高考數(shù)學(xué)微一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第5節(jié) 對(duì)數(shù)函數(shù)練習(xí) 理試題

第5節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間：30分鐘)1．(2018·聊城模擬)函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)()A．(0,1) B．(1,0)C．(0,0) D．(2,0)解析：x＋1＝1，解得x＝0，圖象過(guò)(0,0)．答案：C2．lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：原式＝2lg5＋lg2·(1＋lg5)＋(lg2)2＝2lg5＋lg2(1＋lg5＋lg2)＝2lg5＋2lg2＝2.答案：B3．(高考福建卷)若函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是()解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝logax過(guò)點(diǎn)(3,1)所以1＝loga3，解得a＝3，y＝3－x不可能過(guò)點(diǎn)(1,3)，排除選項(xiàng)A；y＝(－x3)＝－x3不可能過(guò)點(diǎn)(1,1)，排除選項(xiàng)C；y＝log3(－x)不可能過(guò)點(diǎn)(－3，－1)，排除選項(xiàng)D.答案：B4．(2018·宜賓模擬)已知loga2＜1(a＞0且a≠1)，則a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．(0,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞) D．(0,1)∪(2，＋∞)解析：因loga2＜logaa，(1)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，a＜2，(2)a＞1時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，a＞2.綜上，0＜a＜1或a＞2，故選D.答案：D5．(2018·洛陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝lgx，若有f(a)＝g(b)，則b的取值范圍是()A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)解析：因?yàn)閒(a)＝a2≥0，所以g(b)＝lgb≥0，所以b≥1.故選C.答案：C6．(2018·湘西州校級(jí)一模)設(shè)a＝log32，b＝ln2，c＝2eq\f(1,2)，則()A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜aC．b＜a＜c D．c＜b＜a解析：因?yàn)閍＝log32＝eq\f(1,log23)，b＝ln2＝eq\f(1,log2e)，因?yàn)閘og23＞log2e＞1，所以eq\f(1,log23)＜eq\f(1,log2e)＜1，又c＝2eq\f(1,2)＞1，所以a＜b＜c，故選A.答案：A7．若函數(shù)g(x)＝log3(ax2＋2x－1)有最大值1，則實(shí)數(shù)a的值等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4) D．4解析：令h(x)＝ax2＋2x－1，要使函數(shù)g(x)＝log3(ax2＋2x－1)有最大值1，應(yīng)使h(x)＝ax2＋2x－1有最大值3，因此有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0,Δ＝4＋4a≥0,\f(－4a－4,4a)＝3))，解得a＝－eq\f(1,4)，此即為實(shí)數(shù)a的值．故選C.答案：C8．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1，x≤0，,log2x，x＞0，))則使函數(shù)f(x)的圖象位于直線y＝1上方的x的取值范圍是________．解析：當(dāng)x≤0時(shí)，3x＋1＞1?x＋1＞0，所以－1＜x≤0；當(dāng)x＞0時(shí)，log2x＞1?x＞2，所以x＞2.答案：{x|－1＜x≤0或x＞2}9．已知函數(shù)f(x)＝lneq\f(x,1－x)，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，則ab的取值范圍是________．解析：由題意可知lneq\f(a,1－a)＋lneq\f(b,1－b)＝0，即lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,1－a)×\f(b,1－b)))＝0，從而eq\f(a,1－a)×eq\f(b,1－b)＝1，化簡(jiǎn)得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，又0＜a＜b＜1，所以0＜a＜eq\f(1,2)，故0＜－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)＜eq\f(1,4).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))10．解答下列各題：(1)計(jì)算：lg22＋lg50·lg4＋lg25＋lg25；(2)計(jì)算：log23·log34.解：(1)原式＝lg22＋(1＋lg5)·2lg2＋lg25＋2lg5＝(lg2＋lg5)2＋2(lg2＋lg5)＝1＋2＝3.(2)原式＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg2,lg2)＝2.11．函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(0)＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝logeq\f(1,2)x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)＞－2.解：(1)當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，則f(－x)＝logeq\f(1,2)(－x)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)．所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x，x＞0，,0，x＝0，,log\f(1,2)－x，x＜0.))(2)因?yàn)閒(4)＝logeq\f(1,2)4＝－2，f(x)是偶函數(shù)，所以不等式f(x2－1)＞－2可化為f(|x2－1|)＞f(4)．又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以|x2－1|＜4，解得－eq\r(5)＜x＜eq\r(5)，即不等式的解集為(－eq\r(5)，eq\r(5))．能力提升練(時(shí)間：15分鐘)12．(2018·長(zhǎng)春校級(jí)四模)函數(shù)y＝eq\f(1,ln|ex－e－x|)的部分圖象大致為()解析：因?yàn)閥＝f(x)＝eq\f(1,ln|ex－e－x|)，所以f(－x)＝eq\f(1,ln|e－x－ex|)＝eq\f(1,ln|ex－e－x|)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以排除B，C.因?yàn)閒(2)＝eq\f(1,ln|e2－e－2|)＞0，所以(2，f(2))在x軸上方，所以排除A.故選D.答案：D13．(2018·銀川校級(jí)四模)設(shè)e＜x＜10，記a＝ln(lnx)，b＝lg(lgx)，c＝ln(lgx)，d＝lg(lnx)，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜b＜c＜d B．c＜d＜a＜bC．c＜b＜d＜a D．b＜d＜c＜a解析：因?yàn)閑＜x＜10，所以lnx＞1，lgx＜1，所以a＝ln(lnx)＞0，b＝lg(lgx)＜0，c＝ln(lgx)＜0，d＝lg(lnx)＞0，令x＝e2，則a＝ln2，d＝lg2，顯然a＞d.令x＝eq\r(10)，則b＝lgeq\f(1,2)＝－lg2，c＝lneq\f(1,2)＝－ln2，顯然b＞c所以c＜b＜d＜a.答案：C14．關(guān)于函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0)，有下列結(jié)論：①其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)是減函數(shù)；③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在區(qū)間(－1,0)和(1，＋∞)上是增函數(shù)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(－x)＝lgeq\f(－x2＋1,|－x|)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)＝f(x)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故①正確．因函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝|x|＋eq\f(1,|x|)在(－∞，－1)和(0,1)上單調(diào)遞減，在(－1,0)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)和(1，＋∞)上是增函數(shù)，在區(qū)間(－∞，－1)和(0,1)上是減函數(shù)，故②錯(cuò)，④正確．③因?yàn)閑q\f(x2＋1,|x|)＝|x|＋eq\f(1,|x|)≥2eq\r(|x|·\f(1,|x|))＝2，所以f(x)≥lg2，即最小值為lg2，故③正確．答案：①③④15．已知函數(shù)f(x)＝lneq\f(x＋1,x－1).(1)求函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)對(duì)于x∈[2,6]，f(x)＝lneq\f(x＋1,x－1)＞lneq\f(m,x－17－x)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)由eq\f(x＋1,x－1)＞0，解得x＜－1或x＞1，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(1，＋∞)，當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時(shí)，f(－x)＝lneq\f(－x＋1,－x－1)＝lneq\f(x－1,x＋1)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－1)))－1＝－lneq\f(x＋1,x－1)＝－f(x)，所以f(x)＝lneq\f(x＋1,x－1)是奇函數(shù)．(2)因?yàn)閤∈[2,6]時(shí)，f(x)＝lneq\f(x＋1,x－1)＞lneq\f(m,x－17－x)恒成立，所以eq\f(x＋1,x－1)＞eq\f(m,x－17－x)＞0，因?yàn)閤∈[2,6]，所以0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2,6]上成立．令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知x∈[2,3]時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x∈[3,6]時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，x∈[2,6]時(shí)，g(x)min＝g(6)＝7，所以0＜m＜7.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,7)．16．(2018·太原期中)已知函數(shù)f(x)＝－x＋log2eq\f(1－x,1＋x).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2018)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2018)))的值；(2)當(dāng)x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)f(x)的定義域是(－1,1)，f(x)＝－x＋log2eq\f(1－x,1＋x)，f(－x)＝x＋log2eq\f(1＋x,1－x)＝－(－x)＋log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))－1＝－(－x＋log2eq\f(1－x,1＋x))＝－f(x)．即f(x)＋f(－x)＝0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2018)))＋feq\b\lc