第五章立體的投影

第5章立體的投影第4章立體的投影5.2曲面立體的投影5.3平面立體的截交線5.4曲面立體的截交線

5.1平面立體的投影5.5平面立體的相貫5.6平面立體與曲面立體的相貫5.7兩曲面立體的相貫5.1

平面立體的投影

常見的基本幾何體平面基本體曲面基本體

平面立體的投影實(shí)質(zhì)是關(guān)于其表面上點(diǎn)、線、面投影的集合，且以棱邊的投影為主要特征，對于可見的輪廓線，其投影以粗實(shí)線表示，不可見的輪廓線，則以虛線表示。在投影圖中，當(dāng)多種圖線發(fā)生重疊時(shí)，應(yīng)以粗實(shí)線、虛線、點(diǎn)畫線等順序優(yōu)先繪制。一、棱柱1、棱柱的組成由兩個(gè)底面和幾個(gè)側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影如圖,為一正六棱柱，其頂面、底面均為水平面，它們的水平投影反映實(shí)形，正面及側(cè)面投影積聚為一直線。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影棱柱有六個(gè)側(cè)棱面，前后棱面為正平面，它們的正面投影反映實(shí)形，水平投影及側(cè)面投影積聚為一條直線。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影棱柱的其它四個(gè)側(cè)棱面均為鉛垂面，其水平投影均積聚為直線。正面投影和側(cè)面投影均為類似形。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影圖a(b)d(c)ea’b’d’c’e’a”b”d”c”XZYHYW2、棱柱的三視圖作投影圖時(shí)，先畫出正六棱柱的水平投影正六邊形，再根據(jù)其它投影規(guī)律畫出其它的兩個(gè)投影。如圖3-2所示。棱柱具有這樣的投影特點(diǎn)：一個(gè)投影反映底面實(shí)形，而其余兩投影則為矩形或復(fù)合矩形。a

aa

3、棱柱表面上取點(diǎn)(b’)bb’’CC’C’’注意：從現(xiàn)在開始，投影圖中將不畫出投影軸。取點(diǎn)方法：首先判斷點(diǎn)在哪個(gè)棱面內(nèi)。取點(diǎn)方法同在平面表面取點(diǎn)，但要注意可見性的判別。1、棱錐的組成由一個(gè)底面和幾個(gè)側(cè)棱面組成。側(cè)棱線交于有限遠(yuǎn)的一點(diǎn)——錐頂。二、棱錐SABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ正三棱錐的投影左圖所示為一正三棱錐，錐頂為S，其底面為△ABC，是水平面，水平投影△abc反映實(shí)形。棱面△SAB、△SBC是一般位置平面，它們的各個(gè)投影均為類似形。棱面△SAC為側(cè)垂面，其側(cè)面投影s”a”c”為一直線。2、棱錐的三視圖投影作三視圖時(shí)，先畫出底面△ABC的各個(gè)投影，再作出錐頂S的各個(gè)投影，然后連接各棱線，即得正三棱錐的三面投影。s’sabca’c’b’a”(b”)c”s”正三棱錐的三面投影圖XYHZYWOSABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ方法一：連接s’m’并延長，與a’c’交于2’，2’m2在投影ac上求出Ⅱ點(diǎn)的水平投影2。連接s2，即求出直線SⅡ的水平投影。根據(jù)在直線上的點(diǎn)的投影規(guī)律，求出M點(diǎn)的水平投影m。再根據(jù)知二求三的方法，求出m”。m”a’sbc正三棱錐的三面投影圖s’ac’b’a”(b”)c”s”m’XYHZYW3、三棱錐表面上取點(diǎn)M方法二：1’1m過m’作m’1’∥a’c’，交s’a’于1’。求出Ⅰ點(diǎn)的水平投影1。過1作1m∥ac，再根據(jù)點(diǎn)在直線上的幾何條件，求出m。再根據(jù)知二求三的方法，求出m”。（具體步驟略)sc’b’正三棱錐的三面投影圖s’abca’a”(b”)c”s”m’n

n

nN三棱錐表面上取點(diǎn)NK（k

）三棱錐表面上取點(diǎn)Kk

k5.2曲面立體的投影回轉(zhuǎn)體（面）的形成

工程中常見的曲面立體是回轉(zhuǎn)體，其中圓柱、圓錐、球、環(huán)等為基本回轉(zhuǎn)體?；剞D(zhuǎn)體是一動線（直線、圓弧或其它曲線）繞一定線（直線）回轉(zhuǎn)一周形成的曲面。動線稱為母線，曲面上任意位置的母線稱為素線?；剞D(zhuǎn)面用轉(zhuǎn)向輪廓線表示。轉(zhuǎn)向輪廓線是與曲面相切的投射線與投影面的交點(diǎn)所組成的線段，它是回轉(zhuǎn)體判斷可見性的分界線。在投影圖上表示回轉(zhuǎn)體，就是把組成立體的回轉(zhuǎn)面或平面表示出來，然后判斷可見性。如圖所示。轉(zhuǎn)向輪廓線轉(zhuǎn)向輪廓線1、圓柱的形成圓柱表面由圓柱面和頂面、底面所組成。圓柱面是由一直母線繞與之平行的軸線回轉(zhuǎn)而成。一、圓柱XZY圓柱的三面投影圖HVWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”2、圓柱的投影如圖所示，圓柱的軸線垂直于H面，其上下底圓為水平面，水平投影反映實(shí)形，其正面和側(cè)面投影重影為一直線。而圓柱面則用曲面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線表示。

一個(gè)投影為圓，其余二投影均為矩形。規(guī)定：回轉(zhuǎn)體對某投影面的轉(zhuǎn)向輪廓線，只能在該投影面上畫出，而在其它投影面上則不再畫出。XZYHWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”Vaba’a’b’b’a”(b”)a”(b”)c’(d’)c’(d’)cdd’d’c’c’圓柱的投影3、圓柱投影圖的繪制（1）先繪出圓柱的對稱線、回轉(zhuǎn)軸線。（2）繪出圓柱的頂面和底面。（3）畫出正面轉(zhuǎn)向輪廓線和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。正面轉(zhuǎn)向輪廓線側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線在圓柱表面上取點(diǎn)已知圓柱表面上的點(diǎn)A、B、M及N正面投影a’、b’、m′和n′，求它們的其余兩投影。4、圓柱表面上取點(diǎn)a’a”ab’(b”)b1、圓錐的形成二、圓錐圓錐表面由圓錐面和底圓組成。它是一母線繞與它相交的軸線回轉(zhuǎn)而成。XZY圖3-11圓錐的三面投影圖HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)2、圓錐的投影如圖所示，圓錐軸線垂直H面，底面為水平面，它的水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影重影為一直線。對于圓錐面，要分別畫出正面和側(cè)面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線。正面轉(zhuǎn)向輪廓線側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線圓錐投影圖的繪制s’a’b’sabcdc”d”c’(d’)s”a’(b’)（1）先繪出圓錐的對稱線、回轉(zhuǎn)軸線。（2）在水平投影面上繪出圓錐底圓，正面投影和側(cè)面投影積聚為直線。

(3)作出錐頂?shù)恼嫱队昂蛡?cè)面投影并畫出正面轉(zhuǎn)向輪廓線和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。圓錐的投影XZYHVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)3、圓錐表面上取點(diǎn)在圓錐表面上求點(diǎn)，有兩種方法：即素線法和緯圓法。方法一：素線法過M點(diǎn)及錐頂S作一條素線SⅠ,先求出素線SⅠ的投影,再求出素線上的M點(diǎn)。XZY圓錐的三面投影圖HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)mm’m”M已知圓錐表面的點(diǎn)M的正面投影m’,求出M點(diǎn)的其它投影。過m’s’作圓錐表面上的素線，延長交底圓為1’。1’11”mm”a’(b’)圖3-14圓錐的投影及表面上的點(diǎn)ss”abcdc”d”s’a’b’c’(d’)m’求出素線的水平投影s1及側(cè)面投影s”1”。求出M點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影。XZY圓錐的三面投影圖HVWacdba’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)ACBS方法二：緯圓法過M點(diǎn)作一平行于底面的水平輔助圓，該圓的正面投影為過m’且平行于a’b’的直線2’3’，它們的水平投影為一直徑等于2’3’的圓，m在圓周上，由此求出m及m”。mMm’m”mmmnn()n()已知圓錐表面上點(diǎn)M及N的正面投影m′和n′，求它們的其余兩投影。在圓錐表面上取點(diǎn)a’a(a”)球的表面是球面。球面是一條圓母線繞過圓心且在同一平面上的軸線回轉(zhuǎn)而形成的。1、圓球的形成回車?yán)^續(xù)三、圓球球的三個(gè)投影均為圓，其直徑與球直徑相等，但三個(gè)投影面上的圓是不同的轉(zhuǎn)向輪廓線?；剀?yán)^續(xù)2、球的投影圓球的畫法及投影特點(diǎn)3、圓球表面上取點(diǎn)5.3

平面立體截交線1、平面截切的基本形式截交線與截?cái)嗝娼仄矫娼亟痪€截?cái)嗝?/p>

平面立體的截交線是截平面和平面立體表面的共有線，其形狀取決于平面體的形狀及截平面相對平面體的截切位置。平面立體的截交線通常是一個(gè)封閉的平面多邊形，它的頂點(diǎn)是平面立體的棱線或底邊與截平面的交點(diǎn)。截交線的每條邊是截平面與棱面的交線，或是截平面和截平面的交線。求截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線截交線的性質(zhì)：

共有性：截交線既屬于截平面，又屬于立體表面。2、平面截切體的求法⒈求截交線的兩種方法：★求各棱線與截平面的交點(diǎn)→棱線法?！锴蟾骼饷媾c截平面的交線→棱面法。關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影。⒉求截交線的步驟：☆截平面與體的相對位置☆截平面與投影面的相對位置確定截交線的投影特性確定截交線的形狀★空間及投影分析★畫出截交線的投影分別求出截平面與棱面的交線，或截平面間的交線，連接成多邊形，并判別可見性。例1、求如圖所示三棱錐被正垂面所截切，求作截交線的水平投影和側(cè)面投影。

平面與三棱錐相交s’a’b’c’c”a”b”sPvs”(1)求Pv與s’a’、s’b’、s’c’的交點(diǎn)1’、2’、3’為截平面與各棱線的交點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。1’2’3’(2)根據(jù)線上取點(diǎn)的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。11”2”23(3)連接各點(diǎn)的同面投影即等截交線的三個(gè)投影。(4)補(bǔ)全棱線的投影。3”1’2’3’(4’)1”3”4”1243

例2求做立體被截切后的投影2”例3:求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。P

截交線的形狀？ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ1

5

4

3

2

8

7

6

截交線的投影特性？2

≡3

≡6

≡7

1

≡8

4

≡5

求截交線15476328分析棱線的投影檢查截交線的投影5.4曲面立體的截交線截交線的性質(zhì)：截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置截交線都是封閉的平面圖形求曲面立體截交線的一般步驟分析截平面與投影面的相對位置。(2)分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置，以便確定截交線的形狀。(3)分別求出截平面與回轉(zhuǎn)體表面的交點(diǎn)或交線，并依次連接，即為截交線的投影。求曲面立體截交線作圖步驟（1）求特殊點(diǎn)（2）求一般點(diǎn)（3）連線特殊點(diǎn)：確定截交線形狀和范圍的點(diǎn)，包括：（1）曲面外形輪廓線上的點(diǎn)；（2）曲面邊界上的點(diǎn)；（3）反映截交線特征的點(diǎn)；（4）極限位置點(diǎn)。1.圓柱截交線

截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對位置。矩形例1：求圓柱截交線（特殊點(diǎn)）求中間點(diǎn)1

2

3

(4)12341

3

4

2

(8)7

5

(6)78567

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561

2

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(4)12341

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56連線45°截平面與圓柱軸線成45°時(shí)。（3）求截交線；（4）整理圓柱體輪廓素線的投影。（2）分析截平面與體的相對位置；（1）分析截平面與投影面的相對位置；●●解題步驟：同一立體被多個(gè)平面截切，要逐一進(jìn)行截交線的分析和作圖。例2: 已知主、俯視圖，求作左視圖。

根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀。2.圓錐截交線空間分析：雙曲線例1：已知圓錐被平行于軸線的平面所截，求其截交線。例1：已知圓錐被平行于軸線的平面所截，求其截交線。例2:根據(jù)軸測圖，畫斜切圓錐三視圖。例3:根據(jù)軸測圖，畫被切圓錐的三視圖。例4:已知主、左視圖，求畫俯視圖。答案：兩曲面立體相交，在一般情況下其相貫線是封閉的空間曲線，特殊情況下也可能是平面曲線或直線。在解決相貫線作圖時(shí)，必須首先分清楚兩相交曲面的幾何形狀、相對位置及其大小，并對相貫線形成的情況（一般情況、特殊情況）進(jìn)行初步的判斷。5.7兩曲面立體相交曲面立體與曲面立體相交空間曲線曲線兩圓柱軸心線垂直相交曲面立體與曲面立體相交內(nèi)表面相貫線外表面相貫線1.利用投影積聚性求作相貫線在兩曲面立體相交時(shí)，