5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（解析版）

5．4．3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象【知識點梳理】要點一：正切函數(shù)的圖象1、正切函數(shù)，且，圖象：要點二：正切函數(shù)的性質(zhì)1、定義域：2、值域：由正切函數(shù)的圖象可知，當(dāng)且無限接近于時，無限增大，記作（趨向于正無窮大）；當(dāng)，無限減小，記作（趨向于負(fù)無窮大）．也可以從單位圓上的正切線來考慮．因此可以取任何實數(shù)值，但沒有最大值和最小值．稱直線，為正切函數(shù)的漸進(jìn)線．3、周期性：周期函數(shù)，最小正周期是4、奇偶性：奇函數(shù)，即．5、單調(diào)性：在開區(qū)間，內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增要點詮釋：1、觀察正切函數(shù)的圖象還可得到：點是函數(shù)，，且的對稱中心，正切函數(shù)圖象沒有對稱軸2、正切函數(shù)在開區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增，不能說正切函數(shù)在整個定義域上是增函數(shù)．知識點三、正切函數(shù)型的性質(zhì)1、定義域：將“”視為一個“整體”．令解得．2、值域：3、單調(diào)區(qū)間：（1）把“”視為一個“整體”；（2）時，函數(shù)單調(diào)性與的相同（反）；（3）解不等式，得出范圍．4、周期：【題型歸納目錄】題型一：正切函數(shù)的定義域問題題型二：正切函數(shù)的對稱性問題題型三：正切函數(shù)的周期性問題題型四：正切函數(shù)的單調(diào)性問題題型五：正切函數(shù)的最值與值域問題題型六：正切函數(shù)的奇偶性問題題型七：正切函數(shù)的圖像問題題型八：解不等式問題題型九：比較大小問題題型十：正切函數(shù)的綜合問題題型十一：根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題【典型例題】題型一：正切函數(shù)的定義域問題例1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由正切函數(shù)的定義域，令，，即，所以函數(shù)的定義域為.故選:D．例2．（2022·遼寧·沈陽市奉天高級中學(xué)高一期中）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以.故的定義域為.故選：A例3．（2022·寧夏·銀川一中高一期中）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，則則函數(shù)的定義域為故選：C變式1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，令，，解得，所以函數(shù)的定義域是．故選：D變式2．（2022·全國·高一單元測試）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】．故選：C.【方法技巧與總結(jié)】求三角函數(shù)定義域時，常常歸納為解三角不等式組，這時可利用基本三角函數(shù)的圖象求得解集．題型二：正切函數(shù)的對稱性問題例4．（2022·陜西西安·高一期末）下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．最小正周期為B．圖像關(guān)于點成中心對稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．圖像關(guān)于直線成軸對稱【答案】B【解析】函數(shù)，當(dāng)時，，所以圖象關(guān)于點成中心對稱，選項B正確；函數(shù)的最小正周期為，所以A錯誤；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以C錯誤；正切函數(shù)不是軸對稱函數(shù)，所以D錯誤．故選：B．例5．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一期末）函數(shù)圖象的一個對稱中心為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，所以的對稱中心為，取時，得.故選：A例6．（2022·遼寧·沈陽市第三十一中學(xué)高一期中）已知函數(shù)的圖像與直線的相鄰兩個交點的距離為，則的圖像的一個對稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)的圖像與直線的相鄰兩個交點的距離為，則有的周期，解得，于是得，所以的圖像的對稱中心橫坐標(biāo)方程滿足，（），解得，（）,可知為其一個對稱中心.故選：C變式3．（2022·河南·南陽市第二完全學(xué)校高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若兩函數(shù)圖象在某一確定區(qū)間內(nèi)共有個交點，則的值分別為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，則函數(shù)是由函數(shù)經(jīng)過向右平移1個單位，然后再向上平移兩個單位得到的，所以函數(shù)關(guān)于點對稱，且不過點，函數(shù)是由正切函數(shù)的圖像橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，向上平移兩個單位得到的，所以函數(shù)關(guān)于點對稱，且不過點，由于區(qū)間關(guān)于直線對稱，則在區(qū)間內(nèi)共有偶數(shù)個交點，則若，關(guān)于點對稱，則，所以，.故選：B.變式4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為，對稱中心為B．的最小正周期為，對稱中心為C．的最小正周期為，對稱中心為D．的最小正周期為，對稱中心為【答案】D【解析】因為函數(shù)，所以的最小正周期為，對稱中心為，故選：D變式5．（2022·河南平頂山·高一期末）函數(shù)和的圖象在區(qū)間上交點的橫坐標(biāo)之和為（

）A．6 B．4 C．8 D．12【答案】C【解析】，，令，則，所以函數(shù)的對稱中心為，因為是由函數(shù)向右平移2個單位得到的，所以關(guān)于對稱，故是函數(shù)和的對稱中心，畫出兩函數(shù)的圖像如圖所示：故兩函數(shù)有四個交點，設(shè)從左到右依次為，根據(jù)對稱性，則關(guān)于對稱，也關(guān)于對稱，所以，即函數(shù)和的圖象在區(qū)間上交點的橫坐標(biāo)之和為8.故選：C.變式6．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，點和是其相鄰的兩個對稱中心，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】正切函數(shù)相鄰兩個對稱中心的距離，函數(shù)的周期為，即，解得；又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，；由得，；，當(dāng)時，，則，由，，得，，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，令，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為滿足條件．故選：．變式7．（2022·河南駐馬店·高一期末（文））若直線與函數(shù)的圖象相鄰的兩個交點之間的距離為1,則函數(shù)圖象的對稱中心為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線與函數(shù)的圖象相鄰的兩個交點之間的距離為1則的對稱中心橫坐標(biāo)為：對稱中心為故答案選A【方法技巧與總結(jié)】正切曲線與軸的交點及其漸近線與軸的交點都是正切曲線的對稱中心，正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．題型三：正切函數(shù)的周期性問題例7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中最小正周期為的有（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③【答案】A【解析】對于①，，其最小正周期為;對于②，結(jié)合圖象，知的最小正周期為．對于③，的最小正周期．對于④，的最小正周期．故選：A．例8．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意，.故選：B例9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】函數(shù)的圖象向右平移個單位得，依題意，，，解得，而，有，，所以的最小值為2．故選：C變式8．（2022·北京市八一中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)是（

）A．周期為的奇函數(shù) B．周期為的奇函數(shù)C．周期為的偶函數(shù) D．周期為的偶函數(shù)【答案】B【解析】由正切函數(shù)性質(zhì)知：的最小正周期為，定義域關(guān)于原點對稱且，即為奇函數(shù).所以是周期為的奇函數(shù).故選：B變式9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖像相鄰的兩支截直線所的線段長度為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)的圖像相鄰的兩支截直線所的線段長度為，所以函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，所以，所以．故選：B．變式10．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝3tan的最小正周期為，則正數(shù)ω＝（

）A．4 B．3C．2 D．1【答案】C【解析】∵，∴，∴，故選：C.變式11．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的圖象是由的圖象先向右平移個單位長度，再把軸下方的圖象翻折到軸上方得到，故的最小正周期與的相同，為，故選：D.變式12．（2022·全國·高一專題練習(xí)）直線與函數(shù)的圖像相交，則相鄰兩交點間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為直線與函數(shù)的圖像相交，根據(jù)正切函數(shù)的圖像可知，相鄰交點間的距離是一個周期，周期.故選：C變式13．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若，則等于（

）A．- B． C．0 D．-2【答案】C【解析】，；，，，，，，；故選：．【方法技巧與總結(jié)】一般地，函數(shù)的最小正周期為，常常利用此公式來求周期．題型四：正切函數(shù)的單調(diào)性問題例10．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性可得，欲求的單調(diào)增區(qū)間，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故選：A.例11．（2022·廣西·北海市教育教學(xué)研究室高一期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．， B．C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)，令，，解得，．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B例12．（2022·山東濟(jì)寧·高一期中）已知函數(shù)(1)求的定義域和最小正周期；(2)求的單調(diào)區(qū)間．【解析】(1)要使函數(shù)有意義，只需，解得，所以函數(shù)的定義域為．函數(shù)的最小正周期為．(2)由于正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，對于函數(shù)令，解得，即在上單調(diào)遞增而函數(shù)與單調(diào)性相反故函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為變式14．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的定義域和值域．(2)討論的最小正周期和單調(diào)區(qū)間．(3)求的對稱中心．【解析】(1)函數(shù)，，，即，；的定義域為，，值域為；(2)，的最小正周期是；又令，，，，的單調(diào)增區(qū)間為，，，無減區(qū)間；(3)令，，解得，，此時；函數(shù)的對稱中心為，，．【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)（，，都是常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間的方法若，由于在每一個單調(diào)區(qū)間上遞增，故可用“整體代換”的思想，令，，解得的范圍即可．若，可利用誘導(dǎo)公式先把的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得的范圍即可．題型五：正切函數(shù)的最值與值域問題例13．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域為______.【答案】【解析】設(shè)，因為，可得，因為正切函數(shù)在上的值域為，即函數(shù)在的值域為.故答案為：.例14．（2022·上海·華東師范大學(xué)附屬天山學(xué)校高一期中）函數(shù)，的值域為______．【答案】【解析】因為，所以，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.例15．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域為_______________.【答案】【解析】由得，，故當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，有最大值.故答案為：.變式15．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并給出證明；(2)求函數(shù)的最小值．【解析】（1）是偶函數(shù)，證明如下：因為函數(shù)，所以的定義域為，所以的定義域關(guān)于原點對稱，又，即，所以是偶函數(shù)．（2）因為函數(shù)，去絕對值有：，所以當(dāng)時，取得最小值2．所以函數(shù)的最小值2.變式16．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)華僑中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有4次失去意義，則的最小值為______．【答案】【解析】根據(jù)題意，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有意義，，，故，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有4次失去意義，所以，解得且，又因為且，所以.故答案為：.變式17．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)，的值域是______．【答案】【解析】．∵，∴．由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故函數(shù)，的值域為．故答案為：.變式18．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)，的圖象都在軸上方，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】因為函數(shù)，的圖象都在軸上方，所以對于恒成立，所以對于恒成立，因為，所以，，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等，而三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)．題型六：正切函數(shù)的奇偶性問題例16．（2022·河南焦作·高一期中）已知函數(shù)（，為常實數(shù)），且，則______．【答案】【解析】因為，定義域關(guān)于原點對稱，設(shè)，，則是奇函數(shù)，因為，所以，所以．故答案為：.例17．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的奇偶性是__________．【答案】奇函數(shù)【解析】由，得或，∴函數(shù)定義域為∪，關(guān)于原點對稱．又，∴，∴是奇函數(shù)．故答案為：奇函數(shù).例18．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，且，則______．【答案】0【解析】由，所以又故答案為：0變式19．（2022·山東聊城·高一期末）已知函數(shù)，若，則（

）A．5 B．3 C．1 D．0【答案】A【解析】依題意，令，則是奇函數(shù)，，于是得，所以.故選：A變式20．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列命題中，為真命題的是（

）A．函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)B．函數(shù)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)C．函數(shù)的最小正周期為D．函數(shù)的最大值為【答案】D【解析】A.函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，,所以是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù),A錯誤.B.函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，，所以是奇函數(shù),但定義域不連續(xù)，不能說是增函數(shù),B錯誤.C.函數(shù)，利用得最小正周期不為，C錯誤,D.函數(shù)的最大值是2，又在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以的最大值是lg2,D正確,故選：D.變式21．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，若，則（

）A．－100 B．102 C．98 D．－102【答案】B【解析】由已知，又，所以，，故選：B．變式22．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高一階段練習(xí)（文））定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)．若的最小正周期是，且當(dāng)時，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知可得.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】奇函數(shù)，即．題型七：正切函數(shù)的圖像問題例19．（2022·全國·高一課時練習(xí)）作出函數(shù)的圖象.【解析】函數(shù)是將在軸下方部分的圖象關(guān)于軸翻折上去，所以的圖象如下所示：例20．（2022·上?！じ咭徽n時練習(xí)）作函數(shù)的圖象.【解析】先作出的圖象，因為，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，可作出的圖象，所以的圖象如下所示：例21．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期?對稱中心；（2）作出函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)的簡圖.【解析】（1），，令，，解得，，故對稱中心為.（2）令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的圖象與軸的一個交點坐標(biāo)為，圖象上的點有、兩點，在這個周期內(nèi)左右兩側(cè)相鄰的漸近線方程分別為和，從而得到函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖(如圖).變式23．（2022·北京市第三十五中學(xué)高一階段練習(xí)）在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與的圖像交點的個數(shù)是（

）個.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】當(dāng)時，故是函數(shù)與的一個交點，當(dāng)時，則，因為，，所以，則，即，所以，此時函數(shù)與無交點，當(dāng)時，，，所以，此時函數(shù)與無交點，當(dāng)時，故是函數(shù)與的一個交點，綜上可得函數(shù)與的圖像在內(nèi)有且僅有個交點；故選：C變式24．（2022·天津天津·高一期末）函數(shù)的圖象大致是(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】∵f(x)定義域[－1，1]關(guān)于原點對稱，且，∴f(x)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，故AC不符題意；在區(qū)間上，，，則有，故D不符題意，B正確.故選：B．變式25．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，兩點，則（為坐標(biāo)原點）的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，化簡得即.解得，因為，所以在上有兩個不同的解，設(shè)為且.故，且.故，所以，點關(guān)于點（，0）對稱，所以的面積為.故選：B.變式26．（2022·全國·高一課時練習(xí)）（為常數(shù)）與圖象相交時，相鄰兩交點間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的最小正周期為，所以（為常數(shù)）與的圖象相交時，相鄰兩交點間的距離為.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】作正切型函數(shù)圖象應(yīng)注意的問題作的圖象一般是先作出其在一個周期內(nèi)的圖象，由于在一個周期內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，不需要使用五點法，直接利用單調(diào)性作圖即可．題型八：解不等式問題例22．（2022·陜西渭南·高一期末）已知且，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，則即，解得，所以，當(dāng)時，則即，解得，所以，當(dāng)時，此時無意義，故舍去，綜上可得.故選：B例23．（2022·全國·高一課時練習(xí)）滿足的三角形的內(nèi)角A的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為A為三角形的內(nèi)角，所以．又，結(jié)合正切曲線得．故選：D例24．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】在上，，因此在上，的解是，．故選：C．變式27．（2022·上?！じ咭徽n時練習(xí)）使得不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由不等式，根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得，即實數(shù)x的取值范圍是.故選：C.變式28．（2022·全國·高一課時練習(xí)）觀察正切曲線，滿足條件的的范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴．∴．故選：C.變式29．（2022·全國·高一課時練習(xí)）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以結(jié)合函數(shù)的圖象可得，

故選：B.變式30．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若，則的取值集合為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在這個周期內(nèi)，所對應(yīng)的區(qū)間是，故在上，的解集為.故選：C【方法技巧與總結(jié)】整體法，再利用圖像解決．題型九：比較大小問題例25．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）比較大?。簍an________tan.【答案】【解析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得，，因為，且函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以.故答案為：例26．（2022·陜西·西北大學(xué)附中高一階段練習(xí)）設(shè)則a，b，c的大小關(guān)系是_________．（用“<”號連接）【答案】【解析】，和在上遞增，在上遞減，所以.所以.故答案為：例27．（2022·北京延慶·高一期中）①②③④其中正確命題的序號是___________.【答案】②③.【解析】①：由于函數(shù)在上是增函數(shù)，，，故①不成立；②因為在上是增函數(shù)，又所以，故②正確；③，，所以，故③正確；④，，因為在上是減函數(shù)，所以，所以，故④錯誤；故答案為：②③.變式31．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）若，試比較，并按從小到大的順序排列：_________.【答案】【解析】因為，令，，解得，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，又函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)，，因為，所以故答案為：變式32．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）若是銳角三角形的兩內(nèi)角，則_____1（填>或<）.【答案】【解析】，即，.故答案為：變式33．（2022·全國·高一專題練習(xí)），，，從小到大的排列順序為________.【答案】【解析】且在上單調(diào)遞增，，又，.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】比較兩個三角函數(shù)值的大小比較兩個同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導(dǎo)公式把兩個角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．題型十：正切函數(shù)的綜合問題例28．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)作出此函數(shù)在一個周期的開區(qū)間內(nèi)的簡圖；(2)求出此函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間；(3)寫出此函數(shù)圖象的漸近線方程和所有對稱中心的坐標(biāo)．【解析】(1)函數(shù)在一個周期開區(qū)間內(nèi)，列表如下：0不存在0不存在函數(shù)在一個周期的開區(qū)間內(nèi)的圖象，如圖：(2)由，，得，，所以函數(shù)的定義域為，函數(shù)的周期，由，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.(3)由，，得，，所以函數(shù)圖象的漸近線方程為，，由，，得，，所以所有對稱中心的坐標(biāo)為.例29．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知(1)求函數(shù)的周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)試比較與的大?。窘馕觥?1)函數(shù)，其周期由，解得：．所以單調(diào)遞減區(qū)間為：，．．(2)，，即．例30．（2022·江西省臨川第二中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知函數(shù)的圖象與x軸相鄰兩個交點的距離為，且圖象關(guān)于點對稱.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式的解集.【解析】(1)由題意知，函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝，即，因為ω>0，所以ω＝2，從而f(x)＝tan(2x＋φ)，因為函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點M對稱，所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.因為0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan.令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得，即所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z，無單調(diào)遞減區(qū)間．(2)由（1）知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤，得Z，即Z所以不等式－1≤f(x)≤的解集為.題型十一：根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題例31．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，所以，所以，解得，即．故答案為：例32．（2022·北京·高一期末）函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的一個取值可以為___________.【答案】（答案不唯一）【解析】因為正切函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，又函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以.故答案為：（答案不唯一）例33．（2022·上海市建平中學(xué)高一期中）若函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_____________．【答案】【解析】因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，且函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，所以，解得，即.故答案為：.變式34．（2022·上海市奉賢中學(xué)高一期中）已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則（

）A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0C．ω≥1 D．ω≤－1【答案】B【解析】由，可得，由題意函數(shù)在內(nèi)是嚴(yán)格減函數(shù)，可得且滿足，解得.故選：B.變式35．（2022·全國·高一專題練習(xí)）直線與函數(shù)的圖象的相鄰兩個交點的距離為，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為直線與函數(shù)的圖象的相鄰兩個交點的距離為，所以，所以，即由可得當(dāng)時可得在上單調(diào)遞增因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以實數(shù)的取值范圍是故選：B變式36．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，可得，由，可得，則，所以.故選：B.變式37．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，所以,又因為為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，所以圖像關(guān)于對稱，所以函數(shù)在內(nèi)也是減函數(shù)，所以，所以，即.又，所以.故選：B.變式38．（2022·江西·南昌二中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，點和是函數(shù)圖像的相鄰的兩個對稱中心，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】點和是函數(shù)圖像的相鄰的兩個對稱中心且正切函數(shù)圖像相鄰兩個對稱中心的距離，函數(shù)的最小正周期，即，解得.又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，.由，，得，.，當(dāng)時，；當(dāng)時，.①當(dāng)時，，由，，得，，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，滿足條件.②當(dāng)時，.由，，得，，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，當(dāng)，時，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間分別為，，不符合題意，故舍去.綜上所述，.故選：A.變式39．（2022·江西·贛縣中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)在上為減函數(shù)，且在上的最大值為，則的值可能為（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由題意，函數(shù)在上為減函數(shù)，可得且，解得，當(dāng)時，解得，故選A．【方法技巧與總結(jié)】已知正切函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，多用數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想求解．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·山東·濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)高一階段練習(xí)）下列說法正確的是（）A．B．C．函數(shù)的最小正周期為D．的值域是【答案】D【解析】對于A，，故錯誤；對于B，，故錯誤；對于C，函數(shù)的最小正周期為，可能小于零，故錯誤；對于D，的值域是，正確.故選：D2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若直線（）與函數(shù)的圖象無公共點，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為直線與函數(shù)的圖象無公共點，且，所以，所以，故可化為，所以解得所以不等式的解集為，故選：B．3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)，的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，因為，所以．因為正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以．故選：A．4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，則“函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】的圖象關(guān)于原點對稱，故，因為可以推出，但推不出，所以“函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱”是“”的必要不充分條件.故選：B.5．（2022·陜西渭南·高一期末）若函數(shù)的圖象相鄰兩支截直線所得線段長為，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖像與直線不相交 D．函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱【答案】D【解析】由已知選項A顯然正確，則，，，時，，B正確；時，，無意義，C正確；時，，，D錯誤，故選：D．6．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高一期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，，，，故.故選：D.7．（2022·河南南陽·高一階段練習(xí)）現(xiàn)有四個命題：①；②③函數(shù)的圖像存在對稱中心；④函數(shù)的最小正周期為．其中真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為在上單調(diào)遞增，且，所以①是假命題．當(dāng)時，，所以②是真命題．因為，所以為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，所以③是真命題．的最小正周期為，則函數(shù)的最小正周期，所以④是真命題．故選：C．8．（2022·全國·高一課時練習(xí)）田忌賽馬是中國古代對策論與運籌思想運用的著名范例．故事中齊將田忌與齊王賽馬，孫臏獻(xiàn)策以下馬對齊王上馬，以上馬對齊王中馬，以中馬對齊王下馬，結(jié)果田忌一負(fù)兩勝，從而獲勝．在比大小游戲中（大者為勝），已知我方的三個數(shù)為，，，對方的三個數(shù)以及排序如表：第一局第二局第三局若，則我方必勝的排序是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【解析】因為當(dāng)時，，，所以，，即．又，所以，，，故類比“田忌賽馬”，我方必勝的排序是．故選：D.二、多選題9．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是的一個周期 B．C．的定義域是 D．的圖象關(guān)于點對稱【答案】ABC【解析】對A，畫出函數(shù)的圖象（如圖），易得的周期為，取，則是的一個周期，故A正確；對B，是偶函數(shù)，則，故B正確；對C，易得的定義域是，故C正確；對D，由圖可得點不是函數(shù)圖象的對稱中心，故D錯誤．故選：ABC10．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的圖象過點，則方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】∵的圖象過點，∴，∴，，又，∴，∴，由，得或，又，∴，或，即或.故選：BD.11．（2022·全國·高一課時練習(xí)）關(guān)于函數(shù)的說法中正確的是（

）A．定義域是， B．圖像關(guān)于點對稱C．圖像關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AB【解析】對于A，因為函數(shù)，由，，得，，故A正確；對于B，函數(shù)，因為，所以圖像關(guān)于點對稱，故B正確；對于C，函數(shù)，所以函數(shù)不存在對稱軸，故C錯誤；對于D，函數(shù)，因為，所以，又區(qū)間不是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯誤．故選：AB.12．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對于A，因為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．故A正確；對于B,．故B不正確；對于C