2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊第4章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用課件

4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)．2．能利用等比數(shù)列的性質(zhì)解決相關(guān)問題．3．體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．1．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，并能夠應(yīng)用該知識進行靈活運算．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)2．熟練掌握等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

知識點

1a1qn－1想一想：通項公式為an＝kqn(kq≠0)的數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎？等比數(shù)列的單調(diào)性

知識點

2已知等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則(3)當(dāng)q＝1時，等比數(shù)列{an}為_________(這個常數(shù)列中各項均不等于0)；(4)當(dāng)q<0時，等比數(shù)列{an}為擺動數(shù)列(它所有的奇數(shù)項同號，所有的偶數(shù)項也同號，但是奇數(shù)項與偶數(shù)項異號)．常數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)

知識點

31．等比數(shù)列的項之間的關(guān)系(1)兩項關(guān)系通項公式的推廣：an＝am·___________(m，n∈N*)．(2)多項關(guān)系項的運算性質(zhì)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝_____________.特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am·an＝_______.qn－map·aqan－1an－k＋13．等比數(shù)列的運算的性質(zhì)(1)若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則①{c·an}(c是非零常數(shù))是公比為_____的等比數(shù)列；②{|an|}是公比為_________的等比數(shù)列．(2)若{an}，{bn}分別是公比為q1，q2的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}是公比為_____________的等比數(shù)列．q|q|q1·q2練一練：已知{an}是等比數(shù)列，若a2＝2，a3a5＝16，則a6＝(

)A．6 B．8C．±6 D．±8[解析]

由等比數(shù)列的性質(zhì)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，可得a2a6＝a3a5＝16，代入計算得a6＝8.故選B.B

在等比數(shù)列{an}中，已知a1>0,8a2－a5＝0，則數(shù)列{an}為(

)A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．無法確定單調(diào)性解得q＝2.又a1>0，所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．題型探究題型一等比數(shù)列的單調(diào)性典例1A[規(guī)律方法]

由等比數(shù)列的通項公式可知，公比影響數(shù)列各項的符號：一般地，q>0時，等比數(shù)列各項的符號相同；q<0時，等比數(shù)列各項的符號正負交替．

在等比數(shù)列{an}中，如果公比為q，且q<1，那么等比數(shù)列{an}是(

)A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．無法確定單調(diào)性對點訓(xùn)練?D題型二等比數(shù)列的性質(zhì)

已知{an}為等比數(shù)列．(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．典例2(3)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.[規(guī)律方法]

靈活應(yīng)用性質(zhì)，能極大地提高我們的計算速度，當(dāng)然本題也可采用基本量法．

(1)在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a10a11＝_______；(2)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，則a11＝___________；(3)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝_______.對點訓(xùn)練?251或6450[解析]

(1)方法一：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝52＝25.(3)由a10a11＋a9a12＝2e5，可得a10a11＝e5.令S＝lna1＋lna2＋…＋lna20，則2S＝(lna1＋lna20)＋(lna2＋lna19)＋…＋(lna20＋lna1)＝20ln(a1a20)＝20ln(a10a11)＝20lne5＝100，所以S＝50.題型三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用A．3個 B．4個

C．5個 D．6個典例3A[解析]

①{anan＋1}是首項為a1a2，公比為q2的等比數(shù)列．②當(dāng)q≠－1時，{an＋an＋1}是等比數(shù)列，但當(dāng)q＝－1時，{an＋an＋1}不是等比數(shù)列；③當(dāng)q≠1時，{an＋1－an}是等比數(shù)列，但當(dāng)q＝1時，{an＋1－an}不是等比數(shù)列；[規(guī)律方法]

由等比數(shù)列構(gòu)造新的等比數(shù)列，一定要檢驗新的數(shù)列中的項是否為0.

設(shè){an}是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是長、寬分別為ai，ai＋1的矩形的面積(i＝1,2，…)，則{An}為等比數(shù)列的充要條件為(

)A．{an}是等比數(shù)列B．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數(shù)列C．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列D．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列，且公比相同對點訓(xùn)練?D題型四等比數(shù)列的實際應(yīng)用典例4A[分析]

建立等比數(shù)列模型?運用等比數(shù)列的性質(zhì)求解．[解析]

依題意13個音的頻率成等比數(shù)列，記為{an}，設(shè)公比為q，則a13＝a1q12，[規(guī)律方法]

關(guān)于等比數(shù)列在應(yīng)用問題中的應(yīng)用首先根據(jù)題意判斷是否是等比數(shù)列模型，其次分析等比數(shù)列的首項、公比、項數(shù)，最后利用等比數(shù)列的通項公式計算解題．A．300元 B．900元C．2400元 D．3600元對點訓(xùn)練?C(2)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2016年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(

)(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年 B．2019年C．2020年 D．2021年C(2)由已知可得130×(1＋12%)n－1≥