小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)思維奧數(shù)寒假講義-第3講 平面幾何模型-蝴蝶模型（教師版）

第3講平面幾何模型——蝴蝶模型【知識(shí)梳理】梯形模型的應(yīng)用梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：①②③的對(duì)應(yīng)份數(shù)為=4\*GB3④S1×S3=S2×S4梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過(guò)構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往在題目中有事半功倍的效果?！镜淅v】如圖，，，求梯形的面積?！敬鸢浮?【解析】設(shè)為份，為份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，，所以；又因?yàn)?，所以；那么，，所以梯形面積，或者根據(jù)梯形蝴蝶定理，。如下圖，梯形的平行于，對(duì)角線，交于，已知與的面積分別為平方厘米與平方厘米，那么梯形的面積是________平方厘米?！敬鸢浮?44【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，，可得，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)．那么梯形的面積為(平方厘米)。梯形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，已知梯形上底為2，且三角形的面積等于三角形面積的，求三角形與三角形的面積之比。【答案】【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，，可以求出，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，。如下圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于O點(diǎn)，已知AO=1，并且，那么OC的長(zhǎng)是多少？【答案】【解析】根據(jù)蝴蝶定理，，所以，又，所以。梯形的下底是上底的倍，三角形的面積是，問(wèn)三角形的面積是多少？【答案】4【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，，，所以。如圖，梯形ABCD中，、的面積分別為1.2和2.7，求梯形ABCD的面積?！敬鸢浮?.5【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，，所以，，，如下圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊，已知三角形ADG的面積是11，三角形BCH的面積是23，求四邊形EGFH的面積?！敬鸢浮?4【解析】如圖，連結(jié)EF，顯然四邊形ADEF和四邊形BCEF都是梯形，于是我們可以得到三角形EFG的面積等于三角形ADG的面積；三角形BCH的面積等于三角形EFH的面積，所以四邊形EGFH的面積是．如圖，長(zhǎng)方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5，四邊形2的面積為36，則三角形1的面積為_(kāi)_______．【答案】20【解析】做輔助線如下：利用梯形模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，其面積正好等于三角形1和三角形3，所以1的面積就是，3的面積就是．【能力提升】如圖，正方形ABCD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點(diǎn)．求圖中陰影部分的面積?！敬鸢浮?【解析】因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn)，所以，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道，設(shè)份，則份，所以正方形的面積為份，份，所以，所以平方厘米?！菊n后鞏固】1.如左下圖，E是長(zhǎng)方形ABCD邊AB的中點(diǎn)，已知三角形EBF的面積是1平方厘米，求長(zhǎng)方形ABCD的面積?！敬鸢浮?2【解析】根據(jù)題意，,.所以，.長(zhǎng)方形ABCD的面積為：2.正方形的邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)（如圖）。四邊形的面積為?！敬鸢浮?2【解析】連結(jié)，，即，，所以。3.如圖面積為12平方厘米的正方形中，E、F是DC邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積。【答案】3【解析】因?yàn)槭沁吷系娜确贮c(diǎn)，所以，設(shè)份，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道份，份，份，因此正方形的面積為份，，所以，所以平方厘米。4.如圖，長(zhǎng)方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為_(kāi)__________平方厘米．【答案】9【解析】連接、．四邊形為梯形，所以，又根據(jù)蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么長(zhǎng)方形的面積為平方厘米，四邊形的面積為(平方厘米)．5.如下圖，梯形的平行于，對(duì)角線，交于，已知與的面積分別為平方厘米與平方厘米，那么梯形的面積是________平方厘米．【答案】144【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，，可得，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)．那么梯形的面積為(平方厘米)．6.在梯形ABCD中，上底長(zhǎng)5厘米，下底長(zhǎng)10厘米，平方厘米，則梯形ABCD的面積是______平方厘米?！敬鸢浮?5【解析】因?yàn)锳D∥BC，故又，故在與中，因其高相等，且BO:DO=2:1，故:=2:1而，故。同理，在與中，因CO:AO=2:1，且在相應(yīng)邊上的高相等，故:=2:1即.在中，因AO:CO=1:2，且其在相應(yīng)邊上的高相等，故:=1:2。即綜上，=10+20+10+5=457.如下圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊，已知三角形的面積是，三角形的面積是，求四邊形的面積?！敬鸢浮?4【解析】如圖，連結(jié)EF，顯然四邊形ADEF和四邊形BCEF都是梯形，于是我們可以得到三角形EFG的面積等于三角形ADG的面積；三角形BCH的面積等于三角形EFH的面積，所以四邊形EGFH的面積是．8.如圖所示，、將長(zhǎng)方形分成4塊，的面積是5平方厘米，的面積是10平方厘米．問(wèn)：四邊形的面積是多少平方厘米？【答案】25【解析】連接，根據(jù)梯形模型，可知三角形的面積和三角形的面積相等，即其面積也是10平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形的面積為(平方厘米)，所以長(zhǎng)方形的面積為(平方厘米)．四邊形的面積為(平方厘米)．9.如圖，在長(zhǎng)方形中，厘米，厘米，，求陰影部分的面積．【答案】3.5【解析】如圖，連接，，由于，設(shè)份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，份，份，份，因此份，份，而平方厘米，所以平方厘米10.如圖，梯形中，、的面積分別為和，求梯形的面積．【答案】7.5【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，，所以，，，．【小測(cè)驗(yàn)】1.梯形的下底是上底的倍，三角形的面積是，問(wèn)三角形的面積是多少？【答案】4【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，，，所以．2.如圖，長(zhǎng)方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5，四邊形2的面積為36，則三角形1的面積為_(kāi)_______．【答案】20【解析】做輔助線如下：利用梯形模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，其面積正好等于三角形1和三角形3，所以1的面積就是，3的面積就是．3.如圖，正方形面積為平方厘米，是邊上的中點(diǎn)．求圖中陰影部分的面積．【答案】1【解析】因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn)，所以，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道，設(shè)份，則份，所以正方形的面積為份，份，所以，所以平方厘米．4.在下圖的正方形中，是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是平方厘米．【答案】12【解析】連接，根據(jù)題意可知，根據(jù)蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．5.E是平行四邊形ABCD的CD邊上的一