（小白高考）新高考數(shù)學(xué)(零基礎(chǔ))一輪復(fù)習(xí)教案8.2《兩條直線的位置關(guān)系》 (教師版)

頁第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合斜率公式，判斷兩條直線平行或垂直，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合解方程組求兩條相交直線的交點坐標(biāo)，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．3．結(jié)合距離問題，考查距離公式的應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行：①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.(2)兩條直線垂直：①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝﹣1.②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2.2．兩條直線的交點的求法直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3．三種距離公式類型條件距離公式兩點間的距離點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)點到直線的距離點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩平行直線間的距離兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))[澄清盲點誤點]一、關(guān)鍵點練明1．(由平行關(guān)系求直線方程)過點(1,0)且與直線x﹣2y﹣2＝0平行的直線方程是()A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y＋1＝0C．2x＋y﹣2＝0D．x＋2y﹣1＝0解析：選A設(shè)直線方程為x﹣2y＋c＝0，又經(jīng)過點(1,0)，故c＝﹣1，所求直線方程為x﹣2y﹣1＝0.2．(點到直線的距離)已知點(a,2)(a>0)到直線l：x﹣y＋3＝0的距離為1，則a等于()A.eq\r(2)B．2﹣eq\r(2)C.eq\r(2)﹣1D.eq\r(2)＋1解析：選C由題意知eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，∴|a＋1|＝eq\r(2)，又a>0，∴a＝eq\r(2)﹣1.3．(點關(guān)于線對稱)點(a，b)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對稱點是()A．(﹣a﹣1，﹣b﹣1)B．(﹣b﹣1，﹣a﹣1)C．(﹣a，﹣b)D．(﹣b，﹣a)解析：選B設(shè)對稱點為(x′，y′)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y′－b,x′－a)×－1＝－1，,\f(x′＋a,2)＋\f(y′＋b,2)＋1＝0，))解得x′＝﹣b﹣1，y′＝﹣a﹣1.4．(兩直線的交點)過兩直線l1：x﹣3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點和原點的直線方程為__________．解析：過兩直線交點的直線系方程為x﹣3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原點坐標(biāo)，求得λ＝﹣eq\f(4,5)，故所求直線方程為x﹣3y＋4﹣eq\f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.答案：3x＋19y＝0二、易錯點練清1．(忽視兩平行直線系數(shù)不一致)平行線3x＋4y﹣9＝0和6x＋8y＋2＝0的距離是()A.eq\f(8,5)B．2C.eq\f(11,5)D.eq\f(7,5)解析：選B依題意得，所求的距離等于eq\f(|－18－2|,\r(62＋82))＝2.2．(忽視兩直線重合)若直線l1：x＋y﹣1＝0與直線l2：x＋a2y＋a＝0平行，則實數(shù)a＝________.解析：因為直線l1的斜率k1＝﹣1，l1∥l2，所以a2＝1，且a≠﹣1，所以a＝1.答案：13．(忽視平行關(guān)系的直線斜率不存在)已知直線(m＋1)x＋(2m﹣1)y＝3與(3m﹣1)x﹣(2m2﹣11m＋5)y＝5平行，則實數(shù)m的值為________．解析：當(dāng)m≠eq\f(1,2)時，由直線平行可知eq\f(m＋1,3m－1)＝eq\f(2m－1,－2m2－11m＋5)≠eq\f(3,5)，解得m＝﹣2或m＝3，當(dāng)m＝eq\f(1,2)時，兩條直線都垂直于x軸也符合．故m＝eq\f(1,2)或m＝﹣2，或m＝3.答案：eq\f(1,2)，﹣2,3考點一兩直線的平行與垂直[典題例析](1)(多選)直線l1：x＋my﹣1＝0，l2：(m﹣2)x＋3y＋1＝0，則下列說法正確的是()A．若l1∥l2，則m＝﹣1或m＝3B．若l1∥l2，則m＝﹣1C．若l1⊥l2，則m＝﹣eq\f(1,2)D．若l1⊥l2，則m＝eq\f(1,2)(2)已知直線l1：mx＋y﹣1＝0與直線l2：(m﹣2)x＋my﹣2＝0，則“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的()A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件(3)已知經(jīng)過點A(﹣2,0)和點B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過點P(0，﹣1)和點Q(a，﹣2a)的直線l2互相垂直，則實數(shù)a的值為________．[解析](1)∵l1∥l2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mm－2＝3，,m－2≠－1，))解得m＝﹣1或m＝3，經(jīng)檢驗符合題意，∴A正確．∵l1⊥l2，∴(m﹣2)×1＋3m＝0，解得m＝eq\f(1,2)，∴D正確．(2)由l1⊥l2，得m(m﹣2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件，故選A.(3)l1的斜率k1＝eq\f(3a－0,1－－2)＝a.當(dāng)a≠0時，l2的斜率k2＝eq\f(－2a－－1,a－0)＝eq\f(1－2a,a).因為l1⊥l2，所以k1k2＝﹣1，即a·eq\f(1－2a,a)＝﹣1，解得a＝1.當(dāng)a＝0時，P(0，﹣1)，Q(0,0)，這時直線l2為y軸，A(﹣2，0)，B(1,0)，直線l1為x軸，顯然l1⊥l2.綜上可知，實數(shù)a的值為1或0.[答案](1)AD(2)A(3)1或0[方法技巧]由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0l1與l2平行的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1與l2相交的充分條件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1與l2重合的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)[提醒]當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．[針對訓(xùn)練]1．“直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y﹣2＝0平行”是“m＝2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B若l1∥l2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mm＋1＝6，,4m≠2×－2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－6＝0，,m≠－1，))解得m＝﹣3或2.因此“直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y﹣2＝0平行”是“m＝2”的必要不充分條件．2．已知直線l1：mx＋y＋4＝0和直線l2：(m＋2)x﹣ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，則eq\f(m,n)的取值范圍為________．解析：因為l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(﹣n)＝0，得n＝m2＋2m，因為m＞0，所以eq\f(m,n)＝eq\f(m,m2＋2m)＝eq\f(1,m＋2)，則0＜eq\f(1,m＋2)＜eq\f(1,2)，故eq\f(m,n)的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))3．若直線l1：x＋2my﹣1＝0與l2：(3m﹣1)x﹣my﹣1＝0平行，則實數(shù)m的值為________．解析：因為直線l1：x＋2my﹣1＝0與l2：(3m﹣1)x﹣my﹣1＝0平行，則斜率相等或者斜率不存在，﹣eq\f(1,2m)＝eq\f(3m－1,m)或者m＝0，所以m＝eq\f(1,6)或0.答案：0或eq\f(1,6)考點二兩直線的交點與距離問題[典例](1)經(jīng)過兩條直線l1：x＋y﹣4＝0和l2：x﹣y＋2＝0的交點，且與直線2x﹣y﹣1＝0垂直的直線方程為________________.(2)直線l過點P(﹣1,2)且到點A(2,3)和點B(﹣4,5)的距離相等，則直線l的方程為________________．[解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))∴l(xiāng)1與l2的交點坐標(biāo)為(1,3)．設(shè)與直線2x﹣y﹣1＝0垂直的直線方程為x＋2y＋c＝0，則1＋2×3＋c＝0，∴c＝﹣7.∴所求直線方程為x＋2y﹣7＝0.(2)法一：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y﹣2＝k(x＋1)，即kx﹣y＋k＋2＝0.由題意知eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k﹣1|＝|﹣3k﹣3|，∴k＝﹣eq\f(1,3)，∴直線l的方程為y﹣2＝﹣eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y﹣5＝0.當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝﹣1，也符合題意．法二：當(dāng)AB∥l時，有k＝kAB＝﹣eq\f(1,3)，直線l的方程為y﹣2＝﹣eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y﹣5＝0.當(dāng)l過AB中點時，AB的中點為(﹣1,4)，∴直線l的方程為x＝﹣1.故所求直線l的方程為x＋3y﹣5＝0或x＝﹣1.[答案](1)x＋2y﹣7＝0(2)x＋3y﹣5＝0或x＝﹣1[方法技巧]1．求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．2．利用距離公式解題的注意點(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0﹣a|，到直線y＝b的距離d＝|y0﹣b|；(2)應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為相等．[針對訓(xùn)練]1．點(0，﹣1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析：選B法一：由點到直線的距離公式知點(0，﹣1)到直線y＝k(x＋1)的距離d＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(k2＋2k＋1,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1)).當(dāng)k＝0時，d＝1；當(dāng)k≠0時，d＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))，要使d最大，需k>0且k＋eq\f(1,k)最小，∴當(dāng)k＝1時，dmax＝eq\r(2)，故選B.法二：設(shè)點A(0，﹣1)，直線l：y＝k(x＋1)，由l過定點B(﹣1,0)，知當(dāng)AB⊥l時，距離最大，最大值為eq\r(2).2．若直線l與兩直線y＝1，x﹣y﹣7＝0分別交于M，N兩點，且MN的中點是P(1，﹣1)，則直線l的斜率是()A．﹣eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)C．﹣eq\f(3,2)D.eq\f(3,2)解析：選A由題意，設(shè)直線l的方程為y＝k(x﹣1)﹣1，分別與y＝1，x﹣y﹣7＝0聯(lián)立，解得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)＋1，1))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k－6,k－1)，\f(－6k＋1,k－1)))，又因為MN的中點是P(1，﹣1)，由中點坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\f(2,k)＋1＋\f(k－6,k－1),2)＝1，,\f(1＋\f(－6k＋1,k－1),2)＝－1，))解得k＝﹣eq\f(2,3).3．已知l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，﹣1)兩點的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是__________．解析：當(dāng)直線AB與l1，l2垂直時，l1，l2間的距離最大．因為A(1,1)，B(0，﹣1)，所以kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以兩平行直線的斜率k＝﹣eq\f(1,2)，所以直線l1的方程是y﹣1＝﹣eq\f(1,2)(x﹣1)，即x＋2y﹣3＝0.答案：x＋2y﹣3＝0eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．若直線ax＋2y＋1＝0與直線x＋y﹣2＝0互相垂直，那么a的值等于()A．1B．﹣eq\f(1,3)C．﹣eq\f(2,3)D．﹣2解析：選D由a×1＋2×1＝0得a＝﹣2.故選D.2．設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y﹣1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A若兩直線平行，則a(a＋1)＝2，即a2＋a﹣2＝0，∴a＝1或﹣2，故a＝1是兩直線平行的充分不必要條件．3．已知A(4，﹣3)關(guān)于直線l的對稱點為B(﹣2,5)，則直線l的方程是()A．3x＋4y﹣7＝0B．3x﹣4y＋1＝0C．4x＋3y﹣7＝0D．3x＋4y﹣1＝0解析：選B由題意得AB的中點C為(1,1)，又A，B兩點連線的斜率為kAB＝eq\f(5＋3,－2－4)＝﹣eq\f(4,3)，所以直線l的斜率為eq\f(3,4)，因此直線l的方程為y﹣1＝eq\f(3,4)(x﹣1)，即3x﹣4y＋1＝0.故選B.4．直線3x﹣4y＋5＝0關(guān)于x軸對稱的直線的方程是()A．3x＋4y＋5＝0B．3x＋4y﹣5＝0C．﹣3x＋4y﹣5＝0D．﹣3x＋4y＋5＝0解析：選A在所求直線上任取一點P(x，y)，則點P關(guān)于x軸的對稱點P′(x，﹣y)在已知的直線3x﹣4y＋5＝0上，所以3x﹣4(﹣y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，故選A.5．已知點P(4，a)到直線4x﹣3y﹣1＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是()A．[﹣10,10]B．[﹣10,5]C．[﹣5,5]D．[0,10]解析：選D由題意得，點P到直線的距離為eq\f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq\f(|15－3a|,5).又eq\f(|15－3a|,5)≤3，即|15﹣3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范圍是[0,10]．6．經(jīng)過直線3x﹣2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點，且平行于直線x﹣y＋4＝0的直線方程為__________．解析：過兩直線交點的直線方程可設(shè)為3x﹣2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ﹣2)y＋4λ＋1＝0，它與直線x﹣y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ﹣2＝0，λ＝﹣eq\f(1,4)，故所求直線為x﹣y＝0.答案：x﹣y＝0二、綜合練——練思維敏銳度1．直線2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能確定解析：選C直線2x＋y＋m＝0的斜率k1＝﹣2，直線x＋2y＋n＝0的斜率k2＝﹣eq\f(1,2)，則k1≠k2，且k1k2≠﹣1.故選C.2．三條直線l1：x﹣y＝0，l2：x＋y﹣2＝0，l3：5x﹣ky﹣15＝0構(gòu)成一個三角形，則k的取值范圍是()A．k∈RB．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠﹣10D．k∈R且k≠±5，k≠1解析：選C由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3得k＝﹣5；由x﹣y＝0與x＋y﹣2＝0得x＝1，y＝1，若(1,1)在l3上，則k＝﹣10.故若l1，l2，l3能構(gòu)成一個三角形，則k≠±5且k≠﹣10.故選C.3．(多選)已知直線l1：2x＋3y﹣1＝0和l2：4x＋6y﹣9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為()A．2x＋3y﹣8＝0B．4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y﹣10＝0D．12x＋18y﹣13＝0解析：選BD設(shè)直線l：4x＋6y＋m＝0，m≠﹣2且m≠﹣9，直線l到直線l1和l2的距離分別為d1，d2，由題知：d1＝eq\f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36)).因為eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝﹣eq\f(13,3)，即直線l為4x＋6y＋5＝0或12x＋18y﹣13＝0.4．若直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)與直線l2：2x＋6y﹣3＝0的距離為eq\r(10)，則m＝()A．7B.eq\f(17,2)C．14D．17解析：選B直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因為它與直線l2：2x＋6y﹣3＝0的距離為eq\r(10)，所以eq\f(|2m＋3|,\r(4＋36))＝eq\r(10)，求得m＝eq\f(17,2).5．直線ax＋y＋3a﹣1＝0恒過定點M，則直線2x＋3y﹣6＝0關(guān)于M點對稱的直線方程為()A．2x＋3y﹣12＝0B．2x﹣3y﹣12＝0C．2x﹣3y＋12＝0D．2x＋3y＋12＝0解析：選D由ax＋y＋3a﹣1＝0，可得a(x＋3)＋(y﹣1)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝﹣3，y＝1，所以M(﹣3,1)，M不在直線2x＋3y﹣6＝0上，設(shè)直線2x＋3y﹣6＝0關(guān)于M點對稱的直線方程為2x＋3y＋c＝0(c≠﹣6)，則eq\f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq\f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝﹣6(舍去)，所以所求方程為2x＋3y＋12＝0，故選D.6．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n等于()A.eq\f(34,5)B.eq\f(36,5)C.eq\f(28,3)D.eq\f(32,3)解析：選A由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x﹣3，它也是點(7,3)與點(m，n)連線的中垂線，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5).7．已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標(biāo)分別是(﹣4,2)，(3,1)，則點C的坐標(biāo)為()A．(﹣2,4)B．(﹣2，﹣4)C．(2,4)D．(2，﹣4)解析：選C設(shè)A(﹣4,2)關(guān)于直線y＝2x的對稱點為A′(x，y)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))即A′(4，﹣2)，∴直線A′C即BC所在直線的方程為y﹣1＝eq\f(－2－1,4－3)(x﹣3)，即3x＋y﹣10＝0.又知點C在直線y＝2x上，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4