江西省新余市渝水區(qū)第一中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

江西省新余市渝水區(qū)第一中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.2．表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，，．若是函數(shù)的零點(diǎn)，則（）A.1 B.2C.3 D.43．已知是角的終邊上的點(diǎn)，則（）A. B.C. D.4．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（）A. B.C. D.5．若、是全集真子集，則下列四個(gè)命題①；②；③；④中與命題等價(jià)的有A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)6．設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.7．定義在上的偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，．若方程且根的個(gè)數(shù)大于3，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.B.f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.f（x）在[－，－]上單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象9．若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則形狀是A.等腰三角形 B.直角三角形C.正三角形 D.以上答案均錯(cuò)10．已知在海中一孤島的周圍有兩個(gè)觀察站，且觀察站在島的正北5海里處，觀察站在島的正西方.現(xiàn)在海面上有一船，在點(diǎn)測(cè)得其在南偏西60°方向相距4海里處，在點(diǎn)測(cè)得其在北偏西30°方向，則兩個(gè)觀察站與的距離為A. B.C. D.11．“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12．已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則當(dāng)時(shí)，______，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.14．已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為，，，，，則__________15．天津之眼，全稱天津永樂橋摩天輪，是世界上唯一一個(gè)橋上瞰景的摩天輪．如圖，已知天津之眼的半徑是55m，最高點(diǎn)距離地面的高度為120m，開啟后按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每30轉(zhuǎn)動(dòng)一圈．喜歡拍照的南鳶同學(xué)想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距離地面最近的艙位進(jìn)艙．已知在距離地面超過92.5m的高度可以拍到最美的景色，則在天津之眼轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的過程中，南鳶同學(xué)可以拍到最美景色的時(shí)間是_________分鐘16．設(shè)函數(shù)，則____________.三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．設(shè)，函數(shù)（1）若，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，函數(shù)在區(qū)間（）上的取值范圍是（），求的范圍18．已知函數(shù)（1）化簡并求的值；（2）若是第三象限角，且，求19．設(shè)集合，.（1）若，求；（2）若，求m的取值范圍；20．如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，側(cè)棱與底面所成的角的正切值為（1）求側(cè)面與底面所成的二面角的大小；（2）若是的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的正切值；21．已知函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸.（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)區(qū)間；（2）若，求函數(shù)在的最大值和最小值，并寫出對(duì)應(yīng)的的值22．在①函數(shù)為奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，；③是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答，已知函數(shù)，的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，______.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1、C【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式變性后，利用正弦函數(shù)的遞減區(qū)間可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由，得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：C2、B【解析】利用零點(diǎn)存在性定理判斷的范圍，從而求得.【詳解】在上遞增，，所以，所以.故選：B3、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)闉榻墙K邊上的一點(diǎn)，所以，，，所以故選：A4、A【解析】先求得函數(shù)的定義域，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，即，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，令，可得其圖象開口向下，對(duì)稱軸的方程為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，又由函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故選：A.5、B【解析】直接根據(jù)集合的交集、并集、補(bǔ)集的定義判斷集合間的關(guān)系，從而求出結(jié)論【詳解】解：由得Venn圖，①；②；③；④；故和命題等價(jià)的有①③，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的包含關(guān)系的判斷及應(yīng)用，考查集合的基本運(yùn)算，考查了Venn圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對(duì)應(yīng)值的范圍.比較指對(duì)冪形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減；（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減；（3）借助于中間值，例如：0或1等.7、D【解析】由題設(shè)，可得解析式且為周期為4的函數(shù)，再將問題轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)個(gè)數(shù)大于3個(gè)，討論參數(shù)a判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而畫出和的圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法有符合題設(shè)，即可求范圍.【詳解】由題設(shè)，，即，所以是周期為4的函數(shù)，若，則，故，所以，要使且根的個(gè)數(shù)大于3，即與交點(diǎn)個(gè)數(shù)大于3個(gè)，又恒過，當(dāng)時(shí)，在上，在上且在上遞減，此時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)，所以.綜上，、的圖象如下所示，要使交點(diǎn)個(gè)數(shù)大于3個(gè)，則，可得.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件分析出的周期性，并求出上的解析式，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析a的范圍，最后根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)一步縮小參數(shù)的范圍.8、C【解析】先根據(jù)圖像求出即可判斷A，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱軸及單調(diào)性即可判斷BC，通過平移變換即可判斷D.【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得所以，故A正確；利用五點(diǎn)法作圖，可得，可得，所以，令x，求得，為最小值，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)f（x）沒有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；把f（x）的圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象，故D正確故選：C.9、A【解析】根據(jù)向量的減法運(yùn)算可化簡已知等式為，從而得到三角形的中線和底邊垂直，從而得到三角形形狀.詳解】三角形的中線和底邊垂直是等腰三角形本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查求解三角形形狀的問題，關(guān)鍵是能夠通過向量的線性運(yùn)算得到數(shù)量積關(guān)系，根據(jù)數(shù)量積為零求得垂直關(guān)系.10、D【解析】畫出如下示意圖由題意可得，，又，所以A,B,C,D四點(diǎn)共圓，且AC為直徑、在中，,由余弦定理得，∴∴（其中為圓的半徑）.選D11、A【解析】將代入可判斷充分性,求解方程可判斷必要性,即可得到結(jié)果.【詳解】將代入中可得,即“”是“”的充分條件；由可得,即或,所以“”不是“”的必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】依題意有.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、①.②.【解析】根據(jù)給定條件利用偶函數(shù)的定義即可求出時(shí)解析式；再借助函數(shù)在單調(diào)性即可求解作答.【詳解】因函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，；依題意，在上單調(diào)遞增，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：；14、4【解析】函數(shù)f（x）（x∈R）滿足，∴f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，而函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，∴函數(shù)與圖像的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，∴，∴故答案為：4點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題.函數(shù)零點(diǎn)問題有兩種解決方法，一個(gè)是利用二分法求解，另一個(gè)是化原函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)來求解.本題要充分注意到兩個(gè)函數(shù)的共性：關(guān)于同一點(diǎn)中心對(duì)稱.15、10【解析】借助三角函數(shù)模型，設(shè)，以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，由題意求出解析式，再令，解三角不等式即可得答案.【詳解】解：如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)，以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)時(shí)，南鳶同學(xué)位于點(diǎn)，以為終邊的角為，根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要，可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度約為，由題意，可得，，令，，可得，所以南鳶同學(xué)可以拍到最美景色的時(shí)間是分鐘，故答案為：10.16、【解析】依據(jù)分段函數(shù)定義去求的值即可.【詳解】由，可得，則由，可得故答案為：三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）在上遞增，證明見解析.（2）【解析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義計(jì)算的符號(hào)，從而判斷出的單調(diào)性.（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元二次方程根的分布來求得的范圍.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，在上遞增，證明如下：任取，由于，所以，所以在上遞增.【小問2詳解】由于，所以，，由知，所以.由于，所以或.當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上遞增.所以，從而①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，①可化為，其中，所以，，，解得.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)在上遞減.若，則，于是，這與矛盾，故舍去.所以，則，于是，兩式相減并化簡得，由于，所以，所以.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則其值域和單調(diào)性有關(guān)，若在區(qū)間上遞增，則值域?yàn)?；若在區(qū)間上遞減，則值域?yàn)?18、（1）；.（2）【解析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，求得，進(jìn)而求得的值；（2）由，得到，，進(jìn)而求得.【小問1詳解】解：由函數(shù)，所以.【小問2詳解】解：因?yàn)槭堑谌笙藿?，且，可得，所以，所?19、（1）；（2）.【解析】（1）時(shí)，求出集合，，從而求出，由此能求出（2）由，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此能求出取值范圍【詳解】解：（1）時(shí)，集合，∴，∴或（2）∵集合，，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得綜上，的取值范圍是20、（1）（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)、，則是側(cè)面與底面所成的二面角，由此能求出側(cè)面與底面所成的二面角（2）連結(jié)，，則是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線與所成角的正切值【詳解】解：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)、，正四棱錐中，為底面正方形的中心，，，是側(cè)面與底面所成的二面角，側(cè)棱與底面所成的角的正切值為，設(shè)，得，，，，，側(cè)面與底面所成的二面角為（2）為底面正方形的中心，是中點(diǎn)，連結(jié)，，是的中點(diǎn)，，是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），，，，，異面直線與所成角的正切值為21、（1）對(duì)稱中心是，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，【解析】（1）由函數(shù)的最小正周期，求得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最值求得，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求對(duì)稱中心和單調(diào)區(qū)間；（2）寫出的解析式，根據(jù)定義域，求最值【詳解】（1），，，所以，，對(duì)稱中心是，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（2），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】三角函數(shù)最值問題要注意整體代換思想的體現(xiàn)，由的取值范圍推斷的取值范圍22、（1）選條件①②③任一個(gè)，均有；（2）選條件①②③任一個(gè)，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間均為，.【解析】（1）由相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，得到；再選擇一個(gè)條件求解出；（2）由（1）解得的函數(shù)，根據(jù)