大學(xué)物理4-剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)1剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體．(任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組．)剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)．⑴剛體是理想模型⑵剛體模型是為簡(jiǎn)化問(wèn)題引進(jìn)的．說(shuō)明：4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2剛體平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

平動(dòng)：剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同．特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一樣，如：等都相同．4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)3轉(zhuǎn)動(dòng)：分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)

4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)4剛體的一般運(yùn)動(dòng)可看作：隨質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+的合成4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5一剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度角位移

角坐標(biāo)沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)<0q0>q角速度矢量

方向:右手螺旋方向P’(t+dt).OxP(t)r.4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)約定6角加速度剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(一維轉(zhuǎn)動(dòng))的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用角速度的正、負(fù)來(lái)表示.4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)7(1)

每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；(2)

任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)均相同，但不同；定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)

(3)

運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)．4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)8二勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的

=常量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)．4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)9三角量與線量的關(guān)系4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)10例1

一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150r·min-1，因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)30s停止轉(zhuǎn)動(dòng).試求：（1）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動(dòng)開(kāi)始后t=6s

時(shí)飛輪的角速度；（3）t=6s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s

時(shí)，設(shè).飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，

t=0s

4–1

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)11飛輪30s

內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)（2）時(shí)，飛輪的角速度12（3）時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度4–1

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2222nsm/6.31sm/)π4(2.0--=×==wra13例2在高速旋轉(zhuǎn)圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過(guò)中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)．開(kāi)始時(shí)，它的角速度，經(jīng)300s

后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到18000r·min-1

．轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比．問(wèn)在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)多少轉(zhuǎn)？解令，即，積分得4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)14當(dāng)t=300s

時(shí)4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)15由得在300s內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)END4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)16PO

:力臂對(duì)轉(zhuǎn)軸z

的力矩

一力矩

用來(lái)描述力對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)作用．*4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩方向:右手螺旋法則17O討論

（1）若力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量其中對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量18O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和（3）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消．4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量19

例1

有一大型水壩高110m、長(zhǎng)1000m,水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示.求作用在大壩上的力，以及這個(gè)力對(duì)通過(guò)大壩基點(diǎn)Q且與x軸平行的力矩.QyOxyOhxL4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量20解設(shè)水深h，壩長(zhǎng)L，在壩面上取面積元，作用在此面積元上的力yOhxyQyOxL4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量21令大氣壓為，則代入數(shù)據(jù)，得yOhxyL4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量22QyOyh對(duì)通過(guò)點(diǎn)Q的軸的力矩代入數(shù)據(jù)，得：4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量23O二轉(zhuǎn)動(dòng)定律

（1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸剛性連接4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量24（2）剛體質(zhì)量元(質(zhì)點(diǎn))受外力，內(nèi)力外力矩內(nèi)力矩O4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體:25剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比.轉(zhuǎn)動(dòng)定律定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量O4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量26討論（2）（3）（1）

不變轉(zhuǎn)動(dòng)定律4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量27三轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

J

的意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位：kg·m24-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量28質(zhì)量離散分布

J的計(jì)算方法質(zhì)量連續(xù)分布

：質(zhì)量元4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量29

對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度

對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)量面密度

對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：：質(zhì)量體密度

：質(zhì)量元4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量30剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以下三個(gè)因素有關(guān)：（3）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)．（1）與剛體的密度有關(guān)．（2）與剛體的幾何形狀及密度的分布有關(guān)．說(shuō)明4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量31

解設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′

為處的質(zhì)量元例2一質(zhì)量為、長(zhǎng)為

的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求通過(guò)棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.O′O4–2

力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量324-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量O′O如轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒33ORO

例3一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤，求通過(guò)盤中心O并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

解設(shè)圓盤面密度為，在盤上取半徑為，寬為的圓環(huán)而圓環(huán)質(zhì)量所以圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4–2

力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量34四

平行軸定理質(zhì)量為

的剛體，如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則對(duì)任一與該軸平行，相距為

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CO4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量35質(zhì)量為m，長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)棒繞其一端的JP圓盤對(duì)P

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量OO1d=l/2O1’O2O2’4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3637竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量38(2)為瞬時(shí)關(guān)系．(3)轉(zhuǎn)動(dòng)中與平動(dòng)中地位相同．(1)

,與方向相同．說(shuō)明轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量39

例4

質(zhì)量為的物體A

靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為R、質(zhì)量為的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為的物體B

上.滑輪與繩索間沒(méi)有滑動(dòng)，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì).問(wèn)：（1）兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體B

從再求線加速度及繩的張力.靜止落下距離

時(shí)，其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為ABC第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)40解

(1)

用隔離法分別對(duì)各物體作受力分析，取如圖所示坐標(biāo)系．ABCOO4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量41OO4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量42解得：4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量43如令，可得（2）

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量44（3）考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩，轉(zhuǎn)動(dòng)定律結(jié)合（1）中其它方程4–2

力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量45ABC4–2

力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)46穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈O轉(zhuǎn)動(dòng)．試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成角時(shí)的角加速度和角速度．例5一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)．由于此豎直放置的細(xì)桿處于非m,lOmgθ4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量47

解細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得式中得m,lOmgθ4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量48由角加速度的定義代入初始條件積分得m,lOmgθEND4-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量49

力的時(shí)間累積效應(yīng)：沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理．

力矩的時(shí)間累積效應(yīng)：沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理．4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律50一質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)描述4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律511

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)量為

的質(zhì)點(diǎn)以速度在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)對(duì)

O

的位矢為，質(zhì)點(diǎn)對(duì)O的角動(dòng)量大小的方向符合右手法則角動(dòng)量單位：kg·m2·s-14-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律52質(zhì)點(diǎn)以作半徑為

的圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心作用于質(zhì)點(diǎn)的合外力對(duì)參考點(diǎn)O

的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)O

的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率.2

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律53質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理的推導(dǎo)4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律54質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：對(duì)同一參考點(diǎn)O，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量.

恒矢量

3

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律沖量矩4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律55

例1

一半徑為R

的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為m

的小球穿在圓環(huán)上,并可在圓環(huán)上滑動(dòng).小球開(kāi)始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn)A

(該點(diǎn)在通過(guò)環(huán)心O

的水平面上)，然后從A點(diǎn)開(kāi)始下滑．設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略去不計(jì)．求小球滑到點(diǎn)B

時(shí)對(duì)環(huán)心O

的角動(dòng)量和角速度．4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律56解小球受力、作用,的力矩為零，重力矩垂直紙面向里由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律因?yàn)?7得由題設(shè)條件積分上式4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律58例2一質(zhì)量為m=1.2×104Kg的登月飛船，在離月球表面高度h=100Km處繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)．飛船采用如下登月方式：當(dāng)飛船位于點(diǎn)A

時(shí)，它向外側(cè)短時(shí)間噴射出粒子流，使飛船與月球相切地到達(dá)點(diǎn)B

,且OA

與OB

垂直．飛船所噴氣體相對(duì)飛船的速度為試問(wèn)：登月飛船在登月過(guò)程中所需消耗燃料的質(zhì)量是多少?(已知月球半徑R=1700km,g=1.62m．s-2)4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律59BhORA已知4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律求所需消耗燃料的質(zhì)量.60解設(shè)飛船在點(diǎn)A的速度,月球質(zhì)量mM

,由萬(wàn)有引力和牛頓定律BhORA4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律61BhORA4–3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)飛船在A點(diǎn)以相對(duì)速度

向外噴氣的短時(shí)間里,飛船的質(zhì)量減少了Δm

而為

,并獲得速度的增量,使飛船的速度變?yōu)?其值為4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律624–3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律質(zhì)量

在A點(diǎn)和B

點(diǎn)只受有心力作用,角動(dòng)量守恒BhORA4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律63飛船在A點(diǎn)噴出氣體后,在到達(dá)月球的過(guò)程中,機(jī)械能守恒BhORA第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律64A點(diǎn)水平方向動(dòng)量守恒BhORA4–3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律(以月球?yàn)閰⒖枷?噴前動(dòng)量為零,噴后動(dòng)量也為零)4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律65661

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量大小的向符合右手法則4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律

力矩的時(shí)間累積效應(yīng)：沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理．67質(zhì)點(diǎn)以作半徑為

的圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心2

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律68

恒矢量

3

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律沖量矩4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律69二剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律

1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量O4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律70

剛體2

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)mi受合力矩Mi4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律713

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律，則若=常量對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，受合外力矩M，從到內(nèi)，角速度從

變?yōu)?/p>

，積分可得：4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律72

角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律.

內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量.

守恒條件若不變，不變；若變，也變，但不變.討論

在沖擊等問(wèn)題中常量4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律73許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來(lái)說(shuō)明.花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水點(diǎn)擊圖片播放4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律74自然界中存在多種守恒定律動(dòng)量守恒定律能量守恒定律角動(dòng)量守恒定律電荷守恒定律質(zhì)量守恒定律宇稱守恒定律等4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律75

例3

質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l

的均勻細(xì)桿，可繞過(guò)其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)，有一只小蟲(chóng)以速率

垂直落在距點(diǎn)O為

l/4

處，并背離點(diǎn)O

向細(xì)桿的端點(diǎn)A

爬行．設(shè)小蟲(chóng)與細(xì)桿的質(zhì)量均為m．問(wèn)：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，小蟲(chóng)應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?l/4O4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律76解蟲(chóng)與桿作為一個(gè)系統(tǒng)，碰撞前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律77轉(zhuǎn)動(dòng)后由角動(dòng)量定理考慮到4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律78以子彈和沙袋為系統(tǒng)動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能不守恒.討論子彈擊入沙袋細(xì)繩質(zhì)量不計(jì)4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理79子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能不守恒．角動(dòng)量守恒；動(dòng)量不守恒；4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理80圓錐擺圓錐擺系統(tǒng)動(dòng)量不守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能守恒．4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理81

例4一雜技演員M由距水平蹺板高為h

處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一端的演員N彈了起來(lái)．設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為

，蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，演員的質(zhì)量均為m．假定演員M落在蹺板上，與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞．問(wèn)演員N可彈起多高?ll/2CABMNh4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律82解碰撞前M落在

A點(diǎn)的速度碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律lll/2CABMNh83M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒ll/2CABMNh4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律84解得演員N以u(píng)起跳，達(dá)到的高度：END4-3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律85力的空間累積效應(yīng)：

力的功、動(dòng)能、動(dòng)能定理．力矩的空間累積效應(yīng)：

力矩的功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、動(dòng)能定理．4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理86力矩的功一力矩作功4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理87二力矩的功率比較三轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理88四剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理——?jiǎng)傮w繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理比較

4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理89例1

留聲機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞通過(guò)盤心垂直盤面的軸以角速率

作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．放上唱片后，唱片將在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)．設(shè)唱片的半徑為R，質(zhì)量為m，它與轉(zhuǎn)盤間的摩擦系數(shù)為

，求：(1)唱片與轉(zhuǎn)盤間的摩擦力矩；(2)唱片達(dá)到角速度

時(shí)需要多長(zhǎng)時(shí)間；(3)在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤的驅(qū)動(dòng)力矩做了多少功？4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理90Rrdrdlo解(1)

如圖取面積元ds

=

drdl，該面元所受的摩擦力為此力對(duì)點(diǎn)o的力矩為4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理91于是，在寬為dr的圓環(huán)上，唱片所受的摩擦力矩為Rrdrdlo4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理92

(3)

由

可得在0

到t的時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為

(2)

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律求

，(唱片J=mR2/2)（作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)）驅(qū)動(dòng)力矩做的功為由

可求得4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理9394例2

一長(zhǎng)為l

,質(zhì)量為m’

的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)．一質(zhì)量為m

、速率為v

的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為a

處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30o

.問(wèn)子彈的初速率為多少?解子彈、竿組成一系統(tǒng)，應(yīng)用角動(dòng)量守恒4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理95射入竿后，以子彈、細(xì)桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)，E=常量．END4-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理96Rhm'mm

和、分別為圓盤終了和起始時(shí)的角坐標(biāo)和角速度.

例3

一質(zhì)量為

、半徑為R

的圓盤，可繞一垂直通過(guò)盤心的無(wú)摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng).圓盤上繞有輕繩，一端掛質(zhì)量為m

的物體.問(wèn)物體在靜止下落高度h

時(shí)，其速度的大小為多少?設(shè)繩的質(zhì)量忽略不計(jì).

解拉力對(duì)圓盤做功，由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理可得，拉力的力矩所作的功為m4–4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理97物體由靜止開(kāi)始下落解得對(duì)物體m，由質(zhì)點(diǎn)功能定理m并考慮到圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)y98

例4

質(zhì)量為

m1和m2的兩物體A、B,分別懸掛在如圖所示的組合輪兩端。設(shè)兩輪的半徑分別為R

和r

，兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2

，輪與軸承間的摩擦力略去不計(jì)，繩的質(zhì)量也略去不計(jì)。試求兩物體的加速度和繩的張力。第四章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)A4–4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理99解：分別對(duì)兩物體及組合輪作受力分析，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的牛頓定律和剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有