2021年人教版數(shù)學(xué)中考第一輪練習(xí)“隱形圓”在求最值中的應(yīng)用 (一)

“隱形圓”在求最值中的應(yīng)用

類型1定點定長作圓

硼T如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC

邊上的動點，將AEBF沿EF所在的直線折疊得到aEB'F,連接B'D,求B'D

的最小值.

D

C

類型2線圓最值

偈吃如圖，在RtZ^ABC中，ZC=90°,ZA=60°,AC=6,點F在邊AC上,

并且CF=2,點E為邊BC上的動點，將4CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處,

求點P到邊AB距離的最小值.

類型3直角對直徑

霞3如圖，在Rt/^ABC中，AB±BC,AB=2,BC=3,P是AABC內(nèi)部的一個動點,

且滿足NPAB=NPBC,求線段CP長的最小值.

類型4定弦定角

如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,點M和N分別從B,C同時出發(fā)，以相

同的速度沿BC,CD方向向終點C和D運動.連接AM和BN交于點P,求PC長的

最小值.（請在圖中畫出點P的運動路徑）

類型5四點共圓

如圖，AABC是等邊三角形，D為BC邊上的一點，ZADE=60°,DE交NACB

的外角平分線于點E,求證：AD=DE.

專題精煉

類型1定點定長作圓

1.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，NA=60°,點M是AD邊的中點，點N

是AB邊上的一動點，將AAMN沿MN所在的直線翻折得到AA'MN,連接A'C,

則A，C長度的最小值是（）

類型2線圓最值

2.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,點E,F分另ij是AD,DC邊上的點，

且EF=2,點G為EF的中點，點P為BC上的一動點，則PA+PG的最小值為

3.如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,0為AC的中點，過點0

作OE_LOF,OE,OF分別交射線AB,BC于點E,F,連接EF,則EF的最小值為

4.（2020?山東東營）如圖，在RtaAOB中，0B=2第，ZA=30°,。。的半徑

為1,點P是AB邊上的動點，過點P作。0的一條切線PQ（其中點Q為切點），

則線段PQ長度的最小值為.

類型3直角對直徑

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,以BC為斜邊在矩形所在的平面作Rt^BEC,

F為CD的中點，則EF的最小值為（）

1

A.~B.1C.2

乙

類型4定弦定角

6.如圖，ZA0B=45°,在等腰直角4CDE中，當(dāng)CD的長保持不變且等于2時,

0E的最大值為

類型5四點共圓

7.如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為正方形外的一動點，且NAED=45°,

若AP=1,則線段PE的最大值是（）

A.5B.^5+2^2

C.2+2啦D.3+2吸

8.如圖，在AABC中，NB=60°,NC=45°,BC=M5+1,點P為邊AB上的

一動點，過點P分別作PDJ_BC于點D,PEJ_AC于點E,則DE的最小值為.

參考答案

【例1】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知△EBFg/^EB'F,.,.EB,=EB.

又是AB邊的中點,AB=4,

.?.AE=BE=EB'=2.

.?.點二在以E為圓心，EA為半徑的圓上運動，

.?.當(dāng)D,Bz,E三點共線時，B'D的值最小，如圖.

VAD=6,AE=2.

DE=^/AD2+AE2=^62+22=2710

.?.B'D=DE-BZE=2皿-2.

［例2］解：VZA=60°,AC=6,

由翻折的性質(zhì)可知PF=FC=2,ZFPE=ZC=90°,

.,.點P在以F為圓心，以2為半徑的圓上

由“垂線段最短”可知當(dāng)FP±AB于點D時-，點F到AB的距離FD最短，如圖.

又〈FP為定值，.?.此時PD有最小值.

VAF=4,NFDA=90°,NA=60°,

FD=AF,sinA=4X-^=2-\/3,

乙

點P到邊AB距離的最小值PD=DF—PF=245—2.

【例3】解：?「ABLBC,AZABC=90°,

AZABP+ZPBC=90°.

又?.?/PAB=NPBC,.,.ZBAP+ZABP=90°,

，NAPB=90°,

，點P在以AB為直徑的。。上.

如圖，連接0C交。。于一點，當(dāng)點P為該點時線段PC的長最小,

在RtaBCO中,VZ0BC=90°,BC=3,OB=1,

/.OC=^/OB2+BC2=^/l2+32=Vio,

：.PC=QC-QP=yllQ-l,

，線段CP長的最小值為#5-1.

【例4】解：由題意得BM=CN.

?.?四邊形ABCD是正方形，

AZABM=ZBCN=90°,AB=BC=4.

在4ABM和4BCN中,

[AB=BC,

<ZABM=ZBCN,

、BM=CN,

AABM^ABCN(SAS),ZBAM=ZCBN.

VZABP+ZCBN=90°，/.ZABP+ZBAM=90°，

AZAPB=90°,

...點P在以AB為直徑的。。上運動，且運動路徑為一條弧BG,是這個圓的'

連接0C交。。于一點，當(dāng)點P為該點時PC的長最小，如圖.

VAB=4,.?.0P=0B=2,

由勾股定理，得0C=d6祖由=卷不?=2m,

.*.PC=0C-0P=2^/5-2,

.?.PC長的最小值為2^5-2.

【例5】證明：如圖,連接