新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章計數(shù)原理6.2排列與組合6.2.1排列6.2.2排列數(shù)學(xué)案新人教A版選擇性必修第三冊

6.2.1排列6.2.2排列數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．通過實例，理解排列、排列數(shù)的概念．2．能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式，并掌握排列數(shù)公式及其變形，能運用排列數(shù)公式進(jìn)行相關(guān)計算．3．能運用排列知識解決一些有關(guān)排列的簡單實際問題．核心素養(yǎng)1．通過學(xué)習(xí)排列的概念及排列數(shù)公式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助排列數(shù)公式進(jìn)行計算，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).知識點1排列的概念(1)一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．(2)特別地，m＝n時的排列(即取出所有元素的排列)稱為全排列．想一想：兩個排列相同的條件是什么？提示：兩個排列相同則應(yīng)具備排列的元素及排列的順序均相同．練一練：思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)兩個排列的元素相同，則這兩個排列是相同的排列．(×)(2)從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，共有多少種選法屬于排列問題．(√)(3)有十二名學(xué)生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案屬于排列問題．(×)(4)從3,5,7,9中任取兩個數(shù)進(jìn)行指數(shù)運算，可以得到多少個冪屬于排列問題．(√)(5)從1,2,3,4中任取兩個數(shù)作為點的坐標(biāo)，可以得到多少個點屬于排列問題．(√)知識點2排列數(shù)及排列數(shù)公式排列數(shù)的定義從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù)，稱為從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)排列數(shù)的表示Aeq\o\al(m,n)(m，n∈N*，m≤n)排列數(shù)公式乘積式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)階乘式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,(n－m)！)階乘Aeq\o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！規(guī)定0?。?，Aeq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m－1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1)想一想：排列與排列數(shù)的區(qū)別是什么？提示：“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念，“排列”是指“按照一定的順序排成一列”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事，“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m，n都是正整數(shù)，m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)”，它是一個數(shù)．如從a，b，c中任取兩個元素的排列有以下6種形式：ab,ac,ba,bc,ca,cb，這里每一種形式都是一個排列，而排列數(shù)則是6.練一練：(1)Aeq\o\al(4,5)＝_120__.(用數(shù)字表示)(2)1×2×3×4×5×6×7×8＝_Aeq\o\al(8,8)__.(用排列數(shù)表示)[解析](1)Aeq\o\al(4,5)＝5×4×3×2＝120.(2)最大的數(shù)為8共8個因式，所以可表示為Aeq\o\al(8,8).題型探究題型一排列的概念典例1判斷下列問題是否為排列問題．(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達(dá)航線的飛機票的價格(假設(shè)來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學(xué)習(xí)小組；(5)選3個人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員；(6)某班40名學(xué)生在假期相互通信．[分析]判斷是否為排列問題關(guān)鍵是選出的元素在被安排時，是否與順序有關(guān)．若與順序有關(guān)，就是排列問題，否則就不是排列問題．[解析](1)中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．(5)中每個人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．所以在上述各題中(2)(5)(6)屬于排列問題．[規(guī)律方法]1.解決本題的關(guān)鍵有兩點：一是“取出元素不重復(fù)”，二是“與順序有關(guān)”．2．判斷一個具體問題是不是排列問題，就看取出元素后排列是有序的還是無序的，而檢驗它是否有序的依據(jù)就是變換元素的“位置”(這里的“位置”應(yīng)視具體問題的性質(zhì)和條件來決定)，看其結(jié)果是否有變化，有變化就是排列問題，無變化就不是排列問題．對點訓(xùn)練?判斷下列問題是不是排列問題．(1)從1到10十個自然數(shù)中任取兩個數(shù)組成直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點的坐標(biāo)，可得多少個不同的點的坐標(biāo)？(2)從10名同學(xué)中任抽兩名同學(xué)去學(xué)校開座談會，有多少種不同的抽取方法？(3)某商場有四個大門，若從一個門進(jìn)去，購買物品后再從另一個門出來，不同的出入方式共有多少種？[解析](1)由于取出的兩數(shù)組成點的坐標(biāo)與哪一個數(shù)作橫坐標(biāo)，哪一個數(shù)作縱坐標(biāo)的順序有關(guān)，所以這是一個排到問題．(2)因為從10名同學(xué)中抽取兩人去學(xué)校開座談會的方式不用考慮兩人的順序，所以這不是排列問題．(3)因為從一門進(jìn)，從另一門出是有順序的，所以是排列問題．綜上，(1)(3)是排列問題，(2)不是排列問題．題型二排列數(shù)的計算公式典例2(1)計算Aeq\o\al(3,15)和Aeq\o\al(6,6)；(2)18×17×16×…×12×11等于(A)A．Aeq\o\al(8,18) B．Aeq\o\al(9,18)C．Aeq\o\al(10,18) D．Aeq\o\al(11,18)(3)設(shè)x∈N*，且x>15，則(x－2)(x－3)(x－4)…(x－15)可化簡為(B)A．Aeq\o\al(13,x－2) B．Aeq\o\al(14,x－2)C．Aeq\o\al(13,x－15) D．Aeq\o\al(14,x－15)[分析](1)直接用排列數(shù)公式計算；(2)(3)用排列數(shù)公式的定義解答即可．[解析](1)Aeq\o\al(3,15)＝15×14×13＝2730，Aeq\o\al(6,6)＝6×5×4×3×2×1＝720.(2)18×17×16×…×12×11＝eq\f(18！,10！)＝eq\f(18！,(18－8)！)＝Aeq\o\al(8,18).故選A．(3)先確定最大數(shù)，即n，再確定因式的個數(shù)，即m，易知n＝x－2，m＝(x－2)－(x－15)＋1＝14，所以原式＝Aeq\o\al(14,x－2).故選B.[規(guī)律方法]排列數(shù)的計算方法(1)排列數(shù)的計算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進(jìn)行，應(yīng)用時注意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個排列數(shù)，其中最大的是排列對象的總個數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個數(shù)是選取對象的個數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆用．(2)應(yīng)用排列數(shù)公式的階乘形式時，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計算，這樣往往會減少運算量．對點訓(xùn)練?(1)已知Aeq\o\al(m,n)＝11×10×9×8×…×5，則m＋n為18；(2)計算：eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(5,5))＝36.[解析](1)因為Aeq\o\al(m,n)＝11×10×9×8×…×5，所以n＝11，m＝(11－5)＋1＝7，m＋n＝18.(2)Aeq\o\al(6,7)＝7×6×5×4×3×2，Aeq\o\al(5,6)＝6×5×4×3×2，Aeq\o\al(4,5)＝5×4×3×2，所以eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(5,5))＝7×6－6＝36.題型三排列與排列數(shù)公式的簡單應(yīng)用典例3(1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有7種不同的書(每種不少于3本)，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？[分析](1)從7本不同的書中選出3本送給3名同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；(2)給每人的書均可以從7種不同的書中任選1本，各人得到哪本書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步乘法計數(shù)原理進(jìn)行計算．[解析](1)從7本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，相當(dāng)于從7個元素中任取3個元素的一個排列，所以共有Aeq\o\al(3,7)＝7×6×5＝210(種)不同的送法．(2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有7×7×7＝343(種)不同的送法．[規(guī)律方法](1)沒有限制的排列問題，即對所排列的元素或所排列的位置沒有特別的限制，這一類問題相對簡單，分清元素和位置即可．(2)典型的排列問題，用排列數(shù)計算其排列方法數(shù)；排列指從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，由排列的概念可知排列問題中元素不能重復(fù)選取．對點訓(xùn)練?將4名醫(yī)生與4名護(hù)士分配到四個不同單位，每個單位分配一名醫(yī)生與一名護(hù)士，共有多少種不同的分配方案？[解析]完成這件事可以分為兩步．第一步：把4名醫(yī)生分配到四個不同的單位，等價于從4個不同元素中取出4個元素的排列問題，有Aeq\o\al(4,4)種方法．第二步：把4名護(hù)士分配到四個不同的單位，也有Aeq\o\al(4,4)種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的分配方案有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(4,4)＝576種．易錯警示忽視排列數(shù)公式的隱含條件致誤典例4解不等式Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8).[錯解]由排列數(shù)公式得eq\f(8！,(8－x)！)<6×eq\f(8！,(10－x)！)，化簡得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12.∵x∈N*，∴x＝8,9,10,11.[辨析]在排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)中，隱含條件m≤n，m∈N*，n∈N*，錯解沒有考慮到x－2>0,8≥x，導(dǎo)致錯誤．[正解]由Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)，得eq\f(8！,(8－x)！)<6×eq\f(8！,(10－x)！)，化簡得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，①又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8≥x，,x－2>0，))∴2<x≤8，②由①②及x∈N*得x＝8.[點評]注意公式的適用條件．?dāng)?shù)學(xué)中有好多公式、定理、法則等都是有限制條件的，如在排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)中，m，n∈N*，n≥m，忽視限制條件就可能導(dǎo)致錯誤．1．(多選)已知下列問題，其中是排列問題的有(AD)A．從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組B．從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加一項活動C．從a，b，c，d四個字母中取出2個字母D．從1,2,3,4四個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)[解析]A是排列問題，因為兩名同學(xué)參加的活動與順序有關(guān)；B不是排列問題，因為兩名同學(xué)參加的活動與順序無關(guān)；C不是排列問題，因為取出的兩個字母與順序無關(guān)；D是排列問題，因為取出的兩個數(shù)字還需要按順序排成一列．2．4×5×6×…×(n－1)×n等于(D)A．Aeq\o\al(4,n) B．Aeq\o\al(n－4,n)C．n?。?! D．Aeq\o\al(n－3,n)[解析]4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3(個)因式，最大數(shù)為n，最小數(shù)為4，故4×5×6×…×(n－1)×n＝Aeq\o\al(n－3,n).3．不等式Aeq\o\al(2,n－1)－n<7的解集為(C)A．{n|－1<n<5} B．{1,2,3,4}C．{3,4} D．{