2022年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

2022年湖北省鄂州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)真題

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1.實(shí)數(shù)9的相反數(shù)等于（）

A.-9B.+9C.-D.--

99

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義：如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，進(jìn)行求

解即可.

【詳解】解：實(shí)數(shù)9的相反數(shù)是-9,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相反數(shù)的定義，熟知相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.下列計(jì)算正確的是（）

A.b+b2—b3B.沙?吩=濟(jì)C.（2b）3—6h3D.3h-2b—b

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)積的乘方“把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的幕相乘”，合并同類項(xiàng)“把同類項(xiàng)的系

數(shù)相減，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變”，同底數(shù)基的除法“底數(shù)不變，指數(shù)相減”進(jìn)行

計(jì)算即可得.

【詳解】解：A、b+b2=b+b2,選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、r+/?3=》6-3=/?3,選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、（20）3=8/,選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、3b-2b=b,選項(xiàng)說法正確，符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)幕的除法，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn).

3.孫權(quán)于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山東麓營建吳王城，并取“以武而昌”之意，改鄂縣為武

昌，下面四個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（）

比以B武C而。昌

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合，進(jìn)行解答即可得.

【詳解】解：A、“以”不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、“武”不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、“而”不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、“昌”是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)說法正確，符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的概念.

4.如圖所示的幾何體是由5個(gè)完全相同的小正方體組成，它的主視圖是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)從正面看到的圖形是主視圖，即可得.

【詳解】解：從前面看，第一層是兩個(gè)小正方形，第二層左邊一個(gè)小正方形，第三層左邊1個(gè)小正方形,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是掌握從正面看到的圖形是主視圖.

5.如圖，直線6〃/2,點(diǎn)C、A分別在/卜Z2±,以點(diǎn)C為圓心，C4長(zhǎng)為半徑畫弧，交h于點(diǎn)B,連接

48.若NBC4=150。，則N1的度數(shù)為（）

B\C

A.10°B.15°C.20°D.30°

【答案】B

【解析】

【分析】由作圖得AABC為等腰三角形，可求出NA8C=15°,由八〃，2得N1=NABC,從而可得結(jié)

論.

【詳解】解：由作圖得，CA^CB,

MBCt為等腰三角形，

ZABC^ZCAB

=150°,

ZABC=-(180°-ZACB)=-(180°-l50°)=15°

22

：.Zi=ZABC=15°

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，求出NA8C=15。是解答本題

的關(guān)鍵.

6.生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測(cè)種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的

情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2"來表示.即：2i=2,22=4,23=8,24=

16,25=32,……,請(qǐng)你推算22。22的個(gè)位數(shù)字是()

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】利用已知得出數(shù)字個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：；21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,

尾數(shù)每4個(gè)一循環(huán)，

?.?2022+4=505........2,

.?.22022的個(gè)位數(shù)字應(yīng)該是：4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，根據(jù)題意得出數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

7.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法.如圖，一次函數(shù)(&、b為常數(shù),且火＜0)的圖象與

直線都經(jīng)過點(diǎn)A(3,1),當(dāng)去時(shí)，x的取值范圍是()

33

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)不等式依+bV』x的解集即為一次函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象下方的自變量的取值范圍求解

3

即可

【詳解】解：由函數(shù)圖象可知不等式匕的解集即為一次函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象下方的自變量

的取值范圍，

...當(dāng)fcr+匕<—x時(shí)，x的取值范圍是％>3,

3

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)兩直線的交點(diǎn)求不等式的解集，利用圖象法解不等式是解題的關(guān)鍵.

8.工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖（1）所示的工件槽，其兩

個(gè)底角均為90。，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖（1）所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球

的大小就符合要求.圖（2）是過球心及A、8、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知。O的直徑就是鐵球的直徑，

A8是。。的弦，CO切。。于點(diǎn)E,AC±CD.BD±CD,若CD=16cm,AC=BD=4cm,則這種鐵球的直徑

為（）

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

【答案】C

【解析】

【分析】連接04,OE,設(shè)OE與AB交于點(diǎn)尸，根據(jù)AC=3O,ACLCD,BOLCD得四邊形48DC

是矩形，根據(jù)co與。。切于點(diǎn)E,0E為。。的半徑得。ELCD,OELAB,即A4=P3，

PE=AC,根據(jù)邊之間的關(guān)系得Q4=8cm,AC=BD=PE=4cm,在&△Q4P,由勾股定理得,

PA2+OP2=OA2，進(jìn)行計(jì)算可得04=10,即可得這種鐵球的直徑.

【詳解】解：如圖所示，連接OA,0E,設(shè)0E與48交于點(diǎn)P,

VAC^BD,ACVCD,BDLCD,

???四邊形ABDC是矩形，

?.?CO與。。切于點(diǎn)E,0E為。。的半徑，

/.OELCD,OEYAB,

：.PA=PB，PE=AC,

AB=CD=16cm,

PA=8cm（

AC-BD=PE-4cm,

在由勾股定理得，

P^+OP^OA2

82+（QA-4）2=OA2

解得，。4=10,

則這種鐵球的直徑=204=2x10=20cm,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn).

9.如圖，已知二次函數(shù)>=以2+樂+。（a、b、c為常數(shù)，且時(shí)0）的圖像頂點(diǎn)為尸（1,/）,經(jīng)過點(diǎn)A（2,

1）；有以下結(jié)論：①。<0；②a8c>0；③4a+2b+c=l；④x>l時(shí)，y隨x的增大而減??；⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)f,

總有序+6區(qū)4+6,其中正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【解析】

【分析】①根據(jù)拋物線的開口方向向下即可判定；②先運(yùn)用二次函數(shù)圖像的性質(zhì)確定。、氏c,的正負(fù)即可

解答；③將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可解答；④根據(jù)函數(shù)圖像即可解答；⑤運(yùn)用作差法判定即可.

【詳解】解：①由拋物線開口方向向下，則。<0,故①正確；

②：拋物線的頂點(diǎn)為P(1,②

b,

??------=1，b=-2a

2a

*VO

：.b>0

???拋物線與y釉的交點(diǎn)在正半軸

.*.c>0

/.abc<09故②錯(cuò)誤；

③;拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)

1=a?2+2b+c,即4a+2h+c=1,故③正確；

④???拋物線的頂點(diǎn)為P(1,機(jī))，且開口方向向下

時(shí)，y隨工的增大而減小，即④正確；

@Va<0

:?aP+bt-(,a+b)

=。產(chǎn)-2〃f-a+2。

=at2-2at+a

=a(P-2f+l)

=a(r-1)2<O

/.aP+bt^a+h,則⑤正確

綜上，正確的共有4個(gè).

故答案為c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)圖像的性質(zhì)以及掌握數(shù)形結(jié)合思想成為

解答本題的關(guān)鍵.

10.如圖，定直線MN〃PQ,點(diǎn)、B、C分別為MM上的動(dòng)點(diǎn)，且8C=12,8c在兩直線間運(yùn)動(dòng)過程中

始終有NBCQ=60。.點(diǎn)A是MN上方一定點(diǎn)，點(diǎn)。是PQ下方一定點(diǎn)，且〃。凡AE=4,OF=8,

AD=24y/3,當(dāng)線段BC在平移過程中，AB+CQ的最小值為（）

A.24713B.245/15C.12713D.12^/15

【答案】C

【解析】

【分析】如圖所示，過點(diǎn)F作FH〃CD交BC于H,連接四，可證明四邊形CDF”是平行四邊形，得到

CH=DF=8,CD=FH,貝ijBH=4,從而可證四邊形A3HE是平行四邊形，得至ijA8=HE,即可推出當(dāng)E、F、

”三點(diǎn)共線時(shí)，EH+HF有最小值"即A8+C。有最小值EF,延長(zhǎng)AE交尸。于G,過點(diǎn)E作ETJ_PQ于

T,過點(diǎn)A作ALLPQ于L,過點(diǎn)。作。K_LPQ于K,證明四邊形8EGC是平行四邊形，

ZEGT=ZBCQ=60°,得至I]EG=BC=12,然后通過勾股定理和解直角三角形求出ET和TF的長(zhǎng)即可得到答

案.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)F作EH〃CZ）交BC于“，連接EH,

VBC//DF,FH//CD,

：.四邊形是平行四邊形，

：.CH=DF=S,CD=FH,

：.BH=4,

：.BH=AE=4,

又；AE//BC,

：.四邊形ABHE是平行四邊形，

：.AB=HE,

EH+FH>EF,

.,.當(dāng)E、尸、，三點(diǎn)共線時(shí)，E//+HF有最小值￡尸即AB+C/）有最小值E尸，

延長(zhǎng)AE交PQ于G,過點(diǎn)E作ET_LPQ于T,過點(diǎn)A作ALJ_PQ于L,過點(diǎn)。作QKLPQ于K,

?.-MN//PQ,BC//AE,

：.四邊形BEGC是平行四邊形，ZEGT=ZBCQ=60°,

，EG=BC=12,

GT=GE-cosNEGT=6,ET=GE-sinNEGT=6百，

同理可求得GL=8,AL=8百，KF=4,0K=46，

；?TL=2,

?：ALLPQ,DK±PQ,

；?AL//DK，

：.4AL0s/\DK0,

.AL_A。。

??-----------Zf

DKDO

：.AO=-AD=1673,D0=~AD=S>/3,

33

OL=JAO^-AE=24,OK=y/DO2-DK2=n,

TF=TL+OL+OK+KF=42,

?*-EF=\lET2+TF2=12V13，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角

形，正確作出輔助線推出當(dāng)E、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，EH+//F有最小值所即A8+C。有最小值EF是解題的

關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共計(jì)18分）

11.化簡(jiǎn)：74-______i

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義，求數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是求一個(gè)正數(shù)x,使得x?=a,則x就是a的算

術(shù)平方根，特別地，規(guī)定0的算術(shù)平方根是0.

【詳解】???22=4,???4=2.

【點(diǎn)睛】本題考查求算術(shù)平方根，熟記定義是關(guān)鍵.

12.為了落實(shí)“雙減”，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，陽光學(xué)?；@球興趣小組開展投籃比賽活動(dòng).6名選手投中籃圈的

個(gè)數(shù)分別為2,3,3,4,3,5,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：2,3,3,4,3,5這組數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

；.2,3,3,4,3,5這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，熟知眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

13.若實(shí)數(shù)匕分別滿足〃-44+3=0,及-46+3=0,且o/b,則的值為.

ab

4

【答案】-

3

【解析】

【分析】先根據(jù)題意可以把6看做是一元二次方程￡一4》+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系

得到”+b=4,"=3,再根據(jù)，+工=”2進(jìn)行求解即可.

ahab

【詳解】解：:。、b分另ij滿足屋-4。+3=0,加-4/3=0,

???可以把〃、人看做是一元二次方程f—4x+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

a+h=4tab=3,

11a+b4

-I—=----——,

abab3

4

故答案為：一.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

14.中國象棋文化歷史久遠(yuǎn).某校開展了以“縱橫之間有智意攻防轉(zhuǎn)換有樂趣”為主題的中國象棋文化

節(jié)，如圖所示是某次對(duì)弈的殘局圖，如果建立平面直角坐標(biāo)系，使“白巾”位于點(diǎn)（-1,-2）,需”位

于點(diǎn)（2,-2）,那么“兵”在同一坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是.

【答案】（-3,1）

【解析】

【分析】根據(jù)“削產(chǎn)和“馬”的坐標(biāo)建立正確的坐標(biāo)系即可得到答案.

【詳解】解：由題意可建立如下平面直角坐標(biāo)系，

“兵”的坐標(biāo)是（-3,1）,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)的實(shí)際應(yīng)用，正確建立坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，已知直線y=2x與雙曲線,=七（%為大于零的常數(shù)，且x>0）交于點(diǎn)A,若。1=6，則/的

X

值為

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（如2,〃），根據(jù)。4的長(zhǎng)度，利用勾股定理求出機(jī)的值即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo),

由此即可求出k.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（/?,2機(jī)），

??OA=\/m2+4m2=V5,

=1或〃?=一1（舍去），

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,2）,

k=1x2=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，勾股定理，正確求出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，。、E分別為邊8C、AC上的點(diǎn)，4。與BE相交于點(diǎn)尸，若

BD=CE=2,貝必ABP的周長(zhǎng)為.

【解析】

【分析】如圖所示，過點(diǎn)E作所_LA8于尸，先解直角三角形求出AF,EF,從而求出8F,利用勾股定理

求出BE的長(zhǎng)，證明△ABOg/XBCE得到AD=BE,再證明△得到

2BPPD

—,即可求出BP,PD,從而求出AP,由此即可得到答案.

277o2

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作于F,

,*'△A8C是等邊三角形，

：.AB=BC,ZABD=ZBAC=ZBCE=60°,

?：CE=BD=2,AB=AC=6f

：.AE=49

；?AF=AE-cosNEAF=2,EF=AE-sinNEAF=2G，

：.BF=4,

BE=y/BF2+EF2=2A/7,

又,：BD=CE,

：.△ABD^/^BCE(SAS),

：.NBAD=NCBE,AD=BE,

又：NBDh/ADB,

:.△BDPsAADB,

.BDBP_DP

2BPPD

‘研=T=三’

...人"PD=”,

77

-=苧

.?.△482的周長(zhǎng)=48+82+4尸=6+^^，

7

故答案為：6+?

7

A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等

三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共8小題，共計(jì)72分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟）

17先化簡(jiǎn)，再求值：工-」一，其中。=3.

a+1a+1

【答案】a-1,2

【解析】

【分析】先根據(jù)同分母分式的減法計(jì)算法則化簡(jiǎn)，然后代值計(jì)算即可.

【詳解】解：—------

a+1a+1

a2-l

a+1

_S+1）（〃T）

a+1

=a-1,

當(dāng)a=3時(shí)，原式=3—1=2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟知同分母分式的減法計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

18..為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某校舉行了“青年大學(xué)習(xí)，強(qiáng)國有我''知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).李

老師賽后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（單位：分,均為整數(shù)），按成績(jī)劃分為A、B、C、。四個(gè)等級(jí)，并

制作了如下統(tǒng)計(jì)圖表（部分信息未給出）：

等級(jí)成績(jī)X/分人數(shù)

A9020015

B80sx<90a

C70<r<8018

Dx<707

當(dāng)

(1)表中〃=______,C等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為_______；

(2)若全校共有600名學(xué)生參加了此次競(jìng)賽，成績(jī)A等級(jí)的為優(yōu)秀，則估計(jì)該校成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的學(xué)生共

有多少人？

(3)若A等級(jí)15名學(xué)生中有3人滿分，設(shè)這3名學(xué)生分別為乃，乃，從其中隨機(jī)抽取2人參加市級(jí)

決賽，請(qǐng)用列表或樹狀圖的方法求出恰好抽到心的概率.

【答案】(1)60；108°；

(2)150(3)樹狀圖見解析，-

3

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)A等級(jí)的人數(shù)和人數(shù)占比求出此次抽取的學(xué)生人數(shù)，即可求出。的值；用360度乘以

C等級(jí)的人數(shù)占比即可求出C等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；

(2)用600乘以樣本中A等級(jí)的人數(shù)占比即可得到答案；

(3)先畫樹狀圖得到所有的等可能性的結(jié)果數(shù)，然后找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求

解即可.

【小問1詳解】

解：15+二90°一=60人，

360°

.?.此次抽取的學(xué)生人數(shù)為60人，

a=60-15-18-7=20,

1Q

：.c等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為360。X—=108°,

60

故答案為：60；108°；

【小問2詳解】

解：600x—=150人，

60

???估計(jì)該校成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的學(xué)生共有150人，

答：估計(jì)該校成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的學(xué)生共有150人;

【小問3詳解】

解：畫樹狀圖如下：

開始

由樹狀圖可知一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中抽到小，乃的結(jié)果數(shù)有2種，

21

，恰好抽到Ti,八的概率為一=一.

63

【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻數(shù)分布表，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，樹狀圖或列表法求解概率，正確讀

懂統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表是解題關(guān)鍵.

19.如圖，在矩形中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,且/COF=/8DC、NDCF=NACD.

（1）求證：DF=CF；

（2）若尸=60。，DF=6,求矩形ABC。的面積.

【答案】（1）見解析（2）366

【解析】

【分析】（1）先證明△￡>（：尸會(huì)△DCO得到。尸=。。，CF=CO,再由矩形的性質(zhì)證明OC=O。，即可證明

DF=CF=OC=OD；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得到/C￡>O=/C￡?F=60。，OD=DF=6,即可證明△OC￡>是等邊三角形，得到

CD=OD=C>,然后解直角三角形BCO求出8C的長(zhǎng)即可得到答案.

【小問1詳解】

解：在△￡>(?/和AQC。中，

NDCF=NDCO

<CD=CD,

ZCDF=ZCDO

:.△DCFmDCO(ASA),

:.DF=DO,CF=CO,

??,四邊形ABC。是矩形，

OC=OD=-AC=-BD,

22

:.DF=CF=OC=OD；

【小問2詳解】

解：■:/\DCF安△DCO,

：.ZCDO=ZCDF=60°,0D=DF=6,

又：oo=oc,

oco是等邊三角形，

CD=0D=6,

:四邊形A3CO是矩形，

/88=90。，

BC=CD-tan/BDC=6g，

S矩形=BC-CD=36>/3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判

定，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.亞洲第一、中國唯一的航空貨運(yùn)樞紐一一鄂州花湖機(jī)場(chǎng)，于2022年3月19日完成首次全貨運(yùn)試飛，

很多市民共同見證了這一歷史時(shí)刻.如圖，市民甲在C處看見飛機(jī)A的仰角為45。，同時(shí)另一市民乙在斜

坡CF上的。處看見飛機(jī)A的仰角為30。，若斜坡CF的坡比=1：3,鉛垂高度。G=30米(點(diǎn)E、G、C、B

在同一水平線上).求：

A

EGCB

（1）兩位市民甲、乙之間的距離CO；

（2）此時(shí)飛機(jī)的高度AB,（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】（1）30屈米

（2）（606+90）米

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)斜坡b的坡比=1：3,求出CG的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)即可；

（2）如圖所示，過點(diǎn)。作于”，則四邊形B/7OG是矩形，B”=OG=30米，DH=BG,證明

AB=BC,設(shè)米，則A"=AS—3”=（九一30）米，=5G=CG+BC=（尤+90）米，解直

角三角形得到二二型=且據(jù)此求解即可.

x+903

【小問1詳解】

解：???斜坡CF的坡比=1：3,鉛垂高度。G=30米，

.DG1

??___一，

CG3

CG=90米，

,CD=y/DG2+CG2=30V10米；

【小問2詳解】

解：如圖所示，過點(diǎn)。作OHLAB于“，則四邊形BM9G是矩形，

.?.BH=Z）G=30米，DH=BG,

'：ZABC=90°,ZACB=45°,

」.△ABC是等腰直角三角形，

：.AB=BC,

設(shè)米，則AH=AB—3//=(x—30)米，D/7=5G=CG+BC=(x+90)米,

在放△AOH中，tanZADH=—=—,

DH3

.x-30V3

??'-f

x+903

解得X=60G+90，

.?.43=(60百+90)米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確理解題意作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

21.在“看圖說故事”話動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)問題情境：小明從家跑步去體育場(chǎng)，在那里鍛煉了

一陣后又走到文具店買圓規(guī)，然后散步走回家.小明離家的距離y(km)與他所用的時(shí)間x(min)的關(guān)系

如圖所示：

(2)當(dāng)15人45時(shí)，請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

(3)當(dāng)小明離家2km時(shí)，求他離開家所用的時(shí)間.

【答案】(1)2.5;1

6

2.5(15<x<30)

(2)y=<1

--x+4.5(30<x<45)

(3)當(dāng)小明離家2km時(shí)，他離開家所用的時(shí)間為12min或37.5min

【解析】

【分析】(I)根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合路程=時(shí)間*速度進(jìn)行求解即可；

(2)分當(dāng)15WxW30時(shí)和當(dāng)30<xK45時(shí)兩種情況討論求解即可：

(3)分當(dāng)小明處在去體育館途中離家2km時(shí)，當(dāng)小明從體育館去商店途中離家2kn時(shí)兩種情況討論求

解即可.

【小問1詳解】

解：由函數(shù)圖象可知小明在離家15分鐘時(shí)到底體育館，此時(shí)離家的距離為2.5km,

251

小明家離體育館的距離為2.5km,小明跑步的平均速度為一=—km/min,

156

故答案為：2.5；—；

6

【小問2詳解】

解：由函數(shù)圖象可知當(dāng)15WXW30時(shí)，y=2.5,

當(dāng)30<xW45時(shí)，此時(shí)y是關(guān)于x一次函數(shù)，設(shè)y=

,’30女+人=2.5

,,145左+。=1.5’

k=--

解得《15,

8=4.5

，此時(shí)y=-j^x+4.5,

-2.5（15<x<30）

綜上所述，y-<

--x+4.5（30<x<45）

【小問3詳解】

解：當(dāng)小明處在去體育館的途中離家2km時(shí),

x=y=12

1；

6

當(dāng)小明從體育館去商店途中離家2km時(shí)，

---x+4.5=2,

15

解得x=37.5；

綜上所述，當(dāng)小明離家2km時(shí)，他離開家所用的時(shí)間為12min或37.5min.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了從函數(shù)圖象獲取信息，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確讀懂函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，△ABC內(nèi)接于P是。0的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ZPCB=ZOAC,過點(diǎn)。作BC的平行線

交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D

(1)試判斷PC與。0的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若PC=4,tanA=g,求△OCO的面積.

【答案】(1)PC與。。相切，理由見解析

(2)9

【解析】

【分析】(1)先證明NAC8=90。，然后推出NPC8=NOC4,即可證明NPCO=90。即可；

13

(2)先證明——=—,再證明△PBCsZV>CA,從而求出以=4,PB=1,AB=3,OC=OB=—,

AC22

0P=，,最后證明△PBCSApo。，求出PO=10,則C￡>=6,由此求解即可.

2

【小問1詳解】

解：PC與00相切，理由如下：

?.?AB是圓。的直徑，

ZACB=90°,

：.Z0CB+Z0CA=9Q°,

'：OA=OC,

ZOCA^ZOAC,

,：ZPCB=ZOAC,

：.ZPCB=ZOCA,

：.ZPCB+ZOCB=ZOCA+ZOCB=90°,即/PCO=90°,

...PC與。0相切；

【小問2詳解】

解：ZACB=90°,tanA=-,

2

.BC1

??---=一,

AC2

,：ZPCB=ZOAC,NP=NP,

.PCPBBC

''~PA~~PC~~CA~2'

PA-S,PB=2,

,".AB=6,

OC=OB—3,

0P=5,

BC//OD,

△PBCsxPOD,

PBPC24

----?即nn——,

OPPD5PD

二PZ)=10,

CD=6,

Sncn=—OCCD=9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，等邊對(duì)等角證明，解直角三角形，直徑所對(duì)的圓周角是直角，相似

三角形的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握?qǐng)A切線的判定是解題的關(guān)鍵.

23.某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究>=元(〃>0)型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類

型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F(0,—)的距離始終等于它到定直線/：y=-1-上的距離MN

4a4a

(該結(jié)論不需要證明)，他們稱：定點(diǎn)尸為圖象的焦點(diǎn)，定直線/為圖象的準(zhǔn)線，y=--L叫做拋物線的

4。

準(zhǔn)線方程.其中原點(diǎn)。為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H=2OF=—,例如，拋物線其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,

2a」

7).準(zhǔn)線方程為/：、=-3?其中FH=2OH=\.

請(qǐng)分別直接寫出拋物線y=2/的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程：,.

(2)【技能訓(xùn)練】

如圖2所示，已知拋物線丫=1/上一點(diǎn)p到準(zhǔn)線/的距離為6,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

O

(3)【能力提升】

如圖3所示，已知過拋物線>=靖(?>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線/于點(diǎn)A、B、C.若BC=

2BF,AF=4,求”的值；

(4)【拓展升華】

古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比''問題：點(diǎn)C將一條線段AB分

為兩段AC和CB,使得其中較長(zhǎng)一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項(xiàng)，即滿足：一匕=蕓=

ABAC

避二1.后人把1二1這個(gè)數(shù)稱為“黃金分害I]”把點(diǎn)C稱為線段A8的黃金分割點(diǎn).

22

如圖4所示，拋物線y=—爐的焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線/與y軸交于點(diǎn)H(0,-1),E為線段HF的黃金分

4

割點(diǎn)，點(diǎn)"為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn).當(dāng)竺絲=正時(shí)，請(qǐng)直接寫出AHME的面積值.

MF

【答案】(1)(0,—),y=—,

88

(2)4叵，4)或(-4四,4)

⑶a=-

4

(4)逐一1或3-右

【解析】

【分析】(1)根據(jù)交點(diǎn)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可；

(2)先求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,然后代入到拋物線解析式中求解即可；

(3)如圖所示，過點(diǎn)8作軸于O,過點(diǎn)A作AELy軸于E,證明△FDBS^FHC,推出

FD=—,則。。=。/—。F=—,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為一!一，從而求出且，證明

6a12a12。6。

△AEFs&BDF,即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-26,2+—）,再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式中求解

4a

即可；

（4）如圖，當(dāng)E為靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候，過點(diǎn)M作MNLI于N,則MN=MF,

先證明是等腰直角三角形，得到NH=MN,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（〃［，-m2）,則

4

1.L

MN=-m2+\=-m=HN,求出加=一2,然后根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出”E=6-1,貝U

4

SAHME'HE.NHM-I；同理可求當(dāng)點(diǎn)E是靠近H的黃金分割點(diǎn)時(shí)4"ME的面積?

【小問1詳解】

解：由題意得拋物線y="的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程分別為（0,-）,y=-1，

88

故答案為：（0,—）,y=――,

8.8

【小問2詳解】

解：由題意得拋物線丫=!/的準(zhǔn)線方程為>=--!-=一2,

84a

?.?點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/的距離為6,

...點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,

1,

.?.當(dāng)y=4時(shí)，一爐=4,

8

解得x=+4\/2,

點(diǎn)尸坐標(biāo)為（40，4）或（—4加，4）；

【小問3詳解】

解：如圖所示，過點(diǎn)8作B￡）J_y軸于￡>,過點(diǎn)A作AEJLy軸于E,

由題意得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為尸（0,—）直線/的解析式為：），=-1-,

4a4a

BD//AE//CH,FH=—,

2a

:?&FDBs?FHC,

.BDFDFB

??麗―麗一正‘

,:BC=2BF,

:?CF=3BF,

.BDFD_FB

??麗一麗-7E一針

FD=~,

：.OD=OF-DF=—,

12a

...點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為一L,

12。

.1_2

??-----=CIX,

12。

解得x=Y3（負(fù)值舍去）,

6a

；?BD=—,

6a

???AE//BD,

：.BDF,

.AE_BD_H

??=-----=75,

EFDF

???AE=y/3EF，

AE2+EF2=AF2，

4EF2=AF2=16,

：.EF=2,

AE=2y[3,

??.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（—2，2+--）,

48a2-8。-1=0，

/.（12a+1）（4?-1）=0,

解得。=_1（負(fù)值舍去）；

【小問4詳解】

O

H

圖3

解：如圖，當(dāng)E為靠近點(diǎn)尸的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候，過點(diǎn)M作于N,則MN=MF,

..*u-,.rMNMF>/2

???在心A△MN”中，smZMHN=--=-----=」一，

MHMH2

???/MHN=45。,

???4MNH是等腰直角三角形，

:?NH=MN,

-17

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,—m）,

1

??.MN=—9m2+1=-根="N,

:?HN=2,

???點(diǎn)E是靠近點(diǎn)尸的黃金分割點(diǎn),

???HE=^^-HF=y/5-\>

2

???SAHME=；HE-NH=布一1；

同理當(dāng)E時(shí)靠近H的黃金分割點(diǎn)點(diǎn)，EF=避」HF=亞一1，

2

???HE=2—亞+1=3-非，

???S&HME=；HE-NH=3-非,

綜上所述，SMME=2M2或S.ME=3-也

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性

質(zhì)與判定，黃金分割等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

24.如圖］,在平面直角坐標(biāo)系中，Rf/iOAB的直角邊0A在y軸的正半軸上，且0A=6,斜邊。8=10,點(diǎn)

P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn).

(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)若動(dòng)點(diǎn)P滿足/POB=45。，求此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若點(diǎn)E為線段0B的中點(diǎn)，連接PE,以尸E為折痕，在平面內(nèi)將△APE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

為A,當(dāng)以工。8時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(4)如圖3,若尸為線段A