基于laguerre模型的自適應(yīng)預(yù)測函數(shù)控制器設(shè)計

基于laguerre模型的自適應(yīng)預(yù)測函數(shù)控制器設(shè)計

1laguerre預(yù)測函數(shù)的優(yōu)勢自franet和kuntze提出預(yù)測函數(shù)控制方法（pz）以來，pz以其簡單的算法、低計算、快跟蹤和精確的特點吸引了許多科學(xué)家，并成為研究的熱點?，F(xiàn)在有很多關(guān)于pz算法的文章，但其中大多數(shù)都需要控制對象模型。如果模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)發(fā)生重大變化，控制效果就會降低，并且系統(tǒng)就會失控。為了解決上述矛盾，更好地適應(yīng)實際生產(chǎn)的需要，許多科學(xué)家進行了精確的研究。在文獻中，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的文獻研究了基于模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化的系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)。然而，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練和在線學(xué)習(xí)的問題非常復(fù)雜，在實際應(yīng)用中難以應(yīng)用。在這項工作中，我們使用了lagore模型的好處，并介紹了一種新的預(yù)測函數(shù)控制方法。Laguerre函數(shù)逼近模型具有以下優(yōu)點:1)模型包含了系統(tǒng)時滯和階次的信息,實現(xiàn)控制方案時,不需事先知道系統(tǒng)的確定模型;2)該模型表征系統(tǒng)特性的參數(shù)少,而且在改變模型階次時低階系數(shù)不用重復(fù)辨識,在線計算量小.正是這些優(yōu)點使得Laguerre模型能很方便地應(yīng)用于系統(tǒng)控制中,由此出現(xiàn)了多種基于Laguerre模型的控制算法,如:自適應(yīng)控制、預(yù)測控制、多模型控制等.本文算法是在Laguerre模型的基礎(chǔ)上,依據(jù)狀態(tài)反饋的思想,利用Lyapunov穩(wěn)定性定理和奇異值理論推導(dǎo)出保證閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的條件.為進一步提高控制性能,引入遺傳算法尋優(yōu)的自適應(yīng)控制策略,通過衰減因子的在線調(diào)節(jié),當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生突變時能在保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,提高控制品質(zhì).仿真實驗表明,該算法控制精度較高,當(dāng)模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化較大時,仍能實現(xiàn)穩(wěn)定控制,并且跟蹤速度較快.2laguerre網(wǎng)絡(luò)離散化Laguerre函數(shù)是平方可積函數(shù)空間L2(0,∞)上的一組正交基,定義為?i(t)=√2pept(i-1)!?di-1dti-1(ti-1?e-2pt),i=1,2,?.?i(t)=2p??√ept(i?1)!?di?1dti?1(ti?1?e?2pt),i=1,2,?.其Laplace變換為如下有理傳遞函數(shù):?i(s)=√2p(s-p)i-1(s+p)i.?i(s)=2p??√(s?p)i?1(s+p)i.如果取N階Laguerre級數(shù)來近似系統(tǒng),則可表示為Y(s)=Ν∑iCi?i(s)U(s).對Laguerre網(wǎng)絡(luò)離散化后,系統(tǒng)模型可簡化表示為如下狀態(tài)方程的形式:L(k+1)=AL(k)+Bu(k),y(k)=CL(k).(1)其中A=|τ100-aΤτ1?0????(-1)Ν-1τΝ-22aΤΝ-1?-aΤτ1|?B=|τ4(-τ2/Τ)τ4?(-τ2/Τ)Ν-1τ4|,a=τ1τ2+τ3,τ1=exp(-pΤ),τ2=Τ+2p(exp(-pΤ)-1),τ3=-Τexp(-pΤ)-2p(exp(-pΤ)-1),τ4=√2p(1-τ1)p,L(k)=|l1(k)l2(k)?lΝ(k)|Τ,C=|c1c1?cΝ|.這里:N是Laguerre函數(shù)逼近的階數(shù);Laguerre模型的參數(shù)p不敏感,一般可由先驗知識選一個固定的值;T是采樣時間周期.如果(N,p,T)確定,上述各參數(shù)可離線計算得到.從式(1)中可看出,Laguerre模型與所表征對象的直接聯(lián)系只有系數(shù)向量C,由于L(k)可由式(1)通過u(k)計算得到,則系數(shù)C可方便地應(yīng)用式(2)帶遺忘因子最小二乘辨識算法在線獲得.對于系統(tǒng)(1),給出如下假設(shè):假設(shè)1參數(shù)C有界,系統(tǒng)(1)穩(wěn)定.假設(shè)2Laguerre模型能準(zhǔn)確逼近系統(tǒng)真實模型,且狀態(tài)方程(1)是能觀和能控的.C(k)=C(k-1)+{Μ(k)[y(k)-C(k-1)L(k-1)]}Τ,Μ(k)=Ρ(k-1)L(k-1)λ+LΤ(k-1)Ρ(k-1)L(k-1),Ρ(k)=1λ[Ρ(k-1)-Μ(k)LΤ(k)Ρ(k-1)].(2)3環(huán)控制算法pfc預(yù)測函數(shù)控制的特點在于將輸入結(jié)構(gòu)化,認為每一時刻的控制輸入u是事先選定的基函數(shù)ubj的線性組合,即u(k+i)=nb∑j=1μj(k)ubj(i).(3)其中:ubj(i)是基函數(shù)在第k+i采樣周期的取值,nb是基函數(shù)個數(shù),μj(k)是對應(yīng)基函數(shù)的線性加權(quán)系數(shù).PFC中基函數(shù)的選擇依賴于設(shè)定值和對象本身的性質(zhì),通?？扇‰A躍、斜坡、指數(shù)函數(shù)等.對于一般對象取兩個基函數(shù)(階躍和斜坡函數(shù))來構(gòu)造控制量均能滿足要求.u(k+i)=μ1(k)+μ2(k)×i.(4)利用線性狀態(tài)反饋預(yù)測理論,可從式(1)和(4)得出未來k+i時刻的系統(tǒng)模型預(yù)測輸出,即ym(k+i)=CAiL(k)+C[Ai-1+Ai-2+?+Ι]Bμ1(k)+C[Ai-2+2Ai-3+?+(i-1)Ι]Bμ2(k).(5)PFC是一種閉環(huán)控制算法,在實際情況下,由于二次噪聲、系統(tǒng)時變等原因而引起模型預(yù)測輸出與對象輸出之間存在一定的預(yù)測誤差.將預(yù)測誤差通過一個預(yù)估器,對未來優(yōu)化時域中的誤差加以補償,可提高控制精度.可取未來預(yù)測誤差為e(k+i)=y(k)-ym(k),(6)其中y(k)和ym(k)為k時刻的系統(tǒng)輸出與模型輸出.PFC采用二次型性能指標(biāo)計算未來控制量u(k),即J=Η2∑i=Η1[ym(k+i)+e(k+i)-yr(k+i)]2.(7)其中:是優(yōu)化時域;yr(k+i)是參考軌跡,一般取如下形式:yr(k+i)=w(k+i)-αi[w(k)-y(k)].(8)這里:α=exp(-Ts/Tr),Ts是采樣周期,Tr是參考軌跡響應(yīng)時間,w(k)是設(shè)定值,y(k)是過程輸出.為了由式(7)得到未知參數(shù)μ1(k)和μ2(k),只需利用優(yōu)化時域中的兩個點H1和H2,則式(7)改寫為J=[ym(k+Η1)+e(k+Η1)-yr(k+Η1)]2+[ym(k+Η2)+e(k+Η2)-yr(k+Η2)]2.(9)利用式(5),(6),(8)和(9)可得J=[X1(k)+Μ11μ1(k)+Μ12μ2(k)]2+[X2(k)+Μ21μ1(k)+Μ22μ2(k)]2.(10)其中X1(k)=CAΗ1L(k)+e(k+Η1)-yr(k+Η1),X2(k)=CAΗ2L(k)+e(k+Η2)-yr(k+Η2),Μ11=C(AΗ1-1+AΗ1-2+?+Ι)B,Μ12=C[AΗ1-2+2AΗ1-3+?+(Η1-1)Ι]B,Μ21=C(AΗ2-1+AΗ2-2+?+Ι)B,Μ22=C[AΗ2-2+2AΗ2-3+?+(Η2-1)Ι]B.令?J?μ1(k)=0,?J?μ2(k)=0,可得μ1(k)=Syy(k)+SlL(k)+Sww(k).(11)其中Sy=Q(Q3Μ12-Q2Μ11)(1-αΗ1)+Q(Q3Μ22-Q2Μ21)(1-αΗ2),Sl=Q(Q3Μ12-Q2Μ11)C(AΗ1-Ι)+Q(Q3Μ22-Q2Μ21)C(AΗ2-Ι),Sw=-Sy.這里Q1=Μ211+Μ221,Q2=Μ212+Μ222,Q3=Μ11Μ12+Μ21Μ22,Q=1/(Q1Q2-Q23).則當(dāng)前控制量u(k)=μ1(k)=Syy(k)+SlL(k)+Sww(k).(12)從式(11)可知,加權(quán)系數(shù)μ1(k)存在的條件是Q存在,因此在選擇控制器參數(shù)H1和H2時,應(yīng)保證此條件滿足.一般而言,H1應(yīng)大于模型的未知時滯數(shù),H2應(yīng)大到對象的動態(tài)特性能充分表現(xiàn)出來.4在線狀態(tài)反饋補償算法由假設(shè)2,式(12)和系統(tǒng)狀態(tài)方程(1)可得如下閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程:L(k+1)=AcL(k)+BSww(k),(13)其中Ac=A+BSl+BSyC.由假設(shè)1可知,參數(shù)C是有界的,模型選定之后A和B是確定的.由式(11)和(12)可知,Sl,Sw和Sy是有界的,w(k)設(shè)定值也是有界的.根據(jù)離散時間系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性定理可知,閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性由Ac決定,當(dāng)Ac的全部特征值λi(Ac)的幅值均小于1時系統(tǒng)是穩(wěn)定的,可用下式表示:|λi(Ac)|<1.(14)根據(jù)矩陣奇異值理論,有如下性質(zhì)成立:σˉ(A)≤|λi(A)|≤ˉσ(A),ˉσ(A1+A2)≤ˉσ(A1)+ˉσ(A2),ˉσ(αA)=|α|ˉσ(A).(15)其中:σˉ(A)表示矩陣A的最小奇異值,ˉσ(A)表示矩陣A的最大奇異值,|λi(A)|表示矩陣A的特征值的模,α是標(biāo)量.由式(14)和(15)可知,下式成立時閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的:ˉσ(A)+ˉσ(BSl)+ˉσ(BSyC)<1.(16)在實際工程應(yīng)用中,為了在線調(diào)整方便靈活,使?fàn)顟B(tài)反饋預(yù)測控制算法有較強的魯棒性,提高對生產(chǎn)過程變化的適應(yīng)能力,按狀態(tài)反饋預(yù)測控制計算出的控制率先乘一個相應(yīng)的衰減系數(shù)β再送出,使預(yù)測控制器送出的控制作用適當(dāng)減小,通常取0<β≤1.對此本文提出了補償算法,給控制率增加一個自適應(yīng)的衰減因子β來保證閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定,即通過衰減因子的在線調(diào)整使系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性條件.當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定運行時β取1,控制率保持原來的計算值以保證系統(tǒng)輸出能快速跟隨設(shè)定值;當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生突變時β取小于1的值,以抑制系統(tǒng)突變.此時控制率為u(k)=β(Syy(k)+SlL(k)+Sww(k)).(17)閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程相應(yīng)變?yōu)長(k+1)=AfL(k)+βBSww(k),(18)其中Af=A+βBSl+βBSyC.則系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為ˉσ(A)+ˉσ(βBSl)+ˉσ(βBSyC)<1.(19)依據(jù)矩陣奇異值性質(zhì),對式(19)進行變換得到衰減因子β的計算公式,即ˉσ(A)+βˉσ(BSl)+βˉσ(BSyC)<1,β<1-ˉσ(A)ˉσ(BSl)+ˉσ(BSyC).(20)由式(20)和(11)可知,當(dāng)控制器參數(shù)選定之后,β只與表征對象模型變化的C有關(guān).當(dāng)系統(tǒng)模型發(fā)生變化造成系統(tǒng)失穩(wěn)時,可通過調(diào)整參數(shù)β使系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性條件.5尋優(yōu)算法及其實現(xiàn)式(14)～(20)根據(jù)矩陣奇異值理論進行的推導(dǎo)實際上縮小了系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍,條件趨于保守,有可能將一些可以穩(wěn)定的情況排除在外了.為了兼顧穩(wěn)定性和控制性能,本文采用遺傳算法尋優(yōu)的方法,直接根據(jù)|λi(Af)|<1在線尋找匹配的β值,實現(xiàn)系統(tǒng)的自適應(yīng)控制.遺傳算法是模擬遺傳選擇和自然淘汰的生物進化過程的計算模型,是一種新的全局優(yōu)化搜索算法,具有簡單通用、魯棒性強、適于并行處理等優(yōu)點.本文的仿真就是利用遺傳算法在每一采樣周期計算最優(yōu)的β值.尋優(yōu)的目標(biāo)是保證Af最大特征值的模小于1的情況下,在0<β≤1范圍內(nèi)找到一個較大的β,既保證系統(tǒng)穩(wěn)定又滿足控制要求.具體算法步驟如下:Step1:建立初始種群.任意生成一個元素都在(0,1)之內(nèi)的20×2矩陣X0作為初始種群,X0的第1列存放衰減因子β,X0的第2列存放相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)θ,θ表示與β對應(yīng)的Af最大特征值的模.Step2:計算產(chǎn)生新種群X1.根據(jù)上一代種群矩陣中的β,計算相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)θ.結(jié)果在(0,1)之內(nèi)就保留下來;反之,則將β任意給定一個(0,1)之間的值,重新計算θ.比較適應(yīng)度函數(shù)θ,將最大的一行記錄下來,形成最優(yōu)記錄.Step3:種群復(fù)制.從X1中任選兩行,比較衰減因子β,將較大的行記錄下來,得到新種群X2.Step4:種群交叉.依次計算種群中第i行和第i+10行β值的和與差,在(0,1)之內(nèi)就保留下來;反之,則任意給定一個(0,1)之間的值,得到新種群X3.Step5:種群變異.如果滿足變異條件,則給第i行的β加上一個(0,1)之間的隨機值,結(jié)果在(0,1)之內(nèi)就保留下來;反之,則任意給定一個(0,1)之間的值,得到新種群X4.Step6:如果達到設(shè)定的循環(huán)次數(shù),結(jié)束程序,將得到的最優(yōu)記錄用于控制率的計算;否則,返回Step2進行下一代遺傳優(yōu)化計算.本文所討論的問題比較簡單,在上述計算中種群選擇20個染色體,經(jīng)過50代遺傳就能得到優(yōu)化的β值.下面的仿真實驗將證明,本文設(shè)計的遺傳優(yōu)化算法無論是速度還是精度都能滿足穩(wěn)定控制的要求,并能很好地完成在線尋找β值的任務(wù).6laguerre仿真測試為了驗證算法的有效性,本文進行了大量的仿真實驗.當(dāng)模型變化較小時,普通LaguerrePFC和本文所提優(yōu)化LaguerrePFC算法均能實現(xiàn)自適應(yīng)控制,得到滿意的控制結(jié)果.考慮離散型系統(tǒng)G1(z)=0.3z-1+0.6z-21-0.6z-1+0.32z-2,G2(z)=0.1z-1+0.2z-21-0.6z-1-0.009z-2+0.15z-3-0.1z-4,G3(z)=0.3z-1+0.6z-21-0.72z-1+0.7z-2.初始模型G1是一個帶1步時延的2階系統(tǒng),假設(shè)在第1000個采樣周期后,系統(tǒng)跳變?yōu)?階模型G2,在第2000個采樣周期后系統(tǒng)跳變?yōu)?階模型G3,模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)發(fā)生了較大變化.控制器參數(shù)取H1=4,H2=12,N=7,p=1.1,遺忘因子λ=0.99,設(shè)定值為1.圖1為普通LaguerrePFC方法的仿真結(jié)果.其中:y是系統(tǒng)輸出曲線,u是對應(yīng)的調(diào)節(jié)曲線,C是系統(tǒng)參數(shù)辨識曲線.從圖中可知,當(dāng)模型突變時系統(tǒng)輸出y和控制量u均發(fā)生了較大變化,實際值在(-60,30)之間波動,遠遠偏離了設(shè)定值軌線,閉環(huán)系統(tǒng)失穩(wěn),無法保持正常工作狀態(tài).圖2為本文方法在同樣情況下的仿真曲線.其中:beta是系統(tǒng)調(diào)節(jié)過程中得到的衰減因子β的變化情況;y,u,C與圖1意義相同.對比圖1和圖2可以發(fā)現(xiàn),在第1000和第2000個采樣周期發(fā)生模型跳變時,由于模型變化太大,辨識