矩陣的分塊-初等行變換

1.3.2矩陣的分塊一、矩陣的分塊

對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算.具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為的，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.1.分塊矩陣的定義：用若干條貫穿矩陣A的縱線和橫線將A分割，分出來(lái)的每一個(gè)小矩陣稱為A的子塊或子矩陣，以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣。例1：即二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則例

分塊求逆（重點(diǎn)）例3設(shè)解(7)反分塊對(duì)角陣的逆陣：因此，有：例題3：設(shè)A、B均為可逆方陣，試證分塊矩陣也可逆，且（用滿足定義的條件證明即可）說(shuō)明：可用此結(jié)論，求此類分塊矩陣的逆陣。定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:11.4一.初等（行/列）變換矩陣的初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．定義2矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．逆變換逆變換逆變換2.矩陣等價(jià)等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)．3.初等變換的應(yīng)用：應(yīng)用1：定理3（P27）

例.對(duì)下列矩陣B實(shí)施初等行變換特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．注意：行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．

行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形．例如，特點(diǎn)：所有與矩陣等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣.說(shuō)明：E(i,j)A相當(dāng)于對(duì)A施行互換第i、j行的初等行變換。AE(i,j)相當(dāng)于對(duì)A施行互換第i、j列的初等列變換。（2）初等倍乘方陣：（3）初等倍加方陣：定理1.4.7-1.4.81.4.3、矩陣秩的概念矩陣的秩例1解例2解例3解計(jì)算A的3階子式，另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡(jiǎn)單！問(wèn)題：經(jīng)過(guò)變換矩陣的秩變嗎？證二、矩陣秩的求法經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變．證畢初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例4解由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知?jiǎng)t這個(gè)子式便是的一個(gè)最高階非零子式.例5解分析：三、小結(jié)(2)初等變換法1.矩陣秩的概念2.求矩陣秩的方法(1)利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，