2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊(cè)第4章數(shù)列4.1數(shù)列的概念第2課時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式課件

第四章數(shù)列4.1數(shù)列的概念第2課時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式1．借助教材實(shí)例理解遞推公式的含義．2．能根據(jù)遞推公式確定數(shù)列的前幾項(xiàng)．1．了解數(shù)列遞推公式的概念，知道遞推公式是給出數(shù)列的一種方法．(數(shù)學(xué)抽象)2．能根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列．(邏輯推理)3．會(huì)應(yīng)用數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)數(shù)列的遞推公式

知識(shí)點(diǎn)

1數(shù)列的表示法意義結(jié)構(gòu)通項(xiàng)公式an可以用關(guān)于_____的式子表示an＝f(n)遞推公式數(shù)列的___________或_______之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子表示an＝f(an－1)(n>1)n相鄰兩項(xiàng)多項(xiàng)想一想：遞推公式與通項(xiàng)公式有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？提示：(1)與“不一定所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式．(2)用遞推公式給出一個(gè)數(shù)列，必須給出：①“基礎(chǔ)”——數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；②遞推關(guān)系——數(shù)列{an}的任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(n≥2)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系，并且這個(gè)關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示．練一練：已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，則a5＝_______.13數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

知識(shí)點(diǎn)

21．?dāng)?shù)列前n項(xiàng)和的概念我們把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝____________________.2．前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與它的序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．顯然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，

于是我們有an＝_____________________.a1＋a2＋…＋an想一想：在已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn求該數(shù)列通項(xiàng)公式an時(shí)需要注意什么？提示：驗(yàn)證n＝1的情況是否適合．練一練：若{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n3－2n2，則a5＋a6＝(

)A．86 B．112C．156 D．84B[解析]

Sn＝n3－2n2?a1＝－1，方法一：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n3－2n2－(n－1)3＋2(n－1)2＝n3－2n2－n3＋3n2－3n＋1＋2n2－4n＋2＝3n2－7n＋3，∴a5＝43，a6＝69，∴a5＋a6＝112.方法二：∵Sn＝n3－2n2，∴S6＝63－2×62＝144，S4＝43－2×42＝32，∴a5＋a6＝S6－S4＝112，故選B.關(guān)鍵能力?攻重難

(1)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，那么a4的值為(

)A．4 B．8C．15 D．31(2)已知數(shù)列{an}，a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，則a5＝_____.題型探究題型一由遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)典例1C8(3)根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前5項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式．①a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；③a1＝3，an＋1＝3an－2(n∈N*)．[解析]

(1)因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，所以a2＝2a1＋1＝2＋1＝3，a3＝2a2＋1＝6＋1＝7，a4＝2a3＋1＝14＋1＝15.(2)由題知a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，a5＝a4＋a3＝8.(3)①因?yàn)閍1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，所以an＝(n－1)2.③因?yàn)閍1＝3＝1＋2×30，a2＝7＝1＋2×31，a3＝19＝1＋2×32，a4＝55＝1＋2×33，a5＝163＝1＋2×34，所以an＝1＋2×3n－1.[規(guī)律方法]

由遞推公式寫數(shù)列的項(xiàng)(1)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，首先要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計(jì)算即可．(2)解答這類問題時(shí)還需注意：若知道的是首項(xiàng)，通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式．(3)若知道的是末項(xiàng)，通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?BC題型二由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式典例2＝ln(1＋n)－lnn，a1＝2，a2－a1＝ln2，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，…an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2)，以上各式相加得an＝2＋ln2＋(ln3－ln2)＋…＋[lnn－ln(n－1)]．所以an＝2＋lnn(n≥2)．因?yàn)閍1＝2也適合上式，所以an＝2＋lnn.[規(guī)律方法]

1．用“累加法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式當(dāng)an－an－1＝f(n)(n≥2)滿足一定條件時(shí)，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加來(lái)求通項(xiàng)an.2．用“累乘法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式A．2＋nlnn B．2n＋(n－1)lnnC．2n＋nlnn D．1＋n＋nlnn對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?CBA．a(chǎn)n＝n－1 B．a(chǎn)n＝n＋1C．a(chǎn)n＝n D．a(chǎn)n＝n＋2(2)a2＝22－2＋1＝3，a3＝9－6＋1＝4，所以可猜想an＝n＋1.故選B.題型三由前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)公式典例3[規(guī)律方法]

由Sn求an的一般步驟第一步，令n＝1得a1；第二步，令n≥2得an；第三步，在第二步求得的an的表達(dá)式中取n＝1，判斷其值是否等于a1；第四步，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式(若第三步中n＝1時(shí)，an表達(dá)式的值不等于a1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式一定要分段表示)．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?2×3n－1題型四數(shù)列單調(diào)性的判斷

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2－n(n∈N*)，判斷該數(shù)列的單調(diào)性．[解析]

方法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，則an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2>0(n∈N*)，即an＋1>an，故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．方法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，又易知an>0，故an＋1>an，即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．典例4[規(guī)律方法]

判斷數(shù)列是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列，關(guān)鍵就是比較相鄰兩項(xiàng)an＋1，an的大?。?2)若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且an＝n2＋λn(n∈N*)，則實(shí)數(shù)λ應(yīng)滿足什么條件？對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?由n∈N*，得an＋1－an>0，即an＋1>an.∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．(2)因?yàn)閧an}為遞增數(shù)列，所以an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，則λ>－2n－1.又n∈N*，故λ>－3.易錯(cuò)警示用函數(shù)思想解題時(shí)忽略數(shù)列的特征而致錯(cuò)

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋tn，若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則t的取值范圍是_______________