設(shè)條件可得、，，進(jìn)而將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，根據(jù)在上的單調(diào)性求解即可.【詳解】根據(jù)，可得圖象如下：因?yàn)橛兴膫€實(shí)數(shù)根，，，且，由圖知時，有四個實(shí)數(shù)根，且，又，，則，即，所以，所以，且，由在上單增，，可知,則的取值范圍是為.故選：A二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．命題“，”的否定是“，”B．“”是“”的充要條件C．設(shè)a，，則“”是“”的必要不充分條件D．“，，則【答案】CD【分析】寫出全稱量詞命題的否定判斷A；利用充分條件、必要條件的定義判斷BCD.【詳解】對于A，命題“，”是全稱量詞命題，其否定為：，，A錯誤；對于B，充分不必要條件，B錯誤；對于C，當(dāng)，時，；由，則且，因此“”是“”的必要不充分條件，C正確對于D，恒成立，當(dāng)時，，成立；當(dāng)時，，解得；綜上所述：D正確.故選：CD10．已知，，且，下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是9 D．的最大值是【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，利用題設(shè)條件，結(jié)合基本不等式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】，且，對于A，由，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則的最大值為，所以A錯誤；對于B，由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為，所以B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值是9，所以C錯誤；對于D，由，所以D正確.故選：BCD.11.下列說法正確的是（

）A．若是第一象限角，則B．終邊經(jīng)過點(diǎn)的角的集合是C．對，恒成立D．若，且，則【答案】ACD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可判斷A；由所在象限得出的范圍，進(jìn)而可得的范圍，即可判斷B；根據(jù)二倍角的余弦公式即可判斷C；將平方，從而可求得的符號，進(jìn)而可判斷D.【詳解】對于A，若是第一象限角，則，則，當(dāng)時，，為第一象限角，當(dāng)時，，為第三象限角，所以是第一或第三象限角，故；，故A正確；對于B，由，知是第二象限角，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，則，故C正確；對于D，若，則，即若，所以，又，所以，故，D正確.故選：ACD.12．定義在上的偶函數(shù)滿足：，且對于任意，，若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增 B．C．在上單調(diào)遞減 D．若正數(shù)滿足，則【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷、的單調(diào)性判斷AC，根據(jù)單調(diào)性比較大小判斷B，根據(jù)單調(diào)性解不等式判斷D.【詳解】對于任意，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，所以，由在上單調(diào)遞增，所以，故選項(xiàng)B正確；對于任意，，因?yàn)椋?，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C錯誤；，即，又，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，即，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD三、填空題13．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過，則【答案】/【分析】設(shè)，根據(jù)可求出的值，可得出函數(shù)的解析式，代值計(jì)算可得出的值.【詳解】設(shè)，則，則，則，所以，.故答案為：.14．已知扇形的面積為，該扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的弧長為.【答案】4【分析】根據(jù)面積公式以及弧長公式即可求解.【詳解】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，由已知可得，圓心角，面積，所以有即解得.故答案為：4.15．已知函數(shù)，當(dāng)時，，若在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是．【答案】8【分析】①當(dāng)時，先求出，再求；②分段函數(shù)在上單調(diào)遞增，必須滿足兩段函數(shù)遞增，且在處附近滿足小于等于右極限.【詳解】①當(dāng)時，，；②在上單調(diào)遞增，則，解得.故答案為：8，【點(diǎn)睛】此題考查分段函數(shù)求值和根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍，求值應(yīng)該注意自變量的取值范圍，分段函數(shù)單調(diào)遞增必須滿足兩段函數(shù)分別遞增，且在“接點(diǎn)”處的函數(shù)取值仍然滿足關(guān)系.16.已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且，若，均屬于，時，有．若對所有，，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】先判斷的單調(diào)性，求得的最大值，化簡不等式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組，由此求得的取值范圍.【詳解】在上遞增.所以.由可得，即對任意恒成立.構(gòu)造函數(shù)，則，即，解得或.【點(diǎn)睛】求解多變量的不等式恒成立問題，可考慮減少變量來進(jìn)行求解.四、解答題17.已知，其中.(1)求，的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系列方程組求解；（2）用誘導(dǎo)公式化簡后，再把齊次式化為關(guān)于的式子，代入已知計(jì)算．【詳解】（1）由題意，……2分又在第三象限，，故解得；……5分（2）……8分……10分18．已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，集合，．(1)求；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）先求出，再求出即可；（2）分和兩種情況，得到關(guān)于a的不等式，再求出的取值范圍.【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則，解得，，……2分，得，解得：，即，…………4分或．……6分（2），①當(dāng)時，，即，滿足題意；……8分②當(dāng)時，，解得，……10分綜上，的取值范圍為．……12分19．已知函數(shù)，．(1)求的值域；(2)對，使得成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，通過二次函數(shù)的單調(diào)性可得到，而得到，即可求出答案；（2）設(shè)的值域?yàn)锽，根據(jù)題意可得，設(shè)，則，分，，和四種情況進(jìn)行列不等式即可【詳解】（1）令，則，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，所以，……2分又在上單調(diào)遞增，從而有，所以的值域?yàn)?；…?分（2）當(dāng)時，設(shè)的值域?yàn)锽，依題意，知，……5分設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，可知，從而有解得無解；……7分當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，可知，從而有解得；……9分當(dāng)時，可知，從而有解得（舍去）；當(dāng)時，可知，從而有解得（舍去）；……11分（每個討論2分）綜上所述，a的取值范圍為．……12分20．已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，，(3)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義即可得到；（2）借助奇函數(shù)的定義計(jì)算出、即可；（3）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性即可得到.【詳解】（1）設(shè)且，圖象過點(diǎn)所以，解得，所以.……2分得，因?yàn)槭巧掀婧瘮?shù)，所以，所以，……3分再由可得，所以，當(dāng)，時，，，符合是奇函數(shù)，所以，.……5分（2），是增函數(shù)，所以是減函數(shù)，……7分（此處可以不證明，但要有文字說明，沒有單調(diào)性說明扣2分）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以，所以恒成立，……10分即，又，所以.……12分21．某工廠為某汽車公司加工一款新能源汽車，已知加工該款汽車每年需投入固定成本10億元，若年加工量為x萬輛，則每年需另投入變動成本億元，且，該工廠為此汽車公司每加工一輛汽車，可獲得3萬元的加工費(fèi).記該工廠加工這款汽車所獲得的年利潤為y億元（利潤＝加工費(fèi)﹣成本）.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.(2)要使年利潤不低于5億元，則年加工量至少為多少萬輛？(3)當(dāng)年加工量為多少萬輛時，年利潤最大？并求出年利潤的最大值.【答案】(1)(2)10(3)當(dāng)年加工量為20萬輛時，年利潤最大，年利潤的最大值為16億元【分析】（1）根據(jù)利潤＝加工費(fèi)﹣成本，求解即可；（2）由時，求x的取值范圍即可；（3）分別求出和時，所獲得的年利潤的最大值，比較即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)槊磕晖度胱儎映杀荆援?dāng)時，所獲得的年利潤為；………………1分當(dāng)時，所獲得的年利潤為，……3分所以y關(guān)于x的函數(shù)