山東省聊城頤中外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

2021級(jí)高三第一學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A. B. C. D.2.等比數(shù)列中，，則（）A. B. C.2 D.123.已知集合，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.54.如圖是一個(gè)圓臺(tái)形的水杯，圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為12，上?下底面的半徑分別為4和2.為了防燙和防滑，該水杯配有一個(gè)皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不計(jì)，則此杯套使用的皮革的面積為（）A. B. C. D.5.函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（）A. B. C. D.6.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿(mǎn)足，，則（）A. B. C. D.17.設(shè)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.8.已知數(shù)列滿(mǎn)足，設(shè)前項(xiàng)和為，則的值為（

）A. B. C.3 D.2二、多選題9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則B.若數(shù)列為等差數(shù)列，則C.若，，且，則最小值為9D.命題“，”的否定為“，”10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)在的值域?yàn)镈.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位11.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為，設(shè)置有12個(gè)座艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要．則下列說(shuō)法正確的是（）A.游客距離地面的高度與時(shí)間的函數(shù)為B.摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周，游客距離地面的高度不低于的時(shí)間為C.經(jīng)過(guò)，游客距離地面D.甲乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙，在運(yùn)行一周的過(guò)程中，兩人距離地面的高度差的最大值為12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列命題正確的是（）A.B.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，CD.數(shù)列的最大項(xiàng)為第10項(xiàng)三、填空題13.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____．14.已知向量，，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____.15.如圖，八面體的每一個(gè)面都是正三角形，并且4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)平面內(nèi)．如果四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為30cm的正方形，那么這個(gè)八面體的表面積是______.16.已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的取值范圍是________．四、解答題17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，．（Ⅰ）求通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.在中，（其中分別為的對(duì)邊）．（1）求B的大??；（2）若，，求的周長(zhǎng)．19.《九章算術(shù)》是古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，書(shū)中記載了一種名為“芻甍”的五面體．“芻薨”字面意思為茅草屋頂，圖1是一棟農(nóng)村別墅，為全新的混凝土結(jié)構(gòu)，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖2，屋頂五面體為芻薨”，其中前后兩坡屋面和是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面和是全等的三角形，點(diǎn)在平面和上射影分別為，，已知m，m，梯形的面積是面積的倍．設(shè)．（1）求屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（2）已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為，下部主體造價(jià)與其高度成正比，比例系數(shù)為．現(xiàn)欲造一棟總高度為m的別墅，試問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，總造價(jià)最低？20.已知向量，，函數(shù).（1）若，求的值；（2）已知為銳角三角形，，，為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，，且，求面積的取值范圍.21.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足Sn+n=2an（n∈N*）．（1）證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=nan+n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求滿(mǎn)足不等式的n的最小值．22.已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，，且，求證：.

2021級(jí)高三第一學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】由已知得，則，故選：B．2.等比數(shù)列中，，則（）A. B. C.2 D.12【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】.故選：A3.已知集合，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先將兩個(gè)集合化簡(jiǎn)求其交集，然后根據(jù)集合元素個(gè)數(shù)與真子集個(gè)數(shù)關(guān)系求出真子集個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，，所以，的真子集個(gè)數(shù)為.故選：B.4.如圖是一個(gè)圓臺(tái)形的水杯，圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為12，上?下底面的半徑分別為4和2.為了防燙和防滑，該水杯配有一個(gè)皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不計(jì)，則此杯套使用的皮革的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出杯套部分圓臺(tái)的較大底面的半徑，根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式以及底面圓的面積，即可求得答案.【詳解】由題意可知杯套部分依然是圓臺(tái)，則此杯套使用的皮革的面積即為對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的側(cè)面積加上較小底面面積；如圖，作出水杯的軸截面，作于G，設(shè)為杯套部分對(duì)應(yīng)的軸截面，AG交EF與H，則，，則由∽可得，故，故此杯套使用的皮革的面積為，故選：C5.函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可知，函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式即可求出．【詳解】令，所以，所以函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，所以，即有．故選：C．6.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿(mǎn)足，，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，整理得，可得，所以.故選：A.7.設(shè)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得4為的周期，根據(jù)題意結(jié)合周期性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，可知4為的周期，且，可得.故選：C.8.已知數(shù)列滿(mǎn)足，設(shè)的前項(xiàng)和為，則的值為（

）A. B. C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】將已知條件變形得到為等比數(shù)列，由此求解出的通項(xiàng)以及的表達(dá)式，從而可求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，即，得，且，故是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以．故選：D.二、多選題9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則B.若數(shù)列為等差數(shù)列，則C.若，，且，則的最小值為9D.命題“，”的否定為“，”【答案】BC【解析】【分析】舉反例可判斷A；根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式直接推導(dǎo)可判斷B（或由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得）；妙用“1”，利用基本不等式即可判斷C；根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定形式即可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：取，顯然滿(mǎn)足，，但，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：記數(shù)列的公差為d，則，，所以，B正確；C選項(xiàng)：因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，C正確；D選項(xiàng)：命題“，”的否定為“，”，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)在的值域?yàn)镈.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位【答案】AD【解析】【分析】先由圖象信息求出表達(dá)式，從而即可判斷A；注意到是的對(duì)稱(chēng)中心當(dāng)且僅當(dāng)，由此即可判斷B；直接由換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求值域?qū)Ρ燃纯膳袛郈；直接按題述方式平移函數(shù)圖象，求出新的函數(shù)解析式，對(duì)比即可判斷.【詳解】由圖可知，又，所以，所以，又函數(shù)圖象最高點(diǎn)為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，故A選項(xiàng)正確；由A選項(xiàng)分析可知，而是的對(duì)稱(chēng)中心當(dāng)且僅當(dāng)，但，從而函數(shù)的圖象不關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在的值域?yàn)?，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，則得到的新的函數(shù)解析式為，故D選項(xiàng)正確.故選：AD.11.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為，設(shè)置有12個(gè)座艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要．則下列說(shuō)法正確的是（）A.游客距離地面的高度與時(shí)間的函數(shù)為B.摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周，游客距離地面的高度不低于的時(shí)間為C.經(jīng)過(guò)，游客距離地面D.甲乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙，在運(yùn)行一周的過(guò)程中，兩人距離地面的高度差的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出游客距離地面的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意可求得參數(shù)，可得，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)可判斷A，B，C；表示出兩人距離地面的高度差的表達(dá)式，結(jié)合兩角和的余弦公式以及輔助角公式，求得兩人距離地面的高度差的最大值，判斷D.【詳解】以摩天輪軸心O為原點(diǎn)，水平線(xiàn)為x軸，垂直于底面的直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：由題意可知O離地面，設(shè)游客距離地面的高度與時(shí)間的函數(shù)為，設(shè)時(shí)，游客位于點(diǎn)處，此時(shí)可取，根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要，可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的速度約為，故，A正確；摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周，游客距離地面的高度不低于，即令，由于，則，即游客距離地面高度不低于的時(shí)間為，B正確；當(dāng)時(shí)，（m），C錯(cuò)誤；如圖，甲，乙兩人的位置分別用點(diǎn)表示，則，經(jīng)過(guò)后，甲距離地面的高度為，點(diǎn)B相對(duì)A始終落后，此時(shí)乙距離地面的高度為，則甲、乙高度差,結(jié)合輔助角公式可知h最大值為（m），D正確，故選：ABD12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列命題正確的是（）A.B.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，C.D.數(shù)列的最大項(xiàng)為第10項(xiàng)【答案】ACD【解析】【分析】利用與的關(guān)系可求得，即可判斷A選項(xiàng)；利用分組求和可求得，即可判斷C選項(xiàng)；利用求得為偶數(shù)時(shí)的，進(jìn)而由可得為奇數(shù)時(shí)的，即可判斷B選項(xiàng)；設(shè)數(shù)列的最大項(xiàng)為第項(xiàng)，由求得的取值，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足上式，所以，故A正確；由，所以，則，故C正確；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；設(shè)數(shù)列的最大項(xiàng)為第項(xiàng)，由，解得，又，則，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為第10項(xiàng)，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的乘法法則求出的導(dǎo)數(shù)，即可求得，又，利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式即可得出結(jié)論.【詳解】由題意得，所以，又，所以切線(xiàn)方程為．故答案為：.14.已知向量，，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直數(shù)量積為求出參數(shù)的值，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，解得，所以，則，，所以在方向上的投影向量為.故答案為：15.如圖，八面體的每一個(gè)面都是正三角形，并且4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)平面內(nèi)．如果四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為30cm的正方形，那么這個(gè)八面體的表面積是______.【答案】【解析】【分析】求出每個(gè)面的面積即可求得表面積.【詳解】因?yàn)榘嗣骟w的每一個(gè)面都是正三角形，且四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，所以每個(gè)面的面積為（），則這個(gè)八面體的表面積（）.故答案為：16.已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】以中點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由此可得點(diǎn)軌跡方程，設(shè)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算和三角恒等變換知識(shí)可化簡(jiǎn)得到，結(jié)合正弦函數(shù)值域可求得結(jié)果.【詳解】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)軌跡方程為：，不妨設(shè)，，，，，，，，即的取值范圍為.故答案為：.四、解答題17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】(Ⅰ)設(shè)出公差，借助題設(shè)條件建立方程組求解；(Ⅱ)借助題設(shè)條件運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求解．【詳解】(Ⅰ)設(shè)的公差為，．，．聯(lián)立方程，解得．(Ⅱ)．18.在中，（其中分別為的對(duì)邊）．（1）求B大小；（2）若，，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化角為邊，再由余弦定理求解即可；（2）由面積公式得，根據(jù)，利用（1）式所得式變形求解，進(jìn)而求周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】在中，因?yàn)?，故由可得，，由正弦定理得，代入上式整理得，，即．則，又，故．【小問(wèn)2詳解】，得，由（1）知，，又，得，即，則，所以周長(zhǎng)為19.《九章算術(shù)》是古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，書(shū)中記載了一種名為“芻甍”的五面體．“芻薨”字面意思為茅草屋頂，圖1是一棟農(nóng)村別墅，為全新的混凝土結(jié)構(gòu)，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖2，屋頂五面體為芻薨”，其中前后兩坡屋面和是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面和是全等的三角形，點(diǎn)在平面和上射影分別為，，已知m，m，梯形的面積是面積的倍．設(shè)．（1）求屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（2）已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為，下部主體造價(jià)與其高度成正比，比例系數(shù)為．現(xiàn)欲造一棟總高度為m的別墅，試問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，總造價(jià)最低？【答案】（1）；（2）當(dāng)為時(shí)，該別墅總造價(jià)最低．【解析】【分析】（1）先求得,進(jìn)而求得屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.（2）首先求得別墅總造價(jià)，利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低.【詳解】（1）由題意，知平面，因?yàn)槠矫妫裕谥?，，，所以．所以的面積為．所以屋頂面積．所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．（2）在，，所以下部主體高度為．所以別墅總造價(jià)為．設(shè)，，則，令，得，又，所以．與隨的變化情況如下表：0所以當(dāng)時(shí)，在上有最小值．所以當(dāng)為時(shí)，該別墅總造價(jià)最低．20.已知向量，，函數(shù).（1）若，求的值；（2）已知為銳角三角形，，，為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線(xiàn)定理可得，再利用二倍角的余弦公式，結(jié)合齊次式的應(yīng)用可得解；（2）根據(jù)向量數(shù)量積公式可得，進(jìn)而可得，再利用正弦定理和面積公式可將三角形面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域問(wèn)題，確定自變量范圍，即可得解.【小問(wèn)1詳解】，，則；；【小問(wèn)2詳解】，又，所以，，得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，則故，即面積的取值范圍為.21.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足Sn+n=2an（n∈N*）．（1）證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=nan+n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求滿(mǎn)足不等式的n的最小值．【答案】（1），n∈N*；（2）11【解析】【分析】（1）易求得=1,由題意，所以，兩個(gè)式子做差變形可得遞推關(guān)系式．根據(jù)等比數(shù)列的定義可得結(jié)論，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得an．（2）bn是一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列相乘的形式，利用錯(cuò)位相減可求得其前n項(xiàng)和．再通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列以及其增減性得出滿(mǎn)足不等式的最小n值．【詳解】（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1+1=2a1，∴a1=1．∵Sn+n=2an，n∈N*，∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn1+n1=2an1，兩式相減得：an+1=2an2an1，即an=2an1+1，∴an+1=2（an1+1），∴數(shù)列{an+1}為以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，則，n∈N*；（2）∵，∴，∴，兩式相減得：，∴，由，得，設(shè)，∵＞0，∴數(shù)列{cn}為遞增數(shù)列，∵，，∴滿(mǎn)足不等式的n的最小值為11．【點(diǎn)睛】本題考