充分條件與必要條件 講義 高一上學期初高中數學銜接

1.4充分條件與必要條件第6講、1.4.1充分條件與必要條件知識點一、命題和命題的形式問題1、下列陳述語句分別用哪些語言表述，它們能否中能否判斷真假？(1)若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；(2)若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；(3)若x2－４x＋３＝０，則x＝l；(4)若平面內兩條直線a和b均垂直于直線l，則a∥b；(5)蔡徐坤很會打籃球；(6)天空的星星不說話．問題2、問題1中的命題都有什么樣的相同形式？知識梳理知識梳理命題：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．命題的真假：判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題．命題的形式：命題一般可以寫成“若p，則q”“如果p，那么q”等形式．其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結論．知識點二、充分條件與必要條件例1、請判斷下列命題的真假，并將它們化成“若p，則q”的形式嗎，指出其條件p和結論q．(1)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(3)兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

【跟蹤訓練】請將下列命題化成“若p，則q”的形式嗎？指出其條件p和結論q．(1)平行四邊形的兩組對邊分別相等；(2)平行四邊形的一組對邊平行且相等；(3)平行四邊形的兩條對角線互相平分．問題3、上述命題中的真假是什么？這種類似的性質反映什么數學知識？問題4、我們說q是p的必要條件，是指由條件p可以推出結論q，結合例1你認為能推出結論q的條件p唯一嗎？這反映什么的數學知識？問題5、我們說p是q的充分條件，是指由條件p可以推出結論q，結合【跟蹤訓練】你認為能推出條件p只能推出結論q嗎？這反映什么的數學知識？知識梳理知識梳理充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關系p?qp?q條件關系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件定理關系數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件注意點：(1)前提p?q，有方向，條件在前，結論在后．(2)若p?q，則“p是q的充分條件”或“q是p的必要條件”，或“q的充分條件是p”或“p的必要條件是q”.(3)充分、必要條件不唯一．

例2、下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？（１）若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；（２）若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；（３）若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；舉反例是判斷一個命題是假命題的重要方法．（４）若x２＝１，則x＝1；舉反例是判斷一個命題是假命題的重要方法．（５）若a＝b，則ac＝bc；（６）若x,y為無理數，則xy為無理數【跟蹤訓練】指出下列哪些命題中p是q的充分條件？①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0；③已知x∈R，p：x>1，q：x>2.例3、下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的必要條件？（１）若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；（２）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；（３）若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形；（４）若x＝1，則x２＝１；（５）若ac＝bc，則a＝b；（６）若xy為無理數，則x,y為無理數【跟蹤訓練】指出下列哪些命題中q是p的必要條件？①p：一個四邊形是矩形，q：四邊形的對角線相等；②p：A?B，q：A∩B＝A；③p：a>b，q：ac>bc.反思感悟反思感悟充分、必要條件的判斷方法(1)定義法：把p，q轉化成命題，判斷其真假；(2)集合法：也可利用集合的關系判斷，如果條件甲“x∈A”，條件乙“x∈B”．若A?B，則甲是乙的充分條件，同時乙是甲的必要條件．知識點三、充分條件與必要條件的應用例4、已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分條件為Q，求實數m的取值范圍．【延伸探究】已知集合P＝{x|－2<x<1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的必要條件為Q，求實數m的取值范圍．反思感悟反思感悟充分條件與必要條件的應用技巧(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．(2)求解步驟：①先把p，q等價轉化，②利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．跟蹤訓練2已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實數a的取值范圍是________．【隨堂檢測】1．若p是q的充分條件，則q是p的()A．充分條件B．必要條件C．既不是充分條件也不是必要條件D．既是充分條件又是必要條件2．“四邊形的四條邊相等”是“四邊形是正方形”的()A．充分條件B．必要條件C．既不是充分條件也不是必要條件D．既是充分條件又是必要條件3．(多選)下列不等式中，可以作為“－1<x<1”的充分條件的有()A．x<1B．0<x<1C．－1<x<0D．－1<x<14．若“x>1”是“x>a”的充分條件，則a的取值范圍是________．【課后訓練】1．下列命題中，p是q的充分條件的是()A．p：ab≠0，q：a≠0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：eq\r(a)>eq\r(b)2．使x>1成立的一個必要條件是()A．x>0B．x>3C．x>2D．x<23．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|x≤0或x≥5}，則“x∈P”是“x∈?RQ”的()A．充分條件B．必要條件C．既不是充分條件也不是必要條件D．既是充分條件又是必要條件4．下列“若p，則q”形式的命題中，滿足p是q的充分條件的是()A．若平面內點P在線段AB的垂直平分線上，則PA＝PBB．若x>y，則x2>y2C．若x是無理數，則x2也是無理數D．若x2>y2，則x>y5．(多選)下列說法不正確的是()A．“x>5”是“x>4”的充分條件B．“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分條件C．“－2<x<2”是“x<2”的必要條件D．x2－3x＋2≠0是x≠1的必要條件6．(多選)使ab>0成立的充分條件是()A．a>0，b>0B．a＋b>0C．a<0，b<0D．a>1，b>17．設集合A＝{1,2}，(1)請寫出一個集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的充分條件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要條件；(2)請寫出一個集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的必要條件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分條件．8．條件p：2－x>0，條件q：x<a，若p是q的充分條件，則a的取值范圍是________．9．指出下列命題中，p是q的什么條件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝eq\r(2x＋1)；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.

10．已知集合A＝{x|－3≤x<4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．(1)當m＝1時，求A∩(?RB)；(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求實數m的取值范圍．11．已知集合A＝{3，m}，B＝{1,3,5}，則m＝1是A?B的()A．充分條件B．必要條件C．既不是充分條件也不是必要條件D．既是充分條件又是必要條件12．設x，y是兩個實數，命題：“x，y中至少有一個數大于1”的充分條件是()A．x＋y＝2B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>113．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠?”的充分條件，則實數b的取值范圍是()A．{b|－2≤b<0}B．{b|0<b≤2}C．{b|－2<b<2}D．{b|－2≤b≤2}