2022年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷·第一輯（解析版） (二)

備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)【名校地市好題必刷】全真模擬卷(新

高考)

第三模擬

(試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘)

姓名班級(jí)考號(hào)

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名'考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.

1.設(shè)集合4={和2-2》_320},B={X\-2<X<2\,則4口3=()

A.1x|-l<x<2}B.{x|l<x<2}

C.1x|-2<x<1|D.|x|—2<x<—1|

【答案】D

【詳解】

因?yàn)锳=1A-|X2-2x-3>o|=u[3,+8),8={x[-2<2},

所以AnB={R—2<x4—1}

故選：D

2.若復(fù)數(shù)z滿足zQ+i)=2i,則z的虛部為()

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】C

【詳解】

._2i2i(l-i)

;復(fù)數(shù)z滿足方程z(l+i)=2i,.?z=-----=l+i

l+i(l+i)(l-i)

，z的虛部為1.

故選：C.

3.已知正四棱錐尸-ABC。的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，且正四棱錐P-A3C￡>的底面面

積為6,側(cè)面積為64，則球。的體積為（)

.3228幣,125125G

A.---7CB.--------7TC.-----71D.---------

3344

【答案】A

【詳解】

設(shè)底面邊長(zhǎng)為“，側(cè)棱長(zhǎng)為6，

因?yàn)榈酌婷娣e為6,所以/=6,得“=#,

因?yàn)閭?cè)面積為6J7,

所以4xgx卜二’等x底=6幣,解得6=2石，

連接AC,BD交于點(diǎn)01,連接P&,則可得PQL平面ABC。，，

所以四棱錐尸—A8CD的高PQ=412-3=3,

點(diǎn)。在連接。4,設(shè)球的半徑為K,則

R?=（3-R/+（百打，解得R=2,

44X）TT

所以球。的體積為ya=］萬x23=子，

故選：A

4.已知sin（z-a）+sin（工一a）=，,且aw（O,；r）,則tan（c+&）=（）

254

【答案】A

【詳解】

41/1

由sinQr-a)+sin(----a)=—,可得sina+cosa=—,

124

兩邊平方得l+2sinacosa=可得2sinacosa=-不<0,

25

因?yàn)椤！辏?,萬），所以sina>。,cosavO,所以sina-cosa>0,

224497

所以(sina-cosa)~=1-(--)=—,所以sina+cosa=—

43sina4

聯(lián)立方程組，可得sigysaF，所以tana===-3,

7t」

tana+tan一1

所以tan(a+￡)=---------------3J

4171

1-tancrtan—7

43

故選：A.

5.設(shè)雙曲線E：1-與=13>0/>0）的離心率為0,直線/過點(diǎn)（0向和雙曲線￡的一個(gè)焦點(diǎn),

b~

若直線/與圓/+），2=/相切，則《2=（）

.3+逐口73+5_73+5n3+亞

3322

【答案】D

【詳解】

不妨設(shè)直線/右焦點(diǎn)廠9,0）,則直線/的方程為土+；=1,^bx+cy-bc=O,

cb

山直線/與圓/+丁=〃2相切，且^=02-/

0+0—?dú)v

可得?整理得62c2=/（/+,2）即（/-a2）c2=a2（2c2-a2）,

即04一3/02+/=0,可得（￡）4-3（與2+1=0,BP（？-1）2=|,

aa24

解得/=史~［或/=土避，

22

因?yàn)閑>l，可得/>1,所以《2=212叵.

2

故選：D.

6.〃x）=sin（2x+°）+acos（2x+0）（a>0,0<0<萬）最大值為2,滿足〃力=,則

9=（）

71C2萬一九f5萬r"T24

AA.-B.—C.z或2D.彳或T

636633

【答案】B

【詳解】

因?yàn)?（X）=sin（2x+°）+“cos（2x+0）=VTr?sin（2x+0+9）最大值為2,

所以J1+=2,

解得〃=A/3,

又因?yàn)椤?/6-,，

所以“X）的圖象關(guān)于X=（對(duì)稱，

所以/任卜皿（尹4）+百cos（5+4

=cos°-Gsin°=2sin［°-'J=±2,

TT7T

所以。一二=fcr+彳，keZ,

o2

即4="%+與，4eZ,

因?yàn)?v。<乃，

所以。=,，

故選：B

7.已知偶函數(shù)g(功在［0,內(nèi))上單調(diào)遞增,若。=8(1%2),b=g(2。。，c=g(-ln偶,則()

A.b<a<cB.a<c<bC.a<b<cD.c<a<b

【答案】B

【詳解】

因?yàn)間(x)是偶函數(shù)，所以c=g(-lne)=g(-l)=g⑴，

02

S^0<log32<log33=l,2>2°>1

所以0<噫2<1<2。。，

因?yàn)間(x)在［0,+8)上的單調(diào)遞增，

所以g(log32)<g(l)<g(2"2),

即a<c<b.

故選：B.

8.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段事件內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體

感染的標(biāo)志是“連續(xù)10日，每天新增疑似病例不超過7人".過去10日，甲、乙、丙、丁四地

新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：

甲地：總體平均數(shù)為3,中位數(shù)為4；

乙地：總體平均數(shù)為1，總體方差大于0；

丙地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3；

丁地：總體平均數(shù)為2,總體方差為3.

則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是()

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

【答案】D

【詳解】

對(duì)于甲地，若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為0,0,0,0,4,4,4,4,4,10,則滿足平均數(shù)為3,中位數(shù)為4,但

不符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，A錯(cuò)誤；

對(duì)于乙地,若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,則滿足平均數(shù)為1,方差大于0,但

不符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，B錯(cuò)誤；

對(duì)于丙地,若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為0,0,1』,2,2,3,3,3,10,則滿足中位數(shù)為2,眾數(shù)為3,但不

符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，C錯(cuò)誤：

對(duì)于丁地，若總體平均數(shù)為2,假設(shè)有一天數(shù)據(jù)為8人，則方差S2>JX（8-2）2=4.5>3,不

O

可能總體方差為3,則不可能有一天數(shù)據(jù)超過7人，符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，

D正確.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某校高二年級(jí)進(jìn)行選課走班，已知語文、數(shù)學(xué)、英語是必選學(xué)科，另外需從物理、化學(xué)、

生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科中任選3門進(jìn)行學(xué)習(xí).現(xiàn)有甲、乙、丙三人，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.如果甲必選物理，則甲的不同選科方法種數(shù)為10

B.甲在選物理的條件下選化學(xué)的概率是：

C.乙、丙兩人至少一人選化學(xué)與這兩人全選化學(xué)是對(duì)立事件

D.乙、丙兩人都選物理的概率是9

【答案】AD

【詳解】

對(duì)于A,甲必選物理，還需從化學(xué)、生物、政治、歷史、地理中選2門，則甲的不同選科方

法種數(shù)為C；=10,故A正確；

對(duì)于B,甲在選物理的條件下，還需從化學(xué)、生物、政治、歷史、地理中選2門，共C；=10

49

種，其中選化學(xué)的有C：=4種，則甲在選物理的條件下選化學(xué)的概率是卡=（,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,乙、丙兩人至少一人選化學(xué)包含乙、丙兩人全選化學(xué)，故C錯(cuò)誤；

C2IC21

對(duì)于D,乙選物理的概率為法=不，內(nèi)選物理的概率為涓=不，因?yàn)橐疫x物理和丙選物理

相互獨(dú)立，所以乙、丙兩人都選物理的概率是=故D正確；

故選：AD

10.已知向量c=（l,一=則（）

A.若"與2垂直，則〃=-;

B.若力應(yīng),則工，的值為-5

C.若〃=1,則|c-j|=AA3D.若〃=—2,則"與［的夾角為60。

【答案】ABC

【詳解】

A.若c與7垂直，則=-1-2〃=0，〃=一萬，止確；

B.若2//Z，則-=々，〃=2,c-J=lx(-l)+(-2)x2=-5,正確；

1—2

C.若〃=1,c-d=(2,-3),『一(4=>/^,正確；

――：c?(1-1+43_

D.若…2,儂<。，">=麗=瓦有=丁<c,?60。,D錯(cuò)誤,

故選：ABC.

11.已知直線/：3x+樞y+3=0,曲線C:x2+y2+4x+2my+5=0,則下列說法不正確的是

()

A.是曲線C表示圓的充要條件

B.當(dāng)機(jī)=36時(shí)，直線/與曲線C表示的圓相交所得的弦長(zhǎng)為1

C."機(jī)=-3是直線/與曲線C表示的圓相切的充分不必要條件

D.當(dāng)機(jī)=-2時(shí)，曲線C與圓產(chǎn)+丁=1有兩個(gè)公共點(diǎn)

【答案】ABD

【詳解】

對(duì)于A,曲線C:x?+丁+4x+2my+5=0n(x+2)2+(y+/w)2=蘇,曲線C要表示圓,則

帚-1>0,解得加<-1或加>1,所以"利>1”是曲線表示圓的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,機(jī)=3后時(shí)，直線/:%+厲+1=0,曲線C:(x+2)2+(y+3g)2=26,

|2+百＞(3@+1|

圓心到直線的距離d==5,所以弦長(zhǎng)=2/2々2=2,26-25=2,故B

V1+3

錯(cuò)誤;

對(duì)于C,若直線與圓相切，圓心到直線的距離d=「6-：31=而寸=加=士3,所以

V9+m2

"機(jī)=-3是直線與曲線表示的圓相切的充分不必要條件，C正確；

對(duì)于D,當(dāng)/=-2時(shí),曲線C:(x+2)?+(y—2>=3,其圓心坐標(biāo)(-2,2),r=石，

曲線C與圓x2+)=i兩圓圓心距離為J(_2-0)2+(2-0)2=20>百+1,故兩圓相離，不

會(huì)有兩個(gè)公共點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

故選：ABD

12.已知正方體ABCO-A耳GA的棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)F在正方形CO?C內(nèi)，則()

A.若則三棱錐的尸-BCG的外接球表面積為4乃

B.若與尸〃平面A3。，則用尸不可能垂直C。

C.若C/L平面ACF,則點(diǎn)F的位置唯一

D.若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，則三棱錐A-的體積是三棱錐4-必乃體積的一半

【答案】CD

【詳解】

解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系：

則片

A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),0(0,0,0),A(2,0,2),(2,2,2),C}(0,2,2),R(0,0,2),

由于動(dòng)點(diǎn)尸在正方形C￡>￡>￡內(nèi)，可設(shè)F(0,/n,"),其中0<加<2,0<〃<2,

對(duì)于A選項(xiàng)，由于8>=3(庭+曲)，則尸為CR的中點(diǎn)，此時(shí)尸(0,1,1),

設(shè)三棱錐的F-BCG的外接球的球心為o(x，y，z),

[OC|=|OBjx2+(y-2)2+z2=(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2

則.卜410目，Qp-x2+(y-2)2+z2=x2+(y-l)2+(z-l)2,

joc|=|ocjX?+(y-2)?+z?=》2+(y-2)2+(z-2)：

x=\

解得：”=2,所以。(1,2,1),

z=1

則三棱銖的F-B,CC,的外接球的半徑為R=|OC|=0,

所以三棱錐的尸-用的外接球表面積為=阮，故不正確；

814%/?2=47rxA

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)平面A8。的法向量為；=(x,y,z),4：8=(0,2,-2)，BD=(-2,-2,0)>

則{0?■令y=i,得x=-i,z=i,故〃

[-2x-2y=(J、)

而耳>=(-2,機(jī)-2,〃一2)，若4尸〃平面則8>;=0，

則2+〃?-2+〃-2=0,即〃?+”=2,所以F(0,;”,2-m),

此時(shí)男尸=(-2,小一2,-加)，而由=(0,-2,2)，

所以說而=-2x0-2x(w-2)一“x2=-4/n+4，

當(dāng)帆=1時(shí)，-4m+4=0,此時(shí)6%.&=()，則用尸~LCD1,故B不正確;

對(duì)于C選項(xiàng)，若C/，平面ACF,

1—>—>—?

由于C/=（O,機(jī)一2,〃一2），AC=（-2,2,-2）,CF=（0,m-2,n）>

2x（,n-2）-2（H-2）=0\m=\\m=2

解得：，或c（舍去）,

（7/7-2）-4-M（77-2）=0n=l\n-2

此時(shí)尸(0,1,1),即點(diǎn)尸的位置唯一，使得6FJ.平面ACF,故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，由正方體可知8CL平面

三棱錐A-AgE的體積為：九股￡八…十以修,

由于F在正方形CD*、內(nèi)，則F到平面\AB為BC,

三棱錐A-FAB體積為：匕-F&B=“F-AA8=5s4AAB?BC,

而&4世=SAAAB，EB=—BC,所以V"4rBiE=/匕-格《‘

所以三棱錐A-AB|E的體積是三棱錐A-必產(chǎn)體積的一半，故D正確.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知函數(shù)y=〃x)為奇函數(shù)，,f(x+2)=—F(x),若當(dāng)xe[0,2]時(shí)，“x)=log；(%+。)，

則/(2022)=.

【答案】-1

【詳解】

???/(X)為奇函數(shù)，；?/(°)=地；"°,解得：a=it

/(x+2)=-/(x),"(x+4)=-/(x+2)=~[-/(x)]=/(x),

.?"(x)是周期為4的周期函數(shù)，

/./(2022)=/(4x505+2)=/(2)=log,(2+1)=-1

3

故答案為：-1.

14.已知直線/分別切拋物線/=2py(P>0)和圓/+(y+l)2=l于點(diǎn)A,B(A,B不重

合)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)|4尸|取得最小值時(shí)，P=.

【答案】2

【詳解】

設(shè)4%,%),y=-,所以乂=&=—,

PP

所以丫一%="(%-%)，

1

所以直線I的方程為=py+py0,則I￥=,

網(wǎng)+/廣

x：=4+4p,

把x；=2py°代入，可解得2°,

%一+2,

P

0|AF|=-+2+^>4,當(dāng)且僅當(dāng)p=2時(shí)等號(hào)成立，所以p=2.

故答案為：2

15.函數(shù)“X）滿足：-。）一_/**）=4"€]],+8）,川）=一6若/（2」）4-6恒成立，則f的取

x2t

值范圍為.

【答案】|，1

【詳解】

由題可得，(翌)=_1,所以望=inx+C,(C為常數(shù))，即〃x)="(lnx+C),而/(l)=-e,

所以C=-l,即/(x)=e*(lnx-l)J<x)=e'(lnx-l+B)；igg(x)=lnx-l+yx2g),

g'(x)=：=?,所以g(x)在;，1)上遞減，在(1，+8)上遞增，即g(%,=g⑴=0,所以

r（x）2

2-U*

t22

e=/（l）可等價(jià)于，，解得

2--<13

故答案為：—"1

16.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其信徒組成的學(xué)派，他們把美學(xué)視為自然

科學(xué)的一個(gè)組成部分.美表現(xiàn)在數(shù)量比例上的對(duì)稱與和諧，和諧起于差異的對(duì)立，美的本質(zhì)

在于和諧.他們常把數(shù)描繪成沙灘上的沙粒或小石子，并由它們排列而成的形狀對(duì)自然數(shù)進(jìn)

行研究.如圖所示，圖形的點(diǎn)數(shù)分別為L(zhǎng)5,12,22,…，總結(jié)規(guī)律并以此類推下去，第8個(gè)圖形

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為,若這些數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，記為數(shù)列｛凡｝,則q+及+?+…+肝=

【答案】92336

【詳解】

記第〃個(gè)圖形的點(diǎn)數(shù)為對(duì)，由題意知4=1,02-4=4=1+3x1,

aa

3~2=1+3x2,a4-a3=1+3x3,…，％=1+3(〃-1)，

累力口得。〃一4=4+7+???+0+3(〃-1)]=](3〃-1),

即a,=g(3〃-l),所以％=92.又空=絲」，

2n2

所以4+竺+幺+-.+也」(2+5+8+-.+62)=二巨221=336.

12321222

四.解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和5〃=2"+】+4若｛4｝為等比數(shù)列.

(1)求實(shí)數(shù)A及｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b"=log2。"，求數(shù)列｛cwb"｝的前n項(xiàng)和7m

【答案】

(1)根據(jù)題意，數(shù)列｛4｝的前。項(xiàng)和5〃=2“"+A,

則ai=5i=22+A=4+4,

。2=$2—5i=(23+4)—(22+A)=4,

a3—S3—S2=(24+4)—(23+A)=8,

又由｛叫為等比數(shù)列，貝1」。逐。3=(02)2,即(4+4)x8=42=16,

解可得4=-2,

則aI=4—2=2,即數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

則4=2",

(2)設(shè)b“=log2ti“,則設(shè)勿=/0&%=/0822"=",

則4fA=〃x2",

tilT=\x2+2x22+3x23+.......+”x2",①

則有27；,=1X22+2X23+……+(〃-1)X2"+〃X2"+I,②

①一②可得：一(=2+22+23+……+2”—〃x2川=(1一”)2"i—2,

變形可得：＜=("-1)2向+2,

故方=(?-1)2川+2.

18.2020年8月，習(xí)近平總書記對(duì)制止餐飲浪費(fèi)行為作出重要指示，要求進(jìn)一步加強(qiáng)宣傳

教育，切實(shí)培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，在全社會(huì)營(yíng)造浪費(fèi)可恥、節(jié)約光榮的氛圍.為貫徹總書記指示,

大慶市某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動(dòng).現(xiàn)已有高一63

人，高二42人，高三21人報(bào)名參加志愿活動(dòng).根據(jù)活動(dòng)安排，擬采用分層抽樣的方法，從

已報(bào)名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動(dòng).

（1）第一期志愿活動(dòng)需從高一、高二、高三報(bào)名的學(xué)生中各抽取多少人？

（2）現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取4人去粘貼宣傳標(biāo)語，設(shè)這4人中

含有高二學(xué)生X人，求隨機(jī)變量X的分布列和期望；

（3）食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務(wù)是記錄學(xué)生每天倒掉的剩菜剩飯的

重量（單位：公斤），以10天為單位來衡量宣傳節(jié)約糧食的效果.在一個(gè)周期內(nèi)，這組志愿

者記錄的數(shù)據(jù)如下：

前10天剩菜剩飯的重量為：24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2；

后10天剩菜剩飯的重量為：23.221.520.821.320.419.420.219.320.618.3,

借助統(tǒng)計(jì)知識(shí)，分析宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果.

【答案】

（1）報(bào)名的學(xué)生共有126人，抽取的比例為1三2=三2，

12621

222

所以高一抽取63x7^6人，高二抽取42x二=4人，高三抽取21x^=2人.

212121

（2）隨機(jī)變量X的取值為2,3,4,

“X=2)=等=?|，"=3)=等"X=4)=罟

所以隨機(jī)變量X的分布列為

24.1+25.2+24.5+23.6+23.4+24.2+23.8+21.5+23.5+21.2_匚

/前二-----------------------------------------------------Jooo.0

10

所以前10天的平均值為23.5,后10天的平均值為20.5，且20.5<23.5，

所以宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果很好

19.記I3A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知內(nèi)（4-兒05<7）=。$皿8,點(diǎn)M

在AC上，且BM=1.

(1)求B；

(2)若〃=追，求AABC的面積.

【答案】

(1)由題設(shè)，-^(sinA-sinBcosC)=sinCsinB,又A=/r-(Z?+C),

075(sin(B+C)-sinBcosC)=sinCsinS,則上cosBsinC=sinCsinB,又sinCwO,

I3tan8=6，0<8<萬，可得8=?.

______________1____i______2__.i__.

(2)BM=BA+AM=BA+-AC=BA+-(AB+BC)=-BA+-BC,又BM=1，

221

aW=(jBA+-W=l，則4麗2+4麗.比+配2=9，a=\BC\=43,c=\BA\,

02C2+X/3C-3=O.可得c=3或c=-G(舍)，

2

同c1.口36

03/8°=—acsinB=-----.

28

20.在四棱錐尸-4?C￡>中，PD_L平面ABC。，ABMDC,ABA.AD,CD=AD=-AB=\,

2

ZPAD=45,E是序的中點(diǎn)，G在線段A3上，且滿足CGL3O.

(1)求證：OE〃平面P8C；

(2)求平面GPC與平面PBC夾角的余弦值.

(3)在線段PA上是否存在點(diǎn)“，使得G”與平面PGC所成角的正弦值是正，若存在，

3

求出Ah的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】

(1)取PB的中點(diǎn)F,連接E尸，CF,

因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以EF//AB,iLEF^-AB,

因?yàn)镃E>=!AB,且A8〃DC,所以EF//CD且EF=CD,

所以四邊形CDEF是平行四邊形，可得DE//CF,

因?yàn)镃Fu面P8C,￡>E<Z面P8C,所以O(shè)E〃平面P8C

(2)因?yàn)锳8〃OC,AB±AD,所以ADJ_C￡),

因?yàn)镻￡>_L平面ABC。，D4u面A8CO,OCu面48CQ,

所以D4,DC,OP兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)，分別以D4,DC,。尸所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镹PAD=45。，在等于直接三角形A尸。中，DP=DA=1,

則0(0,0,0),尸(0,0,1),C(0,l,0),80,2,0),設(shè)G(l/,0),

CG=(1J-1,O),麗=(—1,—2,0),由麗=T_2(f_l)=0,可得：

所以G(l,g,O),函=1,_；,0),PC=(O,l,-l),麗=(1,2,—1),

設(shè)平面GPC的?個(gè)法向量為正=(x2i，zj,

由CG沆"2'°,令％=1,貝IJ凹=2,4=2,所以浣=(1,2,2),

PC-m=y1—zx=0

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為/2=(x2,y2,z2),

I——_~~，令％=1，則Z2=1,￡=—1,所以〃=(—1,11)，

PCn=y2-z2=0

所以H的卜始=三言邛，

所以平面GPC與平面PBC夾角的余弦值為立.

3

(3)由(2)知：平面GPC的一個(gè)法向量正=(1,2,2),

假設(shè)在線段叢上是否存在點(diǎn)H,AH=AAP=A(-l,0,1)=(-2,0,2),Ae[(),l],

貝ij麗=房+而=(o,-g,o)+(-4O")=(-/i,-g"}

因?yàn)镚”與平面PGC所成角的正弦值是正，

3

1/g7；w\l"卜"吊-J"”_石

所以-相-京g-丁，

整理可得：20^+82-1=0,解得：2=*或幾=一：(舍)，

所以在線段以上是否存在點(diǎn)//符合題意，A”的長(zhǎng)為變.

10

21.已知點(diǎn)40,1),8(0,-1),直線A"與直線8M的斜率之積為

(1)求點(diǎn)M的軌跡「方程；

(2)點(diǎn)N是軌跡「上的動(dòng)點(diǎn)，直線AM,BN斜率分別為人，勺滿足左：他=3：1,求中

點(diǎn)橫坐標(biāo)％的取值范圍.

【答案】

(1)解：設(shè)M(x,y),因?yàn)橹本€4〃與直線的斜率之積為-二，所以2―匕一=-二，

4xx4

2

可得—+y2=1(尤*0).

4

所以點(diǎn)M的軌跡r方程為工+V=1（除去點(diǎn)（0，±D）.

4'

(2)解：設(shè)直線MN的方程為丫=履+，，M(XQJ,N?,力),

X221

---FV=1

由J4'消去V得：(1+4-〃2+8奴(+4(*-1)=0(*),

y=kx+t,

所以…=尚4(r2-l)

l+4k2

111..

由(1)知：kAM-k8M=--,kAN-kBN=--,0—=-4^.

44M2

趾=_4k「kAN=一4二1上1=T(何+—+f-l)

k2X|x2xxx2

=-------=J，

f+1

得r=-g,此時(shí)方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根，符合題意.

_x+x_-4kt_2k11

A<|-}22~\+4k2~l+4k2&[~2'2'

22.設(shè)函數(shù)/(x)=f一(丁一2)x-/nlnx,

(1)求的單調(diào)區(qū)間;

3

(2)設(shè)1<m<2,g(x)=—/(x)+/%2-(2m—l)x,求證：,恒有

|g(4)-g(x2)|<3.

(3)若機(jī)>0,函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)內(nèi),七,(王<當(dāng))，求證/(占+5)>0.

【答案】

(1)函數(shù)/(%)=(一(加一2)%-minx的定義域?yàn)?0,+e),

-,/、/、