奧數(shù)27-表面積與體積

第27周外表積與體積〔一〕專題簡析：小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立體圖形是認(rèn)識上的一個飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。因此，要牢固掌握這些幾何圖形的特征和有關(guān)的計算方法，能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃危B(yǎng)成“數(shù)、形〞結(jié)合的好習(xí)慣，解題時要認(rèn)真細(xì)致觀察，合理大膽想象，正確靈活地計算。在解答立體圖形的外表積問題時，要注意以下幾點：〔1〕充分利用正方體六個面的面積都相等，每個面都是正方形的特點?！?〕把一個立體圖形切成兩局部，新增加的外表積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個立體圖形粘合到一起，減少的外表積等于粘合面積的兩倍?！?〕假設(shè)把幾個長方體拼成一個外表積最大的長方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來。假設(shè)把幾個長方體拼成一個外表積最小的長方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來。例題1：從一個棱長10厘米的正方體木塊上挖去一個長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體，剩下局部的外表積是多少？這是一道開放題，方法有多種：①按圖27-1所示，沿著一條棱挖，剩下局部的外表積為592平方厘米。②按圖27-2所示，在某個面挖，剩下局部的外表積為632平方厘米。③按圖27-3所示，挖通某兩個對面，剩下局部的外表積為672平方厘米。練習(xí)1：1、從一個長10厘米、寬6厘米、高5厘米的長方體木塊上挖去一個棱長2厘米的小正方體，剩下局部的外表積是多少？2、把一個長為12分米，寬為6分米，高為9分米的長方體木塊鋸成兩個想同的小廠房體木塊，這兩個小長方體的外表積之和，比原來長方體的外表積增加了多少平方分米？3、在一個棱長是4厘米的立方體上挖一個棱長是1厘米的小正方體后，外表積會發(fā)生怎樣的變化？例題2：把19個棱長為3厘米的正方體重疊起來，如圖27-4所示，拼成一個立體圖形，求這個立體圖形的外表積。要求這個復(fù)雜形體的外表積，必須從整體入手，從上、左、前三個方向觀察，每個方向上的小正方體各面就組合成了如下列圖形〔如圖27-5所示〕。而從另外三個方向上看到的面積與以上三個方向的面積是相等的。整個立體圖形的外表積可采用〔S上+S左+S前〕×2來計算?！?×3×9+3×3×8+3×3×10〕×2=〔81+72+90〕×2=243×2=486〔平方厘米〕答：這個立體圖形的外表積是486平方厘米。練習(xí)2：1、用棱長是1厘米的立方體拼成圖27-6所示的立體圖形。求這個立體圖形的外表積。2、一堆積木〔如圖27-7所示〕，是由16塊棱長是2厘米的小正方體堆成的。它們的外表積是多少平方厘米？3、一個正方體的外表積是384平方厘米，把這個正方體平均分割成64個相等的小正方體。每個小正方體的外表積是多少平方厘米？例題3：把兩個長、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長方體，拼成一個大長方體，這個大長方體的外表積最少是多少平方厘米？把兩個相同的大長方體拼成一個大廠房體，需要把兩個相同面拼合，所得大廠房體的外表積就減少了兩個拼合面的面積。要使大長方體的外表積最小，就必須使兩個拼合面的面積最大，即減少兩個9×7的面?！?×9+9×4+7×4〕×2×2—9×7×2=〔63+36+28〕×4—126=508—126=382〔平方厘米〕答：這個大廠房體的外表積最少是382平方厘米。練習(xí)3：1、把底面積為20平方厘米的兩個相等的正方體拼成一個長方體，長方體的外表積是多少？2、將一個外表積為30平方厘米的正方體等分成兩個長方體，再將這兩個長方體拼成一個大長方體。求大長方體的外表積是多少。3、用6塊〔如圖27-8所示〕長方體木塊拼成一個大長方體，有許多種做法，其中外表積最小的是多少平方厘米？例題4：一個長方體，如果長增加2厘米，那么體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，那么體積增加90立方厘米；如果高增加4厘米，那么體積增加96立方里，求原長方體的外表積。我們知道：體積=長×寬×高；由長增加2厘米，體積增加40立方厘米，可知寬×高=40÷2=20〔平方厘米〕；由寬增加3厘米，體積增加90立方厘米，可知長×高=90÷3=30〔平方厘米〕；由高增加4厘米，體積增加96立方厘米，可知長×寬=96÷4=24〔平方厘米〕。而長方體的外表積=〔長×寬+長×高+寬×高〕×2=〔20+30+24〕×2=148〔平方厘米〕。即40÷2=20〔平方厘米〕90÷3=30〔平方厘米〕96÷4=24〔平方厘米〕〔30+20+24〕×2=74×2=148〔平方厘米〕答：原長方體的外表積是148平方厘米。練習(xí)4：1、一個長方體，如果長減少2厘米，那么體積減少48立方厘米；如果寬增加5厘米，那么體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，那么體積增加96立方厘米。原來廠房體的外表積是多少平方厘米？2、一個廠房體木塊，從下部和上局部別截去高為3厘米和2厘米的長方體后，便成為一個正方體，其外表積減少了120平方厘米。原來廠房體的體積是多少立方厘米？3、有一個廠房體如下列圖所示，它的正面和上面的面積之和是209。如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個長方體的體積是多少？例題5：如圖27-10所示，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成一個物體。求這個物體的外表積。如果分別求出三個圓柱的外表積，再減去重疊局部的面積，這樣計算比擬麻煩。實際上三個向上的面的面積和恰好是大圓柱的一個底面積。這樣，這個物體的外表積就等于一個大圓柱的外表積加上中、小圓柱的側(cè)面積。3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1=3.14×〔4.5+3+2+1〕=3.14×10.5=32.97〔平方米〕答：這個物體的外表積是32.97平方米。練習(xí)5：1、一個棱長為40厘米的正方體零件〔如圖27-11所示〕的上、下兩個面上，各有一個直徑為4厘米的圓孔，孔深為10厘米。求這個零件的外表積。2、用鐵皮做一個如圖27-12所示的工件〔單位：厘米〕，需用鐵皮多少平方厘米？3、如圖27-13所示，在一個立方體的兩對側(cè)面的中心各打通一個長方體的洞，在上、下側(cè)面的中心打通一個圓柱形的洞。立方體棱長為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長為4厘米的正方形，上、下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓，求該立方體的外表積和體積〔∏取3.14〕。答案：練1切下一塊后，切口處的外表減少了前、后、上面3個1×1的正方形，新增加了左右下面三個1×1的正方形，所以外表積大小不變。4×4×6－2×2×2＝92平方厘米中心挖去的洞的體積是：12×3×3－13×2＝7立方厘米，挖洞后木塊的體積：33－7＝20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面積是12×4－12＝3平方厘米，挖洞后木塊的外表積：〔32+3〕×6＝72平方厘米。練2從三個不同的方向看，得到圖答27－1：從上往下看從前往后看從左往右看〔1×1×12+1×1×8+1×1×7〕×2＝54平方厘米〔2×2×9+2×2×9+2×2×7〕×2＝200平方厘米因為64＝4×4×4，所以大正方形的棱長等于小正方形棱長的4被，那么大正方體的外表積是小正方體的4×4＝16倍，小正方體的外表積是：384÷16＝24平方厘米練3將正方體分為兩個長方體，外表積就增加了2個30÷6＝15平方厘米，拼成大正方體，外表積將減少兩個拼合面的面積，正好是1個30÷6＝15平方厘米，所以大長方體的外表積是30+30+6＝35平方厘米。要是外表積最小，就要盡可能地把大的面拼合在一起。外表積最小的拼法有如圖答27－2兩種：外表積都是〔3×3+3×4×2〕×2＝66平方厘米。設(shè)大長方體的寬和高為x分米，長為2x分米，左面和右面的面積就是x2平方分米。其余的面積為2x2平方分米，根據(jù)題意，大長方體的外表積是：8x2+8×2x2＝600x＝5大長方體的體積是：5×5×2×5＝250立方分米練41、〔48÷2+65÷5+96÷4〕×2＝122平方厘米2、減少的外表積實質(zhì)是高度分別為2厘米和3厘米的前、后、左、右四個面的面積之和。把兩個合并起來，用120÷〔2+3〕＝24厘米，求到正方體底面的周長，正方體的棱長就是24÷4＝6厘米。圓長方體的體積是：6×6×〔6+3+2〕＝396立方厘米3、長方體正面及上面的面積之和恰好等于這個長方體的長×〔寬+高〕，209＝11×19，所以長＝11，寬+高＝19，或長＝19，寬+高＝11，根據(jù)題意，寬和高只能是17和2，長方體的體積就是11×17×2＝374練5402×6+3.14×4×10×2＝9651.2平方厘米用兩個同樣的工件可拼成圖答27－3的圓柱體。3.14×15×〔46+54〕÷2＝2355平方厘米3、立方體的外表積和是：6×102－42