2023高考真題24 三角形中基本量的計(jì)算問題

專題24三角形中基本量的計(jì)算問題

【高考真題】

1.(2022?全國乙理)記ABC的內(nèi)角國民C的對邊分別為a,b,c,已知$而。加0-8)=5118311。-4).

(1)證明:2a2=房+°2;

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(2)若a=5,cos4=不，求ABC的周長.

2.(2022?全國乙文)記，ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,匕，c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)若A=2B,求C；

(2)證明：2/=房+°2

3.(2022?北京)在ABC中，sin2C=73sinC.

⑴求“；

(2)若6=6,且.ABC的面積為66，求ABC的周長.

【知識總結(jié)】

1.正、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

。2=+。2_2bcCOSA；

內(nèi)容q=L=」=2R〃=/+次-2cacosB；

sinAsinBsinC

c1=a2+b2-2abeosC.

fesinAasinBtzsinC

⑴a-sinB，"sinA，LsinA；

,、、.asinB.?bsinA._csinA"+/一〃2

(2)sinA—b，sin8—〃,sinC—〃；

cosA—2bc；

(3)a=2RsinA,/?=2RsinB,c=2/?sinC；/+/一〃

變形cosB—2ac；

八.，。nb.「c

(4)sinA=礪，sin3=詆，smC=樂；

c°sC—2ah-

(5)。：b:c=sinA:sinB:sinC；

a+b+c

(6入由A+sinB+sinC

2.三角形面積公式

S\A8c=；a6sinC=3>csinA=%csin8=^'=T(a+6+c)”。,R為別是AABC內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑),

并可由此計(jì)算/?、八

3.解三角形有關(guān)的二級結(jié)論

(1)三角形內(nèi)角和定理

在AABC中，A+3+C=g變形：2~=2~~2,

(2)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

①sin(A+8)=sinC；②cos(A+8)=-cosC；③tan(A+8)=—lanC(C#5)；④sin--=cosg；⑤cos■--

=siny.⑥在非RtZXABC中，tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC(A,B,CW，).

(3)三角形中的不等關(guān)系

①在三角形中大邊對大角，大角對大邊.

?A>B<=>6z>/?<=?sin/l>sinB<=>cosA<cosB.

71__

③若為銳角三角形，貝！j4+3>],sinA>cosB,cosA<sinB,a2+h2>c1,若△ABC為鈍角三角形(假

兀

如C為鈍角)，貝ijA+8<5，sinA<cosB,cosA>sinB.

@c2=a2+b2^C為直角；c1>a2+h2<^C為鈍角；c2<a2+b2<^>C為銳角.

⑤a+b>c,b+c>a,c+a>b.

⑥若xG(0,。則sinx<x<tanx.若xG(0,野，則1<sinx+cos爛啦.

(4)三角形中的射影定理

在△ABC中，a—bcosC+ccosB；6=acosC+ccosA：c—bcosA+acosB.

注意：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.若出現(xiàn)邊的一

次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直

接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：

①若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”，然后進(jìn)行代數(shù)式變形；

②若式子中含有a,b,c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理''邊化角"，然后進(jìn)行三角恒等變換：

③若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”，然后進(jìn)行代數(shù)式變形：

④含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；

⑤同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角(或三個(gè)自由角)時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.

【方法總結(jié)】

三角形中基本量的計(jì)算問題主要考查正弦定理、余弦定理，最簡單的問題是只用正弦定理或余弦定理

即可解決.中等難度的問題要結(jié)合三角恒等變換再用正弦定理或余弦定理即可解決.難度較大的問題要結(jié)

合三角恒等變換并同時(shí)用正弦定理、余弦定理和面積公式才能解決.

【題型突破】

題型一計(jì)算三角形中的角或角的三角函數(shù)值

1.(2020?天津)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為小h,c.已知〃=2啦，b=5,c=y[V3.

(1)求角C的大??；

(2)求sinA的值；

⑶求sin(2A+；)的值.

2.(2019?全國I)AABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c.i5(sinfi-sinQ2-sin2A-sinBsinC.

⑴求4;

(2)若6a+b=2c,求sinC.

3.(2018?天津)在aABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知加inA=〃cos(B—/.

(1)求角8的大小；

(2)設(shè)a=2,c=3,求6和sin(24—8)的值.

4.在AASC中，角A,B,C所對的邊分別是a,匕，c,且空獰+型產(chǎn)=呼.

⑴證明：siriiAsinB=sinC；

(2)若kr+(r—cr=^bc,求tanB.

5.已知AABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為mb,c,cr+b2=Xab.

⑴若入=#,3=槃，求simA；

(2)若a=4,A3邊上的高為邛^,求C.

6.在△A5C中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c.已知〃sinA=4加in-ac=y[5(a2—h2—c2).

(1)求cosA的值；

(2)求sin(28—A)的值.

7.如圖，在四邊形ABCQ中，ZADB=45°,ZBAD=105°,AD=坐,BC=2,AC=3.

(1)求邊AB的長及cos/ABC的值；

(2)若記/48C=a,求sin(2a—的值.

8.(2020?江蘇)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=3,c=?8=45。.

⑴求sinC的值;

4

(2)在邊3c上取一點(diǎn)。，使得COSNAOC=-5，求tanNZMC的值.

9.(2021?新高考1)記△ABC的內(nèi)角A,B,9的對邊分別為9c已知廬=〃c,點(diǎn)。在邊AC上，BDsin

ZABC=asinC.

(1)證明：BD=b.

(2)若4￡)=2DC,求cosNABC.

10.從①cosB+cos3=0；@sin2A—sin2B+sin2C+sinAsinC=0；?b,cosC+(2?+c)cosB—0,這三個(gè)

條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.

在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，若,

⑴求B；

(2)若△ABC面積的最大值為害，求反

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

題型二計(jì)算三角形中的邊或周長

11.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c(l+cosB)=b(2—cosC).

(1)求證：2b=o+c；

(2)若8=率ZVIBC的面積為4小，求從

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12.在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且一^十一：-=,冒上.

a+ba+ca+b+c

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若+小，a=y[l5,求b的值.

13.(2017?全國U)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為小b,c,已知simA+OMgsin21.

⑴求cosB；

(2)若a+c=6,AABC的面積為2,求b.

14.在①3/=165+3(從一〃)，②“cosC+4c=5小這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫

線處，然后解答問題.

在△A2C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)△ABC的面積為S,已知.

⑴求tanB的值;

(2)若5=42,?=10,求匕的值.

(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)

15.如圖，在AABC中，AB=8,點(diǎn)。在邊BC上，且CZ)=2,cosZAZ)C=1.

(1)求sinZBAD,

(2)求BQ,AC的長.

16.在△4BC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinC+asinA=6sinB+csinC.

⑴求A；

(2)設(shè)￡＞是線段BC的中點(diǎn)，若c=2,AD=g,求a.

2

17.如圖，在△A3C中，AB=9,cosB=y點(diǎn)。在5c邊上，AD=7,N4O3為銳角.

A

BDC