二水平正交飽和設(shè)計的統(tǒng)計分析

二水平正交飽和設(shè)計的統(tǒng)計分析

為了提高產(chǎn)品的質(zhì)量和產(chǎn)量，我們需要進(jìn)行不同的試驗。然而在做具體的研究試驗,特別是工業(yè)試驗和醫(yī)學(xué)試驗時,由于經(jīng)費、試驗條件等方面的原因,做試驗的次數(shù)受到很大程度的限制,無重復(fù)試驗就變得很重要。一種廣泛應(yīng)用于篩選試驗的設(shè)計是二水平正交飽和設(shè)計。1傳統(tǒng)的統(tǒng)計模型水平正交表Ln(2m)(m=n-1)安排試驗的飽和設(shè)計通常用如下的線性統(tǒng)計模型來描述:yi=m∑j=0βjχij+εi；i=1,2,?,n.(1)yi=∑j=0mβjχij+εi；i=1,2,?,n.(1)未知參β=(β0,β1,…,βm)T的最小二乘估計為:?β=(∑ni-1xi0yin,∑ni-1xi1yin,??∑ni-1ximyin)Τ.(2)β?=(∑ni?1xi0yin,∑ni?1xi1yin,??∑ni?1ximyin)T.(2)且由高斯-馬爾可夫定理知:?β~Ν(βi,τ2),τ2=σ2n,j=0,1,2,?,m.(3)β?~N(βi,τ2),τ2=σ2n,j=0,1,2,?,m.(3)且?β0,?β1,?,?βmβ?0,β?1,?,β?m是相互獨立的隨機變量。對此飽和設(shè)計而言,模型(0-1)的總平方和SST與各列平方和SSj(j=1,…,m)之間滿足:SST=SS1+…+SSm,SSj=(∑ni=1ximyi)2n=n?β2j,j=1,?,m.(4)其中,SST的自由度為n-1,SSj(j=1,…,m)的自由度為1。但由于不再有剩余的自由度可用于誤差的估計。所以,無法再用通常的方差分析來對因子進(jìn)行顯著性檢驗。即:利用n個觀測值y1,y2,…,yn借助某個方法來判斷,在m個效應(yīng)中哪些效應(yīng)是顯著的。即考慮如下的假設(shè)檢驗問題:Ηjo∶βj=0vsΗj1∶βj≠0?j=1,2,?,m.(5)對二水平的正交飽和設(shè)計的分析方法,經(jīng)過40多年眾多學(xué)者的努力研究,至今己形成了豐富的內(nèi)容,主要可分為圖形法和數(shù)值分析法兩大類。2已有方法回顧己有的方法有圖形法和數(shù)值分析法。圖形法中主要以半正態(tài)圖法為重點,然而應(yīng)用半正態(tài)圖法簡便直觀,但結(jié)果不會很精確。人為因素很大,故在要求精確度較高時,一般應(yīng)用數(shù)值分析法。數(shù)值分析法以Lenth方法,MaxUr法和零效應(yīng)搜索法為典型。本文根據(jù)每種數(shù)值分析法的原理總結(jié)出各種方法的檢驗步驟如下。2.1Lenth檢驗的具體步驟(1)由(0-2)計算出所有效應(yīng)的估計?β0,?β1,?β2,?,?βm;(2)計算S0=1.5×(|?βj|?j=1,2,?,m);(3)計算PSE=15×(計算的中位數(shù));(4)計算SME=cα;m×PSE;(5)判斷:|?βj|＞SΜE的βj易相應(yīng)的因子被認(rèn)為是顯著性因子。其中,臨界值Cα;m可參見文獻(xiàn)。2.2MaxUr檢驗顯著性因子的步驟(1)根據(jù)專業(yè)知識和先驗信息確定r的值,這里r是不等于o的βj個數(shù)的上界的一個估計量;(2)計算統(tǒng)計量MaxUr的值;其中:ΜaxUr=max1≤k≤r(u(k)).(6)u(k)=Fk,(m-k)[∑mj=m-k+1|?β|2(j)/k∑m-kj=1|?β|2(j)/(m-k)]=Fk,(m-k)[絕對值最大的k個?βj的均方絕對值最小的m-k個?βj的均方]?k=1,2,?,r.(7)這里,|?β|(1)≤|?β|(2)≤?≤|?β|(m)是|?β1|,|?β2|??,|?βm|次序統(tǒng)計量;(3)據(jù)給定的顯著性水平α,確定臨界值Cα;m,r;(4)若MaxUr>Cα;m,r,則拒絕H0并轉(zhuǎn)第五步;否則接受H0。其中臨界值Cα;m,r可在文獻(xiàn)的附表中查得;(5)確定滿足下式的k*,u(k*)=max1≤k≤r(u(k))并將k*個絕對值最大的?βj所對應(yīng)的因子判定為顯著的。2.3零效應(yīng)搜索法的檢驗步驟(1)首先由觀測值y1,…,yn利用(2)算得?βj,由(4)算得SSj(1≤j≤m);(2)計算Ws(3≤s≤m),Ws=Gs/σ4Μs/σ4=GsΜs.(8)Gs=1s-1s-1∑r=1Κr.(9)Κr=(r?ur+1;s+(s-r)?ur;s-s?ur;s-1)2=(rξr+1+(s-r)ξr-s?12(ξr+1+ξr))2=(r-s2)2(ξr+1-ξr)2,r=1,2,?,s-1.(10)Μs=(ζ1+ζ2+?+ζ8s)2.(11)ξr=SSr;m,r=1,…,s是SSj(1≤j≤m)的次序計量SS1;m≤SS2;m≤…≤SSm;m的前s個平方和;(3)對給定的顯著性水平α,我們可以按s由小到大的順序比較每對Ws,Ws,α(3≤s≤m)的大小,若滿足Ws>Ws,α的最小s=q+1,則零效應(yīng)個數(shù)就是q;(4)利用tj=√n?βj√SSe/q,j=jq+1,?,jn-1.(12)其中:SSe=SS1;m+…+SSq;m,其中自由度為q。進(jìn)一步檢驗|tj|>t1-α/2(q),當(dāng)時,拒絕Hj0,即認(rèn)為βj是顯著的非零效應(yīng)。3本文解決的問題現(xiàn)在考慮一個基于L16(215)的二水平的正交飽和設(shè)計,共有15個因子,對應(yīng)的模型為:y=β0+β1χ1+β2χ2+…+β15χ15+ε,其中ε～N(0,1),我們先用SAS的Rannor函數(shù)產(chǎn)生16個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機數(shù):ε1,ε2,…,ε16,記:ε=(ε1,ε2,…,ε16)T,再按上述模型得觀測值向量y=(y1,y2,…,y16)T=(116,X)β+ε,假設(shè)其真實效應(yīng)非零的因子是2個,5個,8個,12個時,我們分別用以上三種數(shù)值分析方法進(jìn)行分析比較如下。假設(shè)其真實效應(yīng)非零的因子是2個,分別是:β2=2,β3=7,而β0=β1=β4=…=β15=0上述模型的觀測值向量y1～y16分別是:10.3118,8.3360,9.5410,11.0420?-7.5608?-8.0953?-8.4466?-9.3516,-5.8022?-5.2951?-4.3613?-6.8486,4.8840,5.6832,5.0480,6.24763。另外各個效應(yīng)的最小二乘估計?βj,j=1,2,?,15分別是:0.38881,1.78218,7.30344?-0.02557,0.05143?-0.20228?-0.30739,0.11848,0.12082,0.18841?-0.30897,0.03202,0.35627,0.02828,0.45263。(1)用Lenth方法分析。由(3)式可以求得:?Τ=ΡSE=0.282615,從而有?σ=16?Τ2=1.27794。又知C0.05;15=4.24,故SME=4.24×0.282615=1.19829。可見顯著性水平為0.05時,可以判別顯著因子為:因子2和因子3,與真實的顯著性因子是一致的。?σ的估計很好;(2)用MaxUr方法分析。因為一般情況下,事先不知真實的非零效應(yīng)個數(shù)的上界的值,故這里,取14,顯著性水平取α=0.05,計算結(jié)果見表1。從表中可判斷顯著性因子有12個,分別是:因子3,2,15,1,13,11,7,6,10,9,8,5。由此可見在真實因子較少,而r取值較大時,用MaxUr方法判斷出的顯著性因子與真實的顯著性因子的個數(shù)相去甚遠(yuǎn)。此時,用該方法犯第一類錯誤的幾率很大;(3)用零效應(yīng)搜索法檢驗。對其進(jìn)行零效應(yīng)搜索,在α取0.05時,零效應(yīng)個數(shù)q=13。非零效應(yīng)的個數(shù)為2,分別是因子2和因子3。再由t-統(tǒng)計量進(jìn)行檢驗,注意到在顯著性水平α=005下,t1-0.05/2(7)=2.365,觀察可知,因子2,3的確是顯著的。σ得到的σ=1估計為?σ=0.3560?這是比較滿意的。從此可見:在顯著性因子稀少(占總效應(yīng)個數(shù)的13.3%)時,應(yīng)用Lenth方法和零效應(yīng)搜索法的結(jié)果與實際情況相吻合。且對σ的估計也很好。而用MaxUr方法在:取值大時得到的顯著因子與真實的顯著因子的個數(shù)相差很大。故在真實效應(yīng)較少時,不建議用MaxUr方法來判別顯著性因子。當(dāng)真實效應(yīng)因子為5,8,12個時,應(yīng)用同樣的方法模擬100次分析所得的結(jié)果可得出如下結(jié)論:(1)Lenth方法適用于顯著因子較少(不多于總因子數(shù)的40%)的場合,隨著顯著因子個數(shù)的增加,其檢驗效率逐漸降低。當(dāng)顯著性因子多于全部因子數(shù)的一半時,它常常無法檢出任何顯著性因子;(2)用Lenth方法中估計τ的PSE來估計δ2時,在顯著因子較多的情況下,效果很差。用模擬100次的結(jié)果顯示,當(dāng)顯著因子的個數(shù)小于總因子數(shù)的40%時,用Lenth的方法,能夠有效地將顯著因子判定出來,借助于PSE算出的?σ2的均值比較滿意。但是當(dāng)顯著因子的個數(shù)多于總因子個數(shù)的一半時,用Lenth的方法凡乎不能選出任何顯著因子,同時對應(yīng)的?σ2的估計也特別大,均值達(dá)到73.7494,標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到37.9218。這也說明,Lenth方法能夠有效的解決顯著因子較少的2水平正交飽和設(shè)計問題,但是隨著顯著因子的增加,檢驗效率逐漸降低。當(dāng)顯著性因子多于全部因子數(shù)的一半時,它常常無法檢出任何顯著性因子。因此需要別的方法來解決。事實上,雖說在試驗的篩選階段效應(yīng)稀疏原理經(jīng)常是成立的,但又不是總是成立的。如果有太多的顯著因子(比如說多于總因子個數(shù)的50%),大多數(shù)基于效應(yīng)稀疏原理的直接的方法都會對誤差的估計偏大(overestimate),從而導(dǎo)致將顯著因子誤判為非顯著因子。如果遺漏了重要因子,將會導(dǎo)致優(yōu)化過程中的失敗,因此在試驗的篩選階段最重要的是要將所有的真正顯著的因子找出來。這也說明在篩選階段我們應(yīng)該謹(jǐn)慎使用那些僅在效應(yīng)稀疏原理假設(shè)下才適合使用的方法,一旦效應(yīng)稀疏原理不再成立,大多數(shù)依賴于這一假設(shè)的方法將失去使用的價值。用MaxUr方法判斷顯著效應(yīng)因子時,犯第二類錯誤的凡率很小,但是誤將零效應(yīng)因子判別為顯著因子的概率很大。因而應(yīng)用MaxUr方法只能找出顯著性因子的大概范圍,在要求確切的顯著因子時,不能用此方法。況且通過模擬發(fā)現(xiàn)MaxUr方法在顯著性因子的個數(shù)不大于11時,誤判顯著性因子為非顯著性因子的概率很小。而在顯著性因子不小于12時,檢驗效率很低,除非有一些顯著性因子的真實值很大,否則基本上找不出任何顯著性因子,這時誤判顯著性因子為非顯著性因子的概率很大。對于零效應(yīng)搜索法,模擬計算的結(jié)果顯示,如果只是利用零效應(yīng)搜索法來確定哪些效應(yīng)是顯著的,結(jié)果如下:有470次正好選出所有真正顯著的因子,有165次誤將一個不顯著的因子判定為顯著的,104次誤判2個,60次誤判3個,9次誤判4個,7次誤判5個,53次誤判6個,42次誤判7個,有3次會將顯著的因子漏掉。為了更為精確的選出真正顯著的因子,可以借助于本文提到的統(tǒng)計量進(jìn)行改