【二次函數(shù)綜合題】類(lèi)型十-二次函數(shù)與矩形有關(guān)的問(wèn)題（原卷版）

類(lèi)型十二次函數(shù)與矩形有關(guān)的問(wèn)題【典例1】如果一條拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱(chēng)為這條拋物線的“拋物線三角形”．（1）“拋物線三角形”一定是三角形；（2）若拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如圖，△OAB是拋物線的“拋物線三角形”，是否存在以原點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心的矩形ABCD？若存在，求出過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說(shuō)明理由．【典例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，直線AD與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且CD＝4AC．設(shè)P是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例3】如圖所示，拋物線m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）與x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線n，它的頂點(diǎn)為C1，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A1．（1）當(dāng)a=﹣1，b=1時(shí)，求拋物線n的解析式；（2）四邊形AC1A1C是什么特殊四邊形，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)果并說(shuō)明理由；（3）若四邊形AC1A1C為矩形，請(qǐng)求出a，b應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式．【典例4】如圖，將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2．現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E．在平移過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例5】如圖1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)是軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．求拋物線的函數(shù)表達(dá)式:若拋物線與拋物線在軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求的取值范圍．如圖2，是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)在拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形能否成為正方形？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例6】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為(4，t)(t＞0)．二次函數(shù)y＝x2＋bx(b＜0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，頂點(diǎn)為點(diǎn)D.(1)當(dāng)t＝12時(shí)，頂點(diǎn)D到x軸的距離等于__eq\f(1,4)__；(2)點(diǎn)E是二次函數(shù)y＝x2＋bx(b＜0)的圖象與x軸的一個(gè)公共點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)O不重合)．求OE·EA的最大值及取得最大值時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式；(3)矩形OABC的對(duì)角線OB，AC交于點(diǎn)F