廣東省江門市新會重點中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

年新會重點高三上10月考卷一．選擇題（共8小題）1．已知集合M?{1，2，3，4}，且M∩{1，2}＝{1，2}，則集合M的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．建設(shè)“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是貫徹落實習(xí)近平總書記關(guān)于加強學(xué)習(xí)、建設(shè)學(xué)習(xí)大國重要指示精神、推動全黨大學(xué)習(xí)的有力抓手．某人近來加強學(xué)習(xí)，9月份的得分為A，10月份的得分增長率為p（p＞0），11月份的得分增長率為q（q＞0），這兩個月的得分的平均增長率為x，增長率均以相鄰的前一個月為參照，則（）A．x＝ B．x≤ C．x＞ D．x≥3．已知在[m，m+1]上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（1，2） B．（3，4） C．（1，2]∪[3，4） D．（1，2）∪（3，4）4．函數(shù)的大致圖象是（）A． B． C． D．5．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（2+x）＝f（2﹣x），當x∈[﹣2，0]時，f（x）＝x+2，設(shè)函數(shù)h（x）＝e﹣|x﹣2|（﹣2＜x＜6）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則f（x）與h（x）的圖象所有交點的橫坐標之和為（）A．5 B．6 C．7 D．86．若曲線f（x）＝lnx+x在點（x0，f（x0））處的切線方程為y＝kx+b，則k+b的最小值為（）A．﹣1 B．﹣ C． D．17．已知函數(shù)f（x）＝xex+1﹣kx+k，有且只有一個負整數(shù)x0，使f（x0）≤0成立，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．8．若函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4的定義域為[0，m]，值域為，則m的取值范圍是（）A． B． C．（0，3] D．二．多選題（共4小題）（多選）9．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，則A∩B＝?的一個充分不必要條件是（）A．m≤﹣2 B．m＜﹣2 C．m＜2 D．﹣4＜m＜﹣3（多選）10．設(shè)首項為1的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn+1＝2Sn+n﹣1，則下列結(jié)論正確的是（）A．數(shù)列{Sn+n}為等比數(shù)列 B．數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n﹣1﹣1 C．數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列 D．數(shù)列{2Sn}的前n項和為2n+2﹣n2﹣n﹣4（多選）11．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax+2有兩個極值點．則（）A．f（x）的圖象關(guān)于點（0，2）對稱 B．f（x）的極值之和為﹣4 C．?a∈R，使得f（x）有三個零點 D．當0＜a＜1時，f（x）只有一個零點（多選）12．已知定義域為R的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且f'（x）﹣f（x）＝2xex，f（0）＝0，則以下錯誤的有（）A．f（x）有唯一的極值點 B．f（x）在（﹣3，0）上單調(diào)遞增 C．當關(guān)于x的方程f（x）＝m有三個實數(shù)根時，實數(shù)m的取值范圍為（0，4e﹣1） D．f（x）的最小值為0三．填空題（共4小題）13．若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，則當n＝時，{an}的前n項和最大；當Sn＞0時n的最大值為．14．若函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，根據(jù)下面的表格，可斷定f（x）的零點所在的區(qū)間為（只填序號）．①（﹣∞，1]；②[1，2]；③[2，3]；④[3，4]；⑤[4，5]；⑥[5，6]；⑦[6，+∞）15．已知m＞0，n＞0，直線y＝x+m+1與曲線y＝lnx﹣n+2相切，則的最小值是．16．已知函數(shù)f（x）＝，若關(guān)于x的方程[f（x）]2﹣a|f（x）|＝0有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是．四．解答題（共6小題）17．已知函數(shù)f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），函數(shù)h（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，且h（1）＝2．（1）求實數(shù)a的值；（2）g（x）＝f（）?f（），x∈[，8]．求g（x）的最小值、最大值及對應(yīng)的x的值．18．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝1，且滿足2Sn＝an?（n+1）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，當n≥2時，．若對于任意n∈N*，有Tn＜1，求b1的取值范圍．19．已知函數(shù)f（x）＝（x3+x2）?ex．（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當x∈[0，2]時，f（x）≥ax+2有解，求實數(shù)a的取值范圍．20．2020年1月15日教育部制定出臺了《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作的意見》（也稱“強基計劃”），《意見》宣布：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實行強基計劃．強基計劃旨在選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．據(jù)悉強基計劃的校考由試點高校自主命題，學(xué)生需在校考中通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立．若某考生報考甲大學(xué)，每門科目通過的概率依次為，其中0＜m＜1，該考生報考乙大學(xué)，每門科目通過的概率均為．（1）若，分別求出該考生報考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；（2）強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，當該考生更希望通過甲大學(xué)的筆試時，求m的范圍．21．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a2，a5﹣1成等比數(shù)列．給定k∈N*，記集合的元素個數(shù)為bk．（1）求b1，b2，b3的值；（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，判斷數(shù)列{Sn}的單調(diào)性，并證明．22．已知函數(shù)f（x）＝﹣x+alnx．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，證明：＜a﹣2．參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．已知集合M?{1，2，3，4}，且M∩{1，2}＝{1，2}，則集合M的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)題設(shè)條件，利用交集的性質(zhì)，由列舉法能夠?qū)懗鰸M足條件的集合M，由此能夠求出結(jié)果．【解答】解：∵集合M?{1，2，3，4}，且M∩{1，2}＝{1，2}，∴滿足條件的集合M為{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共有4個，故選：D．【點評】本題考查集合的交集及其運算，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答．2．建設(shè)“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是貫徹落實習(xí)近平總書記關(guān)于加強學(xué)習(xí)、建設(shè)學(xué)習(xí)大國重要指示精神、推動全黨大學(xué)習(xí)的有力抓手．某人近來加強學(xué)習(xí)，9月份的得分為A，10月份的得分增長率為p（p＞0），11月份的得分增長率為q（q＞0），這兩個月的得分的平均增長率為x，增長率均以相鄰的前一個月為參照，則（）A．x＝ B．x≤ C．x＞ D．x≥【分析】直接利用等比數(shù)列建立關(guān)系式，再利用基本不等式和的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：∵這兩個月的得分的平均增長率為x，∴A（1+x）2＝A（1+p）（1+q），∴（1+x）2＝（1+p）（1+q），p＞0，q＞0．∴，∴，等號在1+p＝1+q，即p＝q時成立．故選：B．【點評】本題考查的知識要點：等比數(shù)列的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．3．已知在[m，m+1]上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（1，2） B．（3，4） C．（1，2]∪[3，4） D．（1，2）∪（3，4）【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解即可．【解答】解：，可得f′（x）＝﹣x+6﹣＝﹣，函數(shù)的極值點為：x＝2，x＝4，在[m，m+1]上不單調(diào)，可得m＜2＜m+1或m＜4＜m+1，解得m∈（1，2）∪（3，4）．故選：D．【點評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值點以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查計算能力．4．函數(shù)的大致圖象是（）A． B． C． D．【分析】當x＜﹣1時，f（x）＞0，排除選項A、C，當x→+∞時，f（x）→0，排除選項B，進而得解．【解答】解：當x＜﹣1時，x2+x＞0，ex+1＞0，f（x）＞0，排除選項A、C；當x→+∞時，ex+1遠遠大于x2+x，則f（x）→0，排除選項B．故選：D．【點評】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題．5．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（2+x）＝f（2﹣x），當x∈[﹣2，0]時，f（x）＝x+2，設(shè)函數(shù)h（x）＝e﹣|x﹣2|（﹣2＜x＜6）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則f（x）與h（x）的圖象所有交點的橫坐標之和為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】利用題中的條件分別作出函數(shù)f（x）和h（x）的圖象，利用對稱性即可解出．【解答】解：由f（2+x）＝f（2﹣x）且f（x）是偶函數(shù)，可知函數(shù)f（x）的周期為4，由題意可知f（x）和h（x）的圖象都是關(guān)于x＝2對稱，因此四個交點的橫坐標也都關(guān)于直線x＝2對稱，所以四個交點的橫坐標之和為8，故選：D．【點評】本題考查了函數(shù)圖象，函數(shù)圖象的對稱性，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．6．若曲線f（x）＝lnx+x在點（x0，f（x0））處的切線方程為y＝kx+b，則k+b的最小值為（）A．﹣1 B．﹣ C． D．1【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點（m，n），可得切線的斜率，再由g（m）＝lnm+﹣，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極小值，也為最小值，即可得到所求值．【解答】解：f（x）＝lnx+x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝+，設(shè)切點為（m，n），則k＝+，b＝n﹣km＝lnm+m﹣km＝lnm﹣1，即有k+b＝lnm+﹣，m＞0，由g（m）＝lnm+﹣的導(dǎo)數(shù)為g′（m）＝﹣＝，當m＞1時，g′（m）＞0，g（m）遞增；當0＜m＜1時，g′（m）＜0，g（m）遞減．即有m＝1處，g（m）取得極小值，且為最小值．即有k+b的最小值為．故選：C．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查直線方程的運用，屬于中檔題．7．已知函數(shù)f（x）＝xex+1﹣kx+k，有且只有一個負整數(shù)x0，使f（x0）≤0成立，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】將問題轉(zhuǎn)化xex+1≤kx﹣k有且只有一個負整數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝xex+1與h（x）＝kx﹣k，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)g（x）的最值，并在同一坐標系分別作出函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合即可求解．【解答】解：已知函數(shù)f（x）＝xex+1﹣kx+k，則f（x）≤0?xex+1≤kx﹣k有且只有一個負整數(shù)解．令g（x）＝xex+1，則g'（x）＝（x+1）ex+1，當x＜﹣1時，g'（x）＜0，當x＞﹣1時，g'（x）＞0，所以g（x）在（﹣∞，﹣1）上遞減，在（﹣1，+∞）上遞增，當x＝﹣1時，g（x）取得最小值為g（﹣1）＝（﹣1）×e﹣1+1＝﹣1，設(shè)h（x）＝kx﹣k＝k（x﹣1），則h（x）恒過點（1，0），在同一坐標系中分別作出y＝g（x）和y＝h（x）的圖象，如圖所示：顯然x0＝﹣1，依題意得g（﹣1）≤h（﹣1）且g（﹣2）＞h（﹣2），即﹣1≤﹣2k且，解得，所以實數(shù)k的取值范圍是．故選：A．【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力，屬于中檔題．8．若函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4的定義域為[0，m]，值域為，則m的取值范圍是（）A． B． C．（0，3] D．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可．【解答】解：y＝x2﹣3x﹣4＝﹣，對稱軸為x＝，頂點坐標為（，﹣），令y＝﹣4得，x2﹣3x﹣4＝﹣4，解得x＝0或3，∴≤m≤3，即m的取值范圍是[，3]，故選：B．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，則A∩B＝?的一個充分不必要條件是（）A．m≤﹣2 B．m＜﹣2 C．m＜2 D．﹣4＜m＜﹣3【分析】根據(jù)題意，A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，若A∩B＝?．則m+1≤﹣1，得m≤﹣2，再利用充分性、必要性判斷可解．【解答】解：根據(jù)題意，A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，若A∩B＝?．則m+1≤﹣1，得m≤﹣2，對于A，m≤﹣2為A∩B＝?的充分必要條件，故A錯，對于B，m＜﹣2為A∩B＝?的一個充分不必要條件，故B正確，對于C，m＜2為A∩B＝?的一個必要不充分條件，故C錯，對于D，﹣4＜m＜﹣3為A∩B＝?的一個充分不必要條件，故D正確，故選：BD．【點評】本題考查充分性、必要性相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．設(shè)首項為1的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn+1＝2Sn+n﹣1，則下列結(jié)論正確的是（）A．數(shù)列{Sn+n}為等比數(shù)列 B．數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n﹣1﹣1 C．數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列 D．數(shù)列{2Sn}的前n項和為2n+2﹣n2﹣n﹣4【分析】由題設(shè)逐個選項判斷其正誤，即可選出正確選項．【解答】解：∵Sn+1＝2Sn+n﹣1，∴Sn+1+（n+1）＝2（Sn+n），又S1+1＝2≠0，∴數(shù)列{Sn+n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，故選項A正確；又Sn+n＝2n，∴2Sn＝2n+1﹣2n，∴數(shù)列{2Sn}的前n項和為﹣2×＝2n+2﹣4﹣n2﹣n，故選項D正確；又由Sn+n＝2n可得：Sn＝2n﹣n，∴當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1﹣1，又當n＝1時，a1＝1，∴an＝，故選項B錯誤；∵an+1＝，∴≠，∴數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列，故選項C錯誤，故選：AD．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的定義、通項公式及前n項和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）11．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax+2有兩個極值點．則（）A．f（x）的圖象關(guān)于點（0，2）對稱 B．f（x）的極值之和為﹣4 C．?a∈R，使得f（x）有三個零點 D．當0＜a＜1時，f（x）只有一個零點【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和平移法即可判斷選項A；結(jié)合極值和導(dǎo)數(shù)關(guān)系即可判斷選項B；將零點個數(shù)轉(zhuǎn)化成圖象交點問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性即可判斷選項C和選項D．【解答】解：已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax+2，而函數(shù)f（x）的圖象可由奇函數(shù)g（x）＝x3﹣3ax的圖象向上平移2個單位長度得到，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（0，2）對稱，故選項A正確；不妨設(shè)f（x）的兩個極值點分別為x1，x2（x1＜x2），由對稱性可知x1+x2＝0，故f（x1）+f（x2）＝2×2＝4，則f（x）的極值之和為4，故選項B錯誤；易得f′（x）＝3x2﹣3a，此時方程3x2﹣3a＝0有兩異根，所以a＞0，解得，，當x＜﹣時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當﹣＜x＜時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當x＞時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當f（x1）＞0＞f（x2）時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有3個交點，即f（x）有3個零點，此時f（）＜0且f（﹣）＞0，解得a＞1，故選項C正確；當0＜a＜1時，因為，所以函數(shù)f（x）只有一個零點，故選項D正確．故選：ACD．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運算能力．（多選）12．已知定義域為R的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且f'（x）﹣f（x）＝2xex，f（0）＝0，則以下錯誤的有（）A．f（x）有唯一的極值點 B．f（x）在（﹣3，0）上單調(diào)遞增 C．當關(guān)于x的方程f（x）＝m有三個實數(shù)根時，實數(shù)m的取值范圍為（0，4e﹣1） D．f（x）的最小值為0【分析】由題意可得（）'＝＝2x，可得＝x2+c，結(jié)合f（0）＝0，即可得出f（x）＝x2ex，求出f'（x），逐一分析選項即可得出結(jié)論．【解答】解：∵f'（x）﹣f（x）＝2xex，∴（）'＝＝2x，即＝x2+c，∴f（x）＝（x2+c）ex，又f（0）＝0，解得c＝0，即f（x）＝x2ex，∴f'（x）＝（2x+x2）ex，對于A：由f'（x）＝0得x＝0，x＝﹣2，當f'（x）＞0得x＜﹣2或x＞0，當f'（x）＜0得﹣2＜x＜0，∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣2，0），∴f（x）有兩個極值點，故A錯誤；對于B：由選項A可知，f（x）在（﹣3，﹣2）上單調(diào)遞增，在（﹣2，0）上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C：由選項A可知，當x＝﹣2時，f（x）取得極大值，且f（﹣2）＝4e﹣2，當x＝0時，f（x）取得極小值，且f（0）＝0，關(guān)于x的方程f（x）＝m有三個實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為y＝f（x）與y＝m有三個交點，∴實數(shù)m的取值范圍為（0，4e﹣2），故C錯誤；對于D：當x→﹣∞時，f（x）→0，又當x＝0時，f（x）取得極小值，且f（0）＝0，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣2，0），∴f（x）的最小值為0，故D正確，故選：ABC．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和極值，考查轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造法，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，則當n＝8時，{an}的前n項和最大；當Sn＞0時n的最大值為15．【分析】由等差中項、下標定理結(jié)合前n項和公式，可得結(jié)論．【解答】解：∵a7+a8+a9＝3a8＞0，a7+a10＝a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴n＝8時，{an}的前n項和最大；∵S15＝＝15a8＞0，S16＝＝8（a8+a9）＜0，∴當Sn＞0時n的最大值為15．故答案為：8；15．【點評】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和公式，考查了推理能力，屬基礎(chǔ)題．14．若函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，根據(jù)下面的表格，可斷定f（x）的零點所在的區(qū)間為③④⑤（只填序號）．①（﹣∞，1]；②[1，2]；③[2，3]；④[3，4]；⑤[4，5]；⑥[5，6]；⑦[6，+∞）【分析】先看區(qū)間兩個端點函數(shù)值的符號，再由零點存在性定理即可解決問題．【解答】解：因為f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，由零點存在性定理即可得③④⑤成立．故答案為：③④⑤．【點評】本題主要考查函數(shù)的零點及函數(shù)的零點存在性定理，函數(shù)的零點的研究就可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的問題，函數(shù)與方程的思想得到了很好的體現(xiàn)．15．已知m＞0，n＞0，直線y＝x+m+1與曲線y＝lnx﹣n+2相切，則的最小值是4．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知方程求出m，n的關(guān)系，再根據(jù)不等式中“1”的整體代換即可得出答案．【解答】解：對y＝lnx﹣n+2求導(dǎo)得y′＝，由y′＝＝得x＝e，則?e+m+1＝lne?n+2，即m+n＝1，所以＝（m+n）（）＝2+≥2+2＝4，當且僅當m＝n＝時取等號．故答案為：4．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和不等式中“1”的整體代換，屬于中檔題．16．已知函數(shù)f（x）＝，若關(guān)于x的方程[f（x）]2﹣a|f（x）|＝0有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是．【分析】畫出|f（x）|的圖象，由方程[f（x）]2﹣a|f（x）|＝0可得|f（x）|＝0或|f（x）|＝a，結(jié)合圖象即可求解．【解答】解：當x＜0時，f′（x）＝（x+2）ex，可得f（x）在（﹣∞，﹣2）單調(diào)遞減，在（﹣2，0）單調(diào)遞增，當x≥0時，f′（x）＝，可得f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，在（0，1）單調(diào)遞增，可得|f（x）|的圖象如下：由方程[f（x）]2﹣a|f（x）|＝0可得|f（x）|＝0或|f（x）|＝a，方程|f（x）|＝0有唯一的根x＝﹣1，要使關(guān)于x的方程[f（x）]2﹣a|f（x）|＝0有3個不相等的實數(shù)根，必有|f（x）|＝a有兩個實根，由圖象可得|f（﹣2）|＜a＜f（1），即，故答案為：（，）．【點評】本題考查的知識要點：函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點和方程的根的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．四．解答題（共6小題）17．已知函數(shù)f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），函數(shù)h（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，且h（1）＝2．（1）求實數(shù)a的值；（2）g（x）＝f（）?f（），x∈[，8]．求g（x）的最小值、最大值及對應(yīng)的x的值．【分析】（1）方法一：根據(jù)題意可得h（x）與f（x）互為反函數(shù)，所以h（x）＝ax，再根據(jù)h（1）＝2求解即可；方法二：根據(jù)關(guān)于直線y＝x對稱的性質(zhì)可得f（2）＝1求解即可；（2）根據(jù)對數(shù)的運算可得g（x）＝，令t＝log2x，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的取值范圍與二次函數(shù)的最值求解即可．【解答】解：（1）方法一：因為h（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，所以h（x）與f（x）互為反函數(shù)，所以h（x）＝ax（a＞0，且a≠1），又h（1）＝2，所以a＝2．方法二：因為h（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，且h（1）＝2，所以f（2）＝loga2＝1，所以a＝2；（2）g（x）＝f（）＝＝（log2x﹣1）（log2x﹣3）＝，令t＝log2x，x，故t∈[﹣1，3]，則y＝t2﹣4t+3＝（t﹣2）2﹣1，當t＝2時，g（x）min＝﹣1，此時x＝22＝4，當t＝﹣1時，g（x）max＝8，此時x＝2﹣1＝．【點評】本題主要考查了反函數(shù)的定義，考查了換元法求函數(shù)的值域，屬于中檔題．18．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝1，且滿足2Sn＝an?（n+1）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，當n≥2時，．若對于任意n∈N*，有Tn＜1，求b1的取值范圍．【分析】（1）2Sn＝an?（n+1），2Sn﹣1＝an﹣1?n（n≥2），兩式相減，求解并驗證即可；（2）根據(jù)（1）得到的通項公式，結(jié)合裂項相消法求出Tn，再分和兩種情況，討論即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，2Sn＝an?（n+1），則2Sn﹣1＝an﹣1?n（n≥2），兩式相減得：2an＝（n+1）an﹣nan﹣1，即nan﹣1＝（n﹣1）an（n≥2），則，∴當n≥2時，an＝n；當n＝1時，符合上式，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n．（2）根據(jù)（1）可知，當n≥2時，，即，，∴，當時，滿足，當時，存在，使得，則2n02+2n0＞，所以，不滿足條件，所以．故b1的取值范圍是（﹣∞，]．【點評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．19．已知函數(shù)f（x）＝（x3+x2）?ex．（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當x∈[0，2]時，f（x）≥ax+2有解，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】（I）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解．（Ⅱ）由已知分離參數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝（x3+x2）?ex，∴，令f'（x）＝0解得x＝0，，．易得函數(shù)f（x）在和單調(diào)遞減；在和（0，+∞）單調(diào)遞增．（Ⅱ）f（x）≥ax+2有解即（x3+x2）?ex≥ax+2有解，當x＝0時，0≥2不成立；當x≠0時，原不等式化為在（0，2]有解，令，則，在（0，2]，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，2]單調(diào)遞增，∴，∴實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，6e2﹣1]．【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系及利用分離法求解參數(shù)范圍問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．20．2020年1月15日教育部制定出臺了《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作的意見》（也稱“強基計劃”），《意見》宣布：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實行強基計劃．強基計劃旨在選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．據(jù)悉強基計劃的校考由試點高校自主命題，學(xué)生需在?？贾型ㄟ^筆試后才能進入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立．若某考生報考甲大學(xué)，每門科目通過的概率依次為，其中0＜m＜1，該考生報考乙大學(xué)，每門科目通過的概率均為．（1）若，分別求出該考生報考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；（2）強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，當該考生更希望通過甲大學(xué)的筆試時，求m的范圍．【分析】（1）分三種情況，結(jié)合相互獨立事件的概率公式與任意事件的概率加法公式，可得該考生報考甲大學(xué)恰好通過一門筆試科目的概率；根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式，可得該考生報考乙大學(xué)恰好通過一門筆試科目的概率；（2）設(shè)報考甲大學(xué)通過的科目數(shù)為Y，根據(jù)相互獨立事件的概率公式，可得每個Y的取值所對應(yīng)的概率，再由期望的計算公式求得E（Y）；設(shè)該考生報考乙大學(xué)通過的科目數(shù)為X，則X～B（3，），由二項分布的期望公式求得E（X），再解不等式E（Y）＞E（X），得解．【解答】解：（1）設(shè)該考生報考甲大學(xué)恰好通過一門筆試科目為事件A，則；設(shè)該考生報考乙大學(xué)恰好通過一門筆試科目為事件B，則．（2）設(shè)報考甲大學(xué)通過的科目數(shù)為Y，則隨機變量Y的所有可能取值為0，1，2，3，所以，，，，隨機變量Y的分布列：Y0123P所以，設(shè)該考生報考乙大學(xué)通過的科目數(shù)為X，根據(jù)題意可知，X～B（3，），則，因為該考生更希望通過甲大學(xué)的筆試，所以E（Y）＞E（X），即，解得＜m＜1，故實數(shù)m的取值范圍為（，1）．【點評】本題考查離散型隨機變量的期望與應(yīng)用，熟練掌握相互獨立事件的概率，二項分布的期望是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．21．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a2，a5﹣1成等比數(shù)列．給定k∈N*，記集合的元素個數(shù)為bk．（1）求b1，b2，b3的值；（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，判斷數(shù)列{Sn}的單調(diào)性，并證明．【分析】（1）由題意設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，結(jié)合題意可得＝a1?（a5﹣1），即（1+d）2＝4d，求出d，即可得出答案；（2）由（1）得集合{n|k≤an≤2k，n∈N*}的元素個數(shù)為bk，即集合{n|k≤n≤2k，n∈N*}的元素個數(shù)為bk，bk＝2k﹣k+1，即bn＝2n﹣n+1，求出Sn，利用作差法，即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1＝1，且a1，a2，a5﹣1成等比數(shù)列，∴＝a1?（a5﹣1），即（1+d）2＝4d，解得d＝1，∴an