浙江省寧波市余姚中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

余姚中學(xué)2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)學(xué)科試卷一、單選題（本大題共8小題，共分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.在平面直角坐標(biāo)系中，斜率為的直線傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜率的定義，由直線的斜率，即可求出傾斜角.【詳解】設(shè)所求直線的傾斜角為，其中，因為該直線的斜率為，所以，則.故選：B.2.如圖，空間四邊形中，，點在上，且，點為中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的線性運算求解即得.【詳解】依題意，.故選：B3.已知向量，是平面的兩個不相等的非零向量，非零向量是直線的一個方向向量，則且是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系，分別驗證充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.【詳解】若平面，則，，，，故必要性滿足；反之，若與平行，則，，并不能保證，故充分性不滿足；所以且是的必要不充分條件.故選：B4.從分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片中，無放回地隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是5的倍數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用古典概型概率的計算公式即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，從6個數(shù)字中無放回地隨機抽取兩張，共有種，若要是5的倍數(shù)，則兩張卡片中必有一張是5；若第一張抽到的是5，共有5種抽法；若第二張抽到的是5，共有5種抽法；共10種抽法；所以所求概率為.故選：A5.美術(shù)繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法．三庭：將整個臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長的，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如圖，假設(shè)三庭中一庭的高度為2cm，五眼中一眼的寬度為1cm，若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線的方程，利用點到直線距離公式進行求解【詳解】解：如圖，以鼻尖所在位置為原點O，中庭下邊界為x軸，垂直中庭下邊界為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以，利用點斜式方程可得到直線：，整理為，所以原點O到直線距離為，故選:B6.已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個圖象中，的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用函數(shù)的圖象求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到正確選項.【詳解】由題給函數(shù)的圖象，可得當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞增；則單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為故僅選項C符合要求.故選：C7.四名同學(xué)各擲骰子5次，并各自記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，分別統(tǒng)計四名同學(xué)的記錄結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C.中位數(shù)為3，方差為 D.平均數(shù)為2，方差為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意舉出特例，結(jié)合中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)以及方差公式，即可得出答案．【詳解】對于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故A錯誤；對于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故B錯誤；對于C，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為：，方差為，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故C錯誤；對于D，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點，則方差，則平均數(shù)為2，方差為時，一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6，故D正確．故選：D．8.過直線上一點作圓：的切線，切點為，，則四邊形的面積的最小值為（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】求得圓C的圓心和半徑,由切線的性質(zhì)和四邊形的面積求法,結(jié)合勾股定理和點到直線的距離公式,計算可得所求最小值.【詳解】由圓的方程可得：，則圓心為：，半徑又為圓的切線，則又當(dāng)四邊形的面積的取最小值時，最小又垂直于直線時，最小四邊形面積的最小值為：故選：B二、多選題（本大題共4小題，共分．在每小題有多項符合題目要求）9.已知圓和圓的交點為A，B，則（）A.兩圓的圓心距B.直線AB的方程為C.圓上存在兩點P和Q使得D.圓上的點到直線AB的最大距離為【答案】BD【解析】【分析】求出兩圓圓心距，可判斷A選項；將兩圓方程作差即得公共弦AB的方程，可判斷B選項；求出，可判斷C選項；求出圓上的點到直線的最大距離，可判斷D選項.【詳解】對于A，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，，A不正確；對于B，將兩圓方程作差可得，即得公共弦AB的方程為，故B正確；對于C選項，圓心到直線的距離為，所以，對于圓上的任意兩點、，，C不正確；對于D選項，圓心到直線的距離的最大值為，D正確.故選：BD.10.拋擲一黃一白兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用表示黃色骰子朝上的點數(shù)，表示白色骰子朝上的點數(shù)，用表示一次試驗的結(jié)果，該試驗的樣本空間為，事件“關(guān)于的方程無實根”，事件“”，事件“”，事件“”則（）A.A與互斥 B.A與對立C.與相互獨立 D.與相互獨立【答案】BCD【解析】【分析】先用列舉法寫出一次試驗的基本事件，再根據(jù)條件寫出事件包含的基本事件即可判斷出選項A和B的正誤；再利用古典概率公式和事件相互獨立的判斷方法逐一對選項C和D分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得，，，包含36個樣本點.對于選項A：由，得，所以，，，，共包含30個樣本點，且，共包含6個樣本點，因為，所以A與不互斥，故A錯誤；對于選項B：因為，，共包含18個樣本點，且，共包含6個樣本點，因為，所以A與對立，故B正確；對于選項C：因為，所以，故與相互獨立，故C正確；對于選項D：因為，所以，故與相互獨立，故正確.故選：BCD.11.某短視頻平臺以講故事，贊家鄉(xiāng)，聊美食，展才藝等形式展示了豐富多彩新時代農(nóng)村生活，吸引了眾多粉絲，該平臺通過直播帶貨把家鄉(xiāng)的農(nóng)產(chǎn)品推銷到全國各地，從而推進了“新時代鄉(xiāng)村振興”．從平臺的所有主播中，隨機選取300人進行調(diào)查，其中青年人，中年人，其他人群三個年齡段的比例餅狀圖如圖1所示，各年齡段主播的性別百分比等高堆積條形圖如圖2所示，則下列說法正確的有（）A.該平臺女性主播占比的估計值為B.從所調(diào)查的主播中，隨機抽取一位參加短視頻剪輯培訓(xùn)，則被抽到的主播是中年男性的概率為C.按年齡段把所調(diào)查的主播分為三層，用分層抽樣法抽取20名主播擔(dān)當(dāng)平臺監(jiān)管，若樣本量按比例分配，則中年主播應(yīng)抽取6名D.從所調(diào)查的主播中，隨機選取一位做為幸運主播，已知該幸運主播是青年人的條件下，又是女性的概率為【答案】AC【解析】【分析】A選項，結(jié)合圖1和圖2求出三個年齡段中女性人數(shù)；B選項，在A選項基礎(chǔ)上，求出相應(yīng)的概率；C選項，求出三個年齡段主播的比例，從而得到中年主播應(yīng)抽取的人數(shù)；D選項，設(shè)出事件，利用條件概率公式求出答案.【詳解】A選項，由圖1可以看出選取300人中其他人群人數(shù)為，青年人人數(shù)為，中年人人數(shù)為，由圖2可以看出青年人中女性人數(shù)為，中年人中女性人數(shù)為，其他人群中，女性人數(shù)為，故該平臺女性主播占比的估計值為，A正確；B選項，中年人中男性人數(shù)為，故從所調(diào)查的主播中，隨機抽取一位參加短視頻剪輯培訓(xùn)，則被抽到的主播是中年男性的概率為，B錯誤；C選項，三個年齡段人數(shù)比例為青年主播，中年主播和其他人群主播比例為，故用分層抽樣法抽取20名主播擔(dān)當(dāng)平臺監(jiān)管，若樣本量按比例分配，則中年主播應(yīng)抽取名，C正確；D選項，從所調(diào)查的主播中，隨機選取一位做為幸運主播，設(shè)幸運主播是青年人為事件，隨機選取一位做為幸運主播，設(shè)幸運主播是女性主播為事件，則，，，D錯誤.故選：AC12.如圖，棱長為6的正方體中，點、滿足，，其中、，點是正方體表面上一動點，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，∥平面B.當(dāng)時，若∥平面，則的最大值為C.當(dāng)時，若，則點的軌跡長度為D.過A、、三點作正方體的截面，截面圖形可以為矩形【答案】ABC【解析】【分析】以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷AC選項；分別取、中點、，連接、、、、，，找出點P的軌跡，結(jié)合圖形求出的最大值，可判斷B選項；作出截面，分析截面的形狀，可判斷D選項.【詳解】以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，對于A選項：當(dāng)時，則，因為，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，可得，所以，則，因為平面，所以當(dāng)時，∥平面，故A正確；對于B選項：當(dāng)時，為中點，分別取、中點、，連接、、、、，因為、分別為、的中點，所以∥，又因為∥且，則四邊形為平行四邊形，可得∥，所以∥，且平面，平面，所以∥平面，同理可得，∥平面，因為，、平面，所以平面∥平面，當(dāng)點為的邊上一點（異于點）時，則平面，則∥平面，故點的軌跡為的邊（除去點），則，同理可得，結(jié)合圖形可得，故B正確；對于選項C：當(dāng)時，、分別為、的中點，如圖所示：此時點、、，，當(dāng)點在平面內(nèi)運動時，設(shè)點，其中，，則，因為，則，解得，設(shè)點的軌跡分別交棱、于點、，則、，當(dāng)點在平面內(nèi)運動時，設(shè)點，其中，，則，則，設(shè)點的軌跡交棱于點，則，設(shè)點的軌跡交棱于點，因為平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，同理可得∥，所以四邊形為平行四邊形，且，，因此點的軌跡的長度即為平行四邊形的周長，故C正確；對于D選項：設(shè)截面交棱于點，連接、，由題意可知，截面與平面重合，因為平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，同理可得∥，所以四邊形平行四邊形，因為，其中，則，，且，即與不可能垂直，所以平行四邊形不可能為矩形，即過A、、三點的截面不可能是矩形，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題（本大題共4小題，共分）13.若直線與直線平行，則______．【答案】或1【解析】【分析】根據(jù)直線平行得到，解得答案并驗證即可.【詳解】直線與直線平行，則，解得或，當(dāng)或時，驗證兩條直線不重合，故答案為：或1.14.點，，，若在線段上，且滿足，則點的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合題意，利用,建立方程組解出即可.【詳解】設(shè)的坐標(biāo)為，則，，因為在線段上，且滿足，所以,即，解得：，所以點的坐標(biāo)為．故答案為：.15.已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).設(shè)直線與曲線與分別交于兩點，若對任意，均有成立，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】把直線分別與曲線與的交點代入函數(shù)中，則由得，構(gòu)造新函數(shù)，使，均有成立問題轉(zhuǎn)化為即可.【詳解】，且直線與曲線與分別交于兩點，則，，，當(dāng)時，令，則，由函數(shù)和（差）的單調(diào)性知在區(qū)間上單調(diào)遞增且有，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)有極小值也是最小值，最小值為.對任意，均有成立，化為.故答案為：【點睛】本題的關(guān)鍵在于從直線與兩曲線的交點中解出，再構(gòu)造新函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為求此函數(shù)的最值.16.已知函數(shù)，點是函數(shù)圖象上不同的兩個點，設(shè)為坐標(biāo)原點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，求得切線方程為，將原點代入該切線方程求得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到切線方程為，再設(shè)過原點的切線為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，求得切線為，設(shè)直線與的夾角為，結(jié)合，即可求解.【詳解】當(dāng)時，，可得，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，設(shè)過原點的直線與函數(shù)的圖象相切的直線方程為，其中切點坐標(biāo)為，則切線方程為，將原點代入該切線方程可得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，可得，所以，切線方程為，又由函數(shù)，設(shè)過原點的切線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，令，解得或（舍去），即切線方程為設(shè)直線與的夾角為，直線的傾斜角為，則，可得，結(jié)合圖象可知，當(dāng)均在的圖象上時，，可得，所以.故答案為：.【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.四、解答題（本大題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者．某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽；從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）求樣本成績的第75百分位數(shù)；（3）已知落在的平均成績是51，方差是7，落在的平均成績?yōu)?3，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差．【答案】（1）（2）84（3）兩組市民成績的總平均數(shù)是59，總方差是37【解析】【分析】（1）根據(jù)每組小矩形的面積之和為1即可求解；（2）利用頻率分布直方圖及百分位數(shù)公式即可求得第75百分位數(shù)；（3）將總體平均數(shù)代入總體方差公式即可求得總方差．【小問1詳解】由每組小矩形的面積之和為1，則，解得．【小問2詳解】結(jié)合（1）可得，成績落在內(nèi)的頻率為，成績落在內(nèi)的頻率為，設(shè)第75百分位數(shù)為，則，解得，故第75百分位數(shù)為84．【小問3詳解】由圖可知，成績在的市民人數(shù)為，成績在的市民人數(shù)為，故兩組成績的總平均數(shù)為，設(shè)成績在中10人的分?jǐn)?shù)分別為，，，…，；成績在中20人的分?jǐn)?shù)分別為，，，…，，則由題意可得，，，即，，所以，所以兩組市民成績的總平均數(shù)是59，總方差是37．18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，為中點，點在上，且．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）線段上是否存在點，使得平面，說明理由？【答案】（1）證明見解析（2）（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定定理證明即可.（2）向量法求解平面與平面夾角的余弦值即可.（3）設(shè)是線段上一點，則存在使得，利用線面平行的向量證法證明線面平行即可.【小問1詳解】在中，．所以，即；又因為，在平面中，面，面，，所以平面；【小問2詳解】因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，由（1）已證，且已知，故以為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，，因為為中點，所以，由知，，設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，于是，又因為由（1）已證平面，所以平面的法向量為，所以，平面與平面夾角的余弦值；小問3詳解】設(shè)是線段上一點，則存在使得，因為，所以，因為平面，所以平面當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，解得，因為，所以線段上不存在使得平面．19.如圖，公路圍成的是一塊頂角為的角形耕地，其中，在該塊土地中處有一小型建筑，經(jīng)測量，它到公路的距離分別為，現(xiàn)要過點修建一條直線公路，將三條公路圍成的區(qū)域建成一個工業(yè)園.（1）以為坐標(biāo)原點建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出點的坐標(biāo)；（2）三條公路圍成的工業(yè)園區(qū)的面積恰為，求公路所在直線方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)以為坐標(biāo)原點,所在直線為軸，過點且垂直于的直線為的方程，設(shè)出點坐標(biāo)，代點到直線的距離公式即可求出所求；(2)由(1)及題意設(shè)出直線的方程后，即可求得點的橫坐標(biāo)，與點的縱坐標(biāo)，由求得后，即可求解.【詳解】(1)以為坐標(biāo)原點,所在直線為軸，過點且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系由題意可設(shè)點，且直線的斜率為，并經(jīng)過點，故直線的方程為：，又因點到的距離為，所以，解得或(舍去)所以點坐標(biāo)為.(2)由題意可知直線的斜率一定存在，故設(shè)其直線方程為：，與直線的方程：，聯(lián)立后解得:，對直線方程：，令，得，所以，解得，所以直線方程為：，即:.【點睛】本題以直線方程的相關(guān)知識為背景，旨在考查學(xué)生分析和解決問題的能力，屬于中檔題.20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）證明：當(dāng)時，，使得．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性最值得關(guān)系證明不等式能成立問題.【小問1詳解】易知，,當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】由（1）可知，當(dāng)時，在處取得最小值，若，使得，只需，令，由，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，所以，，使得．21.已知橢圓：過點，且離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）橢圓和圓：．過點作直線和，且兩直線的斜率之積等于1，與圓相切于點，與橢圓相交于不同的兩點、，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）設(shè)的斜率為，得到的方程為，的方程為，根據(jù)題意，得到，聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到，將代入上式，得出的不等式，即可求解.【小問1詳解】解：由橢圓過點，且離心率為，可得，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：由題意，兩直線、的斜率均存在，且兩直線的斜率之積為1，設(shè)的斜率為，則的斜率為，則直線的方程為，即，直線的方程為，即，因為與圓相切于點，所以，化簡得，由，整理得，所以，化簡得，，由，可得，代入上式化簡得，，解得，又因為，可得，得，所以的取值范圍是．【點睛】方法策略：解答圓錐曲線最值與范圍問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（