專題15 乘法公式的應(yīng)用專題探究（解析版）

專題15乘法公式的應(yīng)用專題探究（一）利用乘法公式求面積：【類題訓(xùn)練】1．如圖，從邊長為a的正方形中去掉一個(gè)邊長為b的小正方形，然后用剩余的部分剪開后拼成一個(gè)長方形，上述操作能驗(yàn)證的等式是（）A．a(chǎn)2+ab＝a（a+b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】用代數(shù)式分別表示左圖、右圖的涂色部分的面積即可．【解答】解：左圖，涂色部分的面積為a2﹣b2，拼成右圖的長為（a+b），寬為（a﹣b），因此面積為（a+b）（a﹣b），因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：D．2．如圖1，將邊長為a的正方形紙片，剪去一個(gè)邊長為b的小正方形紙片．再沿著圖1中的虛線剪開，把剪成的兩部分（1）和（2）拼成如圖2的平行四邊形，這兩個(gè)圖能解釋下列哪個(gè)等式（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)2+b2＝（a+b）（a﹣b） D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】用代數(shù)式分別表示各個(gè)部分的面積，再根據(jù)拼圖前后面積之間的關(guān)系可得結(jié)論．【解答】解：圖1中（1）（2）兩部分的面積和可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，圖2是由（1）（2）兩部分拼成的底為a+b，高為a﹣b的平行四邊形，因此面積為（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：D．3．如圖，將大正方形通過剪、割、拼后分解成新的圖形，利用等面積法可證明某些乘法公式，在給出的4幅拼法中，其中能夠驗(yàn)證平方差公式的有（）A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③④【分析】根據(jù)各個(gè)圖形的拼圖的面積計(jì)算方法分別用等式表示后，再進(jìn)行判斷即可．【解答】解：圖1可以驗(yàn)證的等式為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此圖1可以驗(yàn)證乘法公式；圖2可以驗(yàn)證的等式為：a2＝（a﹣b）2+b2+2b（a﹣b），因此圖2不能驗(yàn)證乘法公式；圖3可以驗(yàn)證的等式為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此圖3可以驗(yàn)證乘法公式；圖4可以驗(yàn)證的等式為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，因此圖4不能驗(yàn)證乘法公式；所以能夠驗(yàn)證乘法公式的是：圖1，圖3，故選：C．4．如圖，M是AG的中點(diǎn)，B是AG上一點(diǎn)．分別以AB、BG為邊，作正方形ABCD和正方形BGFE，連接MD和MF．設(shè)AB＝a，BG＝b，且a+b＝10，ab＝21，則圖中陰影部分的面積為（）A．46 B．33 C．28 D．52【分析】用兩個(gè)正方形的面積之和，減去兩個(gè)空白三角形的面積進(jìn)行列式計(jì)算．【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，由題意得，圖中陰影部分的面積為：a2+b2﹣（+）＝（a+b）2﹣2ab﹣，＝﹣2ab，∴當(dāng)a+b＝10，ab＝21時(shí)，原式＝﹣2×21＝75﹣42＝33，故選：B．5．如圖，有兩個(gè)正方形紙板A，B，紙板A與B的面積之和為34．現(xiàn)將紙板B按甲方式放在紙板A的內(nèi)部，陰影部分的面積為4．若將紙板A，B按乙方式并列放置后，構(gòu)造新的正方形，則陰影部分的面積為（）A．30 B．32 C．34 D．36【分析】先設(shè)A，B的邊長分別是a，b，再用a，b邊上陰影部分的面積求解．【解答】解：設(shè)A的邊長a，B的邊長是b，則a2+b2＝34，根據(jù)題意得：（a﹣b）2＝4，∴a2+b2﹣2ab＝4，∴2ab＝30，∴乙圖陰影部分的面積為：（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝30，故選：A．6．如圖①，現(xiàn)有邊長為b和a+b的正方形紙片各一張，長和寬分別為b，a的長方形紙片一張，其中a＜b．把紙片Ⅰ，Ⅲ按圖②所示的方式放入紙片Ⅱ內(nèi)，已知圖②中陰影部分的面積滿足S1＝6S2，則a，b滿足的關(guān)系式為（）A．3b＝4a B．2b＝3a C．3b＝5a D．b＝2a【分析】用含a，b的代數(shù)式表示出S1，S2，即可得出答案．【解答】解：由題意得，，，∵S1＝6S2，∴2ab＝6（ab﹣a2），2ab＝6ab﹣6a2，∵a≠0，∴b＝3b﹣3a，∴2b＝3a，故選：B．7．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，一位同學(xué)用四張完全一樣的長方形紙片（長為a，寬為b，a＞b）搭成如圖一個(gè)大正方形，面積為132，中間空缺的小正方形的面積為28．下列結(jié)論中，正確的有（）①（a﹣b）2＝28；②ab＝26；③a2+b2＝80；④a2﹣b2＝64A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】根據(jù)拼圖得出，（a+b）2＝132，（a﹣b）2＝28，ab＝＝26，再根據(jù)公式變形逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由拼圖可知，大正方形的面積的邊長為a+b，中間空缺的小正方形的邊長為a﹣b，根據(jù)題意可知，（a+b）2＝132，（a﹣b）2＝28，ab＝＝26，∴a2+2ab+b2＝132，∴a2+b2＝132﹣2×26＝80，由于（a+b）2＝132，（a﹣b）2＝28，而a＞b，∴a+b＝，a﹣b＝，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4，因此①②③正確，④不正確，故選：A．8．邊長為a的正方形ABCD與邊長為b的正方形DEFG按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)A，D，G在同一直線上．已知a+b＝10，ab＝24．則圖中陰影部分的面積為．【分析】用代數(shù)式表示陰影部分的面積，再利用公式變形后，代入計(jì)算即可．【解答】解：由S陰影部分＝S正方形ABCD+S正方形DEFG﹣S△ABC﹣S△AFG可得，S陰影部分＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]＝×（100﹣72）＝14，故答案為：14．9．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明同學(xué)嘗試將正方形紙片剪去一個(gè)小正方形，剩余部分沿虛線剪開，拼成新的圖形．現(xiàn)給出下列3種不同的剪、拼方案，其中能夠驗(yàn)證平方差公式的方案是．（請(qǐng)?zhí)钌险_的序號(hào)）【分析】針對(duì)每一種拼法，利用代數(shù)式表示拼接前、后的面積，適當(dāng)化簡(jiǎn)或變形可得答案．【解答】解：在圖①中，左邊的圖形陰影部分的面積＝a2﹣b2，右邊圖形中陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以驗(yàn)證平方差公式；在圖②中，陰影部分的面積相等，左邊陰影部分的面積＝a2﹣b2，右邊陰影部分面積＝（a+b）?（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以驗(yàn)證平方差公式；在圖③中，陰影部分的面積相等，左邊陰影部分的面積＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，右邊陰影部分面積＝2a?2b＝4ab，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2a?2b，不可以驗(yàn)證平方差公式．故答案為：①②．10．建黨100周年主題活動(dòng)中，702班潯潯設(shè)計(jì)了如圖1的“紅色徽章”其設(shè)計(jì)原理是：如圖2，在邊長為a的正方形EFGH四周分別放置四個(gè)邊長為b的小正方形，構(gòu)造了一個(gè)大正方形ABCD，并畫出陰影部分圖形，形成了“紅色徽章”的圖標(biāo)．現(xiàn)將陰影部分圖形面積記作S1，每一個(gè)邊長為b的小正方形面積記作S2，若S1＝6S2，則的值是．【分析】利用正方形ABCD的面積減去空白部分的面積求出陰影部分的面積S1，結(jié)合S1＝6S2，求出a與b的比值．【解答】解：∵S1＝（a+2b）2﹣b2﹣a（a+2b）﹣b2﹣（a+b）2＝2ab+b2，S2＝b2，S1＝6S2，∴2ab+b2＝6b2，∴．故答案為：．11．如圖是A型卡片（邊長為a的正方形）、B型卡片（長為a、寬為b的長方形）、C型卡片（邊長為b的正方形）．現(xiàn)有4張A卡片，11張B卡片，7張C卡片，取其中的若干張卡片（3種類型卡片都要取到）無縫隙、無重疊地拼正方形或長方形，下列說法正確的是．（只填序號(hào)）①可拼成邊長為a+3b的正方形；②可拼成長、寬分別為2a+4b、2a+b的長方形；③用所有卡片可拼成一個(gè)大長方形；④最多可拼出4種面積不同的正方形．【分析】根據(jù)長方形、正方形的面積，結(jié)合完全平方公式確定所需卡片型號(hào)和數(shù)量即可．【解答】解：∵邊長為a+3b的正方形的面積為a2+9b2+6ab，∴需要1張A型卡片，9張C型卡片，6張B型卡片，∵C型卡片只有7張，∴不能拼成邊長為a+3b的正方形；故①不符合題意；∵長、寬分別為2a+4b、2a+b的長方形的面積為（2a+4b）（2a+b）＝4a2+10ab+4b2，∴需要4張A型卡片，4張C型卡片，10張B型卡片，∴可拼成長、寬分別為2a+4b、2a+b的長方形；故②符合題意；所有卡片的面積和為4a2+11ab+7b2＝（a+b）（4a+7b），∴用所有卡片能可拼成一個(gè)大長方形，長方形的長為4a+7b，寬為a+b，故③符合題意；∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，需要1張A型卡片，1張C型卡片，2張B型卡片，（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要1張A型卡片，4張C型卡片，4張B型卡片，（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要4張A型卡片，1張C型卡片，4張B型卡片，（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要4張A型卡片，4張C型卡片，8張B型卡片，∴最多可拼出4種面積不同的正方形；故④符合題意；故答案為：②③④．12．如圖1所示，將一張長為2m，寬為n（m＞n）的長方形紙片沿虛線剪成4個(gè)直角三角形，拼成如圖2的正方形ABCD（相鄰紙片之間不重疊，無縫隙），若正方形ABCD的面積為20，中間空白處的正方形EFGH的面積為4，則：（1）m+n＝；（2）原長方形紙片的周長是．【分析】（1）由拼圖可知m2+n2＝AB2＝20，mn＝8，由完全平方公式可求出答案；（2）原長方形的周長為2m+2n，利用（1）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的面積為20，中間空白處的正方形EFGH的面積為4，∴m2+n2＝AB2＝20，mn＝8，又∵（m+n）2＝m2+n2+2mn＝36，∴m+n＝6，（取正值）故答案為：6；（2）∵m+n＝6，mn＝8，且m＞n，∴m＝4，n＝2，∴原長方形的周長為4m+2n＝16+4＝20，故答案為：24013．兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形（a＞b）如圖放置（圖1，2，3），若陰影部分的面積分別記為S1，S2，S3．（1）用含a，b的代數(shù)式分別表示S1，S2，S3；（2）若S1＝1，S3＝3，求S2的值；（3）若對(duì)于任意的正數(shù)a、b，都有S1+mS3＝kS2（m，k為常數(shù)），求m，k的值．【分析】（1）圖1中，直接求出陰影的邊長，都是a﹣b；圖2中，兩個(gè)正方形的面積與兩個(gè)白色三角形的面積的和的差；圖3中，陰影部分是直角三角形，直接用直角邊長的乘積除以2．（2）把S1＝1，和S3＝3代入（1）中，便可解出ab＝6，a2+b2＝13值，整體代入S2＝a2﹣ab+b2＝（a2+b2）﹣ab＝﹣3＝；（3）把（1）中的三個(gè)等式代入S1+mS3＝kS2，經(jīng)過整理，有點(diǎn)巧，再由待定系數(shù)法解得．【解答】解：（1）圖1中，陰影的邊長都是a﹣b，所以S1＝（a﹣b）2；圖2中，陰影面積S2＝（a2+b2）﹣[a2+（a+b）b]＝a2﹣ab+b2；圖3中，S3＝ab．（2）當(dāng)S1＝1，S3＝3時(shí)，，解得ab＝6，a2+b2＝13，代入S2，得，S2＝a2﹣ab+b2＝（a2+b2）﹣ab＝﹣3＝，（3）因?yàn)镾1＝（a﹣b）2；S2＝a2﹣ab+b2；S3＝ab．對(duì)于任意的正數(shù)a、b，都有S1+mS3＝kS2（m，k為常數(shù)），則（a﹣b）2+m（ab）＝k（a2﹣ab+b2），整理得：2（a2+b2）+ab（m﹣4）＝（a2+b2）k+ab（﹣k），由于m，k為常數(shù)，故由待定系數(shù)法得：k＝2，m﹣4＝﹣k，解得m＝2，k＝2．14．圖1是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于；（2）觀察圖2寫出三個(gè)代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系；（3）若mn＝﹣3，m﹣n＝5，則：①（m+n）2的值為；②m2+n2的值為；③m4+n4的值為．【分析】（1）根據(jù)線段的差可得結(jié)論；（2）方法1，陰影部分的面積等于大正方形的面積減去4個(gè)長方形面積，方法2，陰影部分小正方形的邊長為m﹣n，即可計(jì)算出面積，可得兩次計(jì)算的都是陰影部分的面積，即可得出答案；（3）分別根據(jù)完全平方公式可解答．【解答】解：（1）圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于m﹣n；故答案為：m﹣n；（2）根據(jù)題意，方法1：陰影部分的面積等于大正方形的面積減去4個(gè)長方形面積，即（m+n）2﹣4mn；方法2，陰影部分小正方形的邊長為m﹣n，則面積為（m﹣n）2；∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；故答案為：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）由（2）知：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，∵mn＝﹣3，m﹣n＝5，①（m+n）2＝52+4×（﹣3）＝25﹣12＝13；故答案為：13；②m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝13﹣2×（﹣3）＝13+6＝19；故答案為：19；③m4+n4＝（m2+n2）2﹣2m2n2＝192﹣2×（﹣3）2＝361﹣18＝343；故答案為：343．（二）乘法公式的直接運(yùn)用：1.平方差公式：2.完全平方公式：【類題訓(xùn)練】1．計(jì)算：（2x﹣y）2﹣（x﹣2y）2．【分析】用平方差公式計(jì)算．【解答】解：原式＝[（2x﹣y）+（x﹣2y）][（2x﹣y）﹣（x﹣2y）]＝（3x﹣3y）（x+y）＝3（x﹣y）（x+y）＝3（x2﹣y2）＝3x2﹣3y2．2．計(jì)算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）．【分析】原式利用平方差公式，及完全平方公式化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝x2﹣（2y﹣3）2＝x2﹣（4y2﹣12y+9）＝x2﹣4y2+12y﹣9．3．已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【解答】解：（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2＝﹣6x+2，當(dāng)x＝時(shí)，原式＝﹣6×+2＝﹣1+2＝1．4．先化簡(jiǎn)，再求值：（x+2y）2﹣（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣4y2，其中x＝﹣2，y＝．【分析】利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算乘方和乘法，然后去括號(hào)，合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后代入求值．【解答】解：原式＝x2+4xy+4y2﹣（x2﹣4xy+4y2）﹣（x2﹣4y2）﹣4y2＝x2+4xy+4y2﹣x2+4xy﹣4y2﹣x2+4y2﹣4y2＝﹣x2+8xy，當(dāng)x＝﹣2，y＝時(shí)，原式＝﹣（﹣2）2+8×（﹣2）×＝﹣4﹣8＝﹣12．5．先化簡(jiǎn)，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m2+m﹣2＝0．【分析】先算乘方，再算乘法和除法，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出即可．【解答】解：原式＝4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）＝4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2＝2m2+2m﹣2＝2（m2+m）﹣2，∵m2+m﹣2＝0，∴m2+m＝2，當(dāng)m2+m＝2時(shí)，原式＝2×2﹣2＝2．6．觀察下列各式：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；…根據(jù)這一規(guī)律計(jì)算：（1）（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝；（a﹣b）（an+an﹣1b+an﹣2b2+…+abn﹣1+bn）＝；（2）22021+22020+22019+…+22+2+1．【分析】（1）根據(jù)規(guī)律即可得出答案；（2）原式變形成公式的形式，用公式即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)規(guī)律得：（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝a5﹣b5；（a﹣b）（an+an﹣1b+an﹣2b2+…+abn﹣1+bn）＝an+1﹣bn+1；故答案為：a5﹣b5；an+1﹣bn+1；（2）解：原式＝（2﹣1）（22021+22020?1+?+2?12020+12021）＝22022﹣1．（三）運(yùn)用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：【類題訓(xùn)練】1．運(yùn)用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：（1）2022+202×198+982（2）20162﹣2017×2015（3）1992．（4）1232﹣122×124．（5）1007×993；（6）32×20.22+0.68×2022．（7）1002-992+982-972+962-952+……+22-12【分析】（1）根據(jù)完全平方公式以及平方差公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（2）根據(jù)完全平方公式以及平方差公式化簡(jiǎn)即可．（3）原式變形后，利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果；（4）由1992＝（200﹣1）2，再用完全平方公式計(jì)算即可．（5）根據(jù)平方差公式簡(jiǎn)便計(jì)算即可；（6）原式變形成0.32×2022+0.68×2022，逆用乘法分配律即可（7）每?jī)蓚€(gè)分組，再利用平方差公式，最后原式可化簡(jiǎn)為100+99+98+97+……+1，再利用首末項(xiàng)和公式求解即可【解答】解：（1）原式＝（200+2）2+（200+2）（200﹣2）+（100﹣2）2＝2002+800+4+2002﹣4+1002﹣400+4＝40000+800+40000+10000﹣400+4＝90404；（2）原式＝20162﹣（2016+1）×（2016﹣1）＝20162﹣（20162﹣1）＝20162﹣20162+1＝1；（3）1992＝（200﹣1）2＝2002﹣400+1＝39601．（4）1232﹣122×124＝1232﹣（123﹣1）×（123+1）＝1232﹣（1232﹣12）＝1．（5）原式＝（1000+7）（1000﹣7）＝10002﹣72＝1000000﹣49＝999951；（6）原式＝0.32×2022+0.68×2022＝2022×（0.32+0.68）＝2022×1＝2022．（7）1002-992+982-972+962-952+……+22-12=（1002-992）+（982-972）+（962-952）+……+（22-12）=（100-99）（100+99）+（98-97）（98+97）+……+（2-1）（2+1）=100+99+98+97+……+2+1=?·（100+1）·100=5050（四）完全平方公式的變形應(yīng)用：完全平方公式的變形公式：【類題訓(xùn)練】1．若（a+b）2＝25，a2+b2＝13，則ab的值為（）A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12【分析】利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25，且a2+b2＝13，即可求ab．【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25，a2+b2＝13，∴2ab＝25﹣13＝12，∴ab＝6，故選：A．2．已知：（2021﹣a）（2020﹣a）＝3，則（2021﹣a）2+（2020﹣a）2的值為（）A．7 B．8 C．9 D．12【分析】根據(jù)完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，即可求出答案．【解答】解：設(shè)x＝2021﹣a，y＝2020﹣a，∴x﹣y＝2021﹣a﹣2020+a＝1，∵（2021﹣a）（2020﹣a）＝3，∴xy＝3，∴原式＝x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×3＝7，故選：A．3．已知a+b＝10，ab＝﹣5，則a2+b2＝．【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵a+b＝10，ab＝﹣5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣5）＝100+10＝110．故答案為：110．4．已知：x+y＝0.34，x+3y＝0.86，則x2+4xy+4y2＝．【分析】原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，將已知等式變形后代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵x+y＝0.34，x+3y＝0.86，∴2x+4y＝1.2，即x+2y＝0.6，則x2+4xy+4y2＝（x+2y）2＝0.36．故答案為：0.36．5．若a+9＝b+8＝c+7，則（a﹣b）2+（b﹣c）2﹣（c﹣a）2＝．【分析】由a+9＝b+8＝c+7可得：a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，將其代入即可．【解答】解：∵a+9＝b+8＝c+7，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，∴原式＝（﹣1）2+（﹣1）2﹣22＝﹣2，故答案為：﹣2．6．兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為S1；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長為b的小正方形（如圖2），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為S2．若a+b＝8，ab＝10，則S1+S2＝；當(dāng)S1+S2＝40時(shí)，則圖3中陰影部分的面積S3＝．【分析】根據(jù)拼圖可用a、b的代數(shù)式表示S1，S2，進(jìn)而根據(jù)a+b＝8，ab＝10，求出S1+S2的值即可；由第一問可知，當(dāng)S1+S2＝40時(shí)，就是a2+b2﹣ab＝40，再利用a、b的代數(shù)式表示S3，變形后再整體代入計(jì)算即可求出答案．【解答】解：由圖1可得，S1＝a2﹣b2，由圖2可得，S2＝2b2﹣ab，因?yàn)閍+b＝8，ab＝10，所以S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝82﹣3×10＝64﹣30＝34；由圖3可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2﹣ab）＝（S1+S2）＝×40＝20；故答案為：34，20．7．已知a+b＝5，ab＝．（1）求a2+b2的值；（2）求a﹣b的值．【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案；（2）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝，∴（a+b）2＝25，∴a2+2ab+b2＝25，∴a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣＝；（2）∵a2+b2＝，ab＝，∴a2+b2﹣2ab＝16，∴（a﹣b）2＝16，∴a﹣b＝±4．8．若，求：①（b﹣c）2+3（b﹣c）+3的值；②2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac的值．【分析】①根據(jù)，得，代入（b﹣c）2+3（b﹣c）+3，計(jì)算即可；②先拆項(xiàng)，再配成完全平方形式，再把，，代入，計(jì)算即可．【解答】解：①由得，∴（b﹣c）2+3（b﹣c）+3＝+3×（﹣）+3＝﹣+3＝；②2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2當(dāng)，時(shí)，原式＝＝．9．閱讀理解：若x滿足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．解：設(shè)80﹣x＝a，x﹣60＝b，則（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，∴（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．解決問題（1）若x滿足（20﹣x）（x﹣10）＝﹣10，求（20﹣x）2+（x﹣10）2的值；（2）若x滿足（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝4048，求（2022﹣x）（2020﹣x）的值．【分析】（1）根據(jù)題目所給解題方法，設(shè)20﹣x＝a，x﹣10＝b，則a+b＝10，根據(jù)a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可得出答案；（2）設(shè)（2022﹣x）＝a，（2020﹣x）＝b，則a﹣b＝2，根據(jù)a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，即可得出答案．【解答】解：（1）設(shè)（20﹣x）＝a，（x﹣10）＝b，則（20﹣x）（x﹣10）＝ab＝﹣10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣10）＝10，所以（20﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102+2×10＝120；（2）設(shè)（2022﹣x）＝a，（2020﹣x）＝b，則a﹣b＝（2022﹣x）﹣（2020﹣x）＝2，因?yàn)椋?022﹣x）2+（2020﹣x）2＝4048，所以（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝4048，即22+2×（2022﹣x）（2020﹣x）＝4048，（2019﹣x）（2017﹣x）＝2022．（五）綜合應(yīng)用：1．若（x2+px+q）（x﹣2）展開后不含x的一次項(xiàng)，則p與q的關(guān)系是（）A．p＝2q B．q＝2p C．p+2q＝0 D．q+2p＝0【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，令一次項(xiàng)系數(shù)為0求出p與q的關(guān)系式即可．【解答】解：（x2+px+q）（x﹣2）＝x3﹣2x2+px2﹣2px+qx﹣2q＝x3+（p﹣2）x2+（q﹣2p）x﹣2q，∵結(jié)果不含x的一次項(xiàng)，∴q﹣2p＝0，即q＝2p．故選：B．2．已知a，b是常數(shù)，若化簡(jiǎn)（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）的結(jié)果不含x的二次項(xiàng)，則36a﹣18b﹣1的值為（）A．﹣1 B．0 C．17 D．35【分析】把式子展開，找到所有x2項(xiàng)的系數(shù)，合并后令其為0，再進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：原式＝﹣2x3﹣bx2+3x+2ax2+abx﹣3a＝﹣2x3+（2a﹣b）x2+（3+ab）x﹣3a∵（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）結(jié)果不含x的二次項(xiàng)∴2a﹣b＝0∵式子36a﹣18b﹣1＝18（2a﹣b）﹣1∴36a﹣18b﹣1＝18×0﹣1＝﹣1故選：A．3．若代數(shù)式x2+3x+2可以表示為（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，則a+b的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】利用x2+3x+2＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，將原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出a，b的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵x2+3x+2＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b＝x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），∴a﹣2＝3，∴a＝5，∵b﹣a+1＝2，∴b﹣5+1＝2，∴b＝6，∴a+b＝5+6＝11，故選：B．4．已知代數(shù)式x2+y2+4x﹣6y+13＝0，則（y+1）x的值為（）A．16 B．﹣16 C．﹣ D．【分析】把含x和y的項(xiàng)分別寫成完全平方公式的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x，y，再計(jì)算代數(shù)式的值．【解答】解：∵x2+y2+4x﹣6y+13＝0，∴x2+4x+4+y2﹣6y+9＝0，∴（x+2）2+（y﹣3）2＝0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣2，y＝3，∴原式＝（3+1）﹣2＝4﹣2＝，故選：D．5．若2m×8n＝32，，則的值為．【分析】已知等式利用冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則，同底數(shù)冪的乘除法則計(jì)算，得到關(guān)于m與n的方程，組成方程組，求出方程組的解得m與n的值，即可求出所求．【解答】解：∵2m×8n＝2m×23n＝2m+3n＝32＝25，2m÷4n＝2m÷22n＝2m﹣2n＝＝2﹣4，∴m+3n＝5，m﹣2n＝﹣4，兩式相加得：2m+n＝1，則原式＝（2m+n）＝．故答案為：．6．已知x2+xy+y＝14①，y2+xy+x＝28②，則x+y的值為．【分析】先把兩個(gè)方程相加，得到關(guān)于（x+y）的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．【解答】解：①+②得，x2+2xy+y2+x+y＝42，∴（x+y）2+（x+y）﹣42＝0，∴（x+y+7）（x+y﹣6）＝0，∴x+y＝﹣7或x+y＝6，故答案為：﹣7或6．7．已知a+b＝1，ab＝﹣2，則代數(shù)式（a+1）（b+1）的值是．【分析】原式利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，整理后把a(bǔ)+b與ab的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：原式＝ab+a+b+1＝ab+（a+b）+1，當(dāng)a+b＝1，ab＝﹣2時(shí)，原式＝﹣2+1+1＝0，故答案為：0．8．已知x＝+1，則代數(shù)式x2﹣2x+1的值為．【分析】根據(jù)x的值和完全平方差公式可以解答本題．【解答】解：∵x＝+1，∴x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＝（+1﹣1）2＝（）2＝2，故答案為：2．9．若a2+ma+25是一個(gè)完全平方式，則實(shí)數(shù)m＝．【分析】根據(jù)完全平方式即可求出答案．【解答】解：∵（a±5）2＝a2±10a+25，∴m＝±10，故答案為：±10．10．若25x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式能成為一個(gè)完全平方式，這個(gè)單項(xiàng)式是．【分析】把25x2看作中間項(xiàng)或第一項(xiàng)，根據(jù)完全平方公式可解答，當(dāng)加上的項(xiàng)是﹣1或﹣25x2時(shí)，同樣成立．【解答】解：①25x2是平方項(xiàng)時(shí)，25x2±10x+1＝（5x±1）2，∴可添加的項(xiàng)是10x或﹣10x，②25x2是乘積二倍項(xiàng)時(shí)，+25x2+1＝，∴可添加的項(xiàng)是，③可添加﹣1或﹣25x2，綜上所述可添加的項(xiàng)是：10x或﹣10x或﹣1或﹣25x2或．故答案為：10x或﹣10x或﹣1或﹣25x2或．11．下列有四個(gè)結(jié)論：①若（1﹣x）x+1＝1，則x＝﹣1；②若a2+b2＝3，a﹣b＝1，則（2﹣a）（2﹣b）的值為5﹣2；③若規(guī)定：當(dāng)ab≠0時(shí)，a?b＝a+b﹣ab，若a?（4﹣a）＝0，則a＝2；④若4x＝a，8y＝b，則24x﹣3y可表示為；⑤已知多項(xiàng)式x2+4x+m是完全平方式，則常數(shù)m＝4．其中正確的是．（填序號(hào)）【分析】①可以是零指數(shù)冪，可以是1的任何次冪，可以是﹣1的偶數(shù)次冪；②先求出ab的值，再求出a+b的值，最后代入代數(shù)式求值即可；③根據(jù)新定義列出方程求解即可；④把a(bǔ)，b先化成底數(shù)為2的式子，然后再求值；⑤根據(jù)完全平方公式判斷即可．【解答】解：①可以分為三種情況：當(dāng)x+1＝0時(shí)，x＝﹣1；當(dāng)1﹣x＝1時(shí)，x＝0；當(dāng)1﹣x＝﹣1，x+1為偶數(shù)時(shí)，x＝2，但x+1＝3不是偶數(shù)，舍去；綜上所述，x＝﹣1或0．∴①不符合題意；②（2﹣a）（2﹣b）＝4﹣2b﹣2a+ab＝4﹣2（a+b）+ab，∵a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴ab＝1，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5，∴a+b＝±，當(dāng)a+b＝時(shí)，原式＝4﹣2+1＝5﹣2；當(dāng)a+b＝﹣時(shí)，原式＝4+2+1＝5+2，∴a+b＝5±2．∴②不符合題意；③根據(jù)定義得：a+4﹣a+a（4﹣a）＝0，解得：a＝2，∴③符合題意；④∵4x＝（22）x＝22x，8y＝（23）y＝23y，∴24x﹣3y＝＝＝，∴④不符合題意；⑤∵x2+4x+m是完全平方式，∴m＝（）2＝4，∴⑤符合題意，故答案為：③⑤．12．已知實(shí)數(shù)m，n滿足m﹣n＝1，則代數(shù)式m2+2n+4m﹣1的最小值為．【分析】根據(jù)題意把原式變形，根據(jù)配方法把原式寫成含有完全平方的形式，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答．【解答】解：∵m﹣n＝1，∴n＝m﹣1，則m2+2n+4m﹣1＝m2+2m﹣2+4m﹣1＝m2+6m﹣3＝m2+6m+9﹣12＝（m+3）2﹣12，∵（m+3）2≥0，∴（m+3）2﹣12≥﹣12，即代數(shù)式m2+2n+4m﹣1的最小值等于﹣12．故答案為：﹣12．13．已知S＝t2﹣2t﹣15，則S的最小值為．【分析】先根據(jù)完全平方公式配方，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性即可求解．【解答】解：∵S＝t2﹣2t﹣15＝（t﹣1）2﹣16，∴當(dāng)t＝1時(shí)，S取得最小值為﹣16．故答案為：﹣16．14．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“奇特?cái)?shù)”，例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；則8、16、24這三個(gè)數(shù)都是奇特?cái)?shù)．（1）填空：32奇特?cái)?shù)，2018奇特?cái)?shù)．（填“是”或者“不是”）（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)是2n﹣1和2n+1（其中n取正整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特?cái)?shù)是8的倍數(shù)嗎？為什么？（3）如圖所示，拼疊的正方形邊長是從1開始的連續(xù)奇數(shù)…，按此規(guī)律拼疊到正方形ABCD，其邊長為99，求陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)32＝92﹣72，以及8、16、24這三個(gè)數(shù)都是奇特?cái)?shù)，他們都是8的倍數(shù)，而2018＝2×1009，不是8的整數(shù)倍，進(jìn)行判斷．（2）利用平方差公式計(jì)算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n?2＝8n，得到兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特?cái)?shù)是8的倍數(shù)；（3）利用陰影部分面積為：S陰影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12，進(jìn)而求出即可．【解答】解：（1）∵32＝8×4＝92﹣72，∴32是奇特?cái)?shù)，∵因?yàn)?018不能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，∴2018不是奇特?cái)?shù)，故答案為：是，不是；（2）由這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特?cái)?shù)是8的倍數(shù)，理由：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n?2＝8n，∴由這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的奇特?cái)?shù)是8的倍數(shù)．（3）S陰影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12＝（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+（91+89）（91﹣89）+…+（7+5）（7﹣5）+（3+1）（3﹣1）＝（99+97+95+…+3+1）×2＝×2＝5000．15．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為a、寬為b的長方形．用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張可拼成如圖2的大正方形．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積（答案直接填寫到題中橫線上）；方法1；方法2．（2）觀察圖2，請(qǐng)你直接寫出下列三個(gè)代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系；（3）類似的，請(qǐng)你用圖1中的三種紙片拼一個(gè)圖形驗(yàn)證：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，請(qǐng)你將該示意圖畫在答題卡上；（4）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；②已知（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，求（x﹣2019）2的值．【分析】（1）依據(jù)正方形的面積計(jì)算公式即可得到結(jié)論；（2）依據(jù)（1）中的代數(shù)式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系；（3）畫出長為a+2b，寬為a+b的長方形，即可驗(yàn)證：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（4）①依據(jù)a+b＝5，可得（a+b）2＝25，進(jìn)而得出a2+b2+2ab＝25，再根據(jù)a2+b2＝11，即可得到ab＝7；②設(shè)x﹣2019＝a，則x﹣2018＝a+1，x﹣2020＝a﹣1，依據(jù)（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，即可得到（x﹣2019）2的值．【解答】解：（1）方法一：圖2大正方形的面積＝（a+b）2方法二：圖2大正方形的面積＝a2+b2+2ab故答案為：（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由題可得（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系為：（a+b）2＝a2+2ab+b2故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（3）如圖所示，（4）①∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，又∵a2+b2＝11，∴ab＝7；②設(shè)x﹣2019＝a，則x﹣2018＝a+1，x﹣2020＝a﹣1，∵（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，（a+1）2+（a﹣1）2＝34，2a2+2＝34，a2＝16，∴（x﹣2019）2＝16．16．【探究】如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的小正方形，將陰影部分沿線剪開，如圖所示，拼成圖②的長方形．（1）請(qǐng)你分別表示出這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積；；（2）比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：（用字母表示）；【應(yīng)用】請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成計(jì)算：2001×1999；【拓展】（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為．【分析】（1）分別用代數(shù)式表示兩個(gè)圖形的陰影部分的面積即可；（2）根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等得出答案；【應(yīng)用】將2001×1999轉(zhuǎn)化為（2000+1）（2000﹣1），根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；【拓展】配上因式（2﹣1）后連續(xù)利用平方差公式計(jì)算出（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的結(jié)果，再由“冪”的個(gè)位數(shù)字的呈現(xiàn)的規(guī)律得出答案．【解答】解：（1）圖①中陰影部分的面積可以看作是兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，圖②中陰影部分是長為a+b，寬為a﹣b的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由兩個(gè)圖形的陰影部分的面積相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；【應(yīng)用】2001×1999＝（2000+1）（2000﹣1）＝4000000﹣1＝3999999；【拓展】原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）…（23