考點23 反比例函數(shù)實際問題的6大題型歸類-原卷版

考點23反比例函數(shù)實際問題的6大題型歸類1幾何類反比例函數(shù)與實際問題的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，理解題目中各點坐標(biāo)的計算方法，函數(shù)之間相交的交點的計算方法。2表格類解題的關(guān)鍵是正確地從中整理出函數(shù)模型，并利用函數(shù)的知識解決實際問題．3圖形類反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．4探究類反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用圖像解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在．還能利用圖像直接比較函數(shù)值或是自變量的大?。畬?shù)形結(jié)合在一起，是分析解決函數(shù)問題的一種常用方法．5利潤類反比例函數(shù)的利潤問題，往往和二次函數(shù)或者一次函數(shù)結(jié)合，單價、總價、數(shù)量的關(guān)系，以及函數(shù)解析式的求法，要熟練掌握；同時，一次函數(shù)解析式，分段函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，綜合性較強，熟練掌握各函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵；表格類問題的利潤一般合理從表格中獲取關(guān)鍵信息列式是解題的關(guān)鍵．6新定義問題弄懂新定義的概念和性質(zhì)是關(guān)鍵?？键c1幾何類考點2表格類考點3圖形類考點4探究類考點5利潤類考點6新定義問題考點1幾何類1．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市第四十五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知學(xué)生注意力指標(biāo)y隨時間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如下圖所示，當(dāng)和時，函數(shù)圖象是線段；當(dāng)時，圖象是反比例函數(shù)的一部分，BC∥AD∥x軸．(1)求點D坐標(biāo)；(2)當(dāng)x滿足什么條件時，學(xué)生注意力指標(biāo)不低于30．2．（2022秋·安徽蕪湖·九年級統(tǒng)考期中）密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)容器的體積V（單位：）變化時，氣體的密度（單位：）隨之變化．已知密度與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，當(dāng)時，．(1)求密度關(guān)于體積V的函數(shù)解析式；(2)若，求二氧化碳密度的變化范圍．3．（2021秋·安徽合肥·九年級?？计谥校榱俗龊眯鹿诜窝滓咔槠陂g開學(xué)工作，我區(qū)某中學(xué)用藥熏消毒法對教室進(jìn)行消毒．已知一瓶藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例；藥物釋放完畢后，y與x成反比例，如圖所示．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）寫出傾倒一瓶藥物后，從藥物釋放開始，y與x之間的兩個函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的自變量取值范圍；（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于8毫克時，消毒有效，那么傾倒一瓶藥物后，從藥物釋放開始，有效消毒時間是多少分鐘？4．（2019秋·安徽安慶·九年級階段練習(xí)）一般情況下，中學(xué)生完成數(shù)學(xué)家庭作業(yè)時，注意力指數(shù)隨時間x（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示（其中AB、BC為線段，CD為雙曲線的一部分）．（1）分別求出線段AB和雙曲線CD的函數(shù)關(guān)系式；（2）若學(xué)生的注意力指數(shù)不低于40為高效時間，根據(jù)圖中信息，求出一般情況下，完成一份數(shù)學(xué)家庭作業(yè)的高效時間是多少分鐘？5．（2022秋·安徽安慶·九年級安慶市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某項研究表明：人的眼睛疲勞系數(shù)與睡眠時間之間成函數(shù)關(guān)系，它們之間的關(guān)系如圖所示．其中，當(dāng)睡眠時間不超過4小時（）時，眼睛疲勞系數(shù)是睡眠時間的反比例函數(shù)；當(dāng)睡眠時間不少于4小時（）時，眼睛疲勞系數(shù)是睡眠時間的一次函數(shù)，且當(dāng)睡眠時間達(dá)到6小時后，眼睛疲勞系數(shù)為0．根據(jù)圖像，回答下列問題：(1)當(dāng)時，求眼睛疲勞系數(shù)關(guān)于睡眠時間之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果某人睡眠了小時后，再連續(xù)睡眠了3小時，此時他的眼睛疲勞系數(shù)恰好減少了3，求的值．考點2表格類6．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，將一長方體A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放，記錄桌面所受壓強與受力面積的關(guān)系如下表所示（與長方體A相同重量的長方體均滿足此關(guān)系）．桌面所受壓強100200400800受力面積210.50.25(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求桌面所受壓強與受力面積之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)想將另一長、寬、高分別為0.2m，0.1m，0.3m，且與長方體相同重量的長方體按如右圖所示的方式放置于該水平玻璃桌面上．若該玻璃桌面能承受的最大壓強為5000Pa，請你判斷這種擺放方式是否安全？并說明理由．7．（2022秋·安徽宿州·九年級統(tǒng)考期末）已知某品牌運動鞋每雙進(jìn)價120元，為求合適的銷售價格進(jìn)行了4天的試銷，試銷情況如下表：第1天第2天第3天第4天售價x（元/雙）150200250300銷售量y（雙）40302420（1）表中數(shù)據(jù)x、y滿足什么函數(shù)關(guān)系式？請求出這個函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天銷售利潤為3000元，則單價應(yīng)定為多少元？8．（2020秋·安徽亳州·九年級?？茧A段練習(xí)）某醫(yī)藥研究所研發(fā)了一種新藥，試驗藥效時發(fā)現(xiàn)：1.5小時內(nèi)，血液中含藥量y（微克）與時間x（小時）的關(guān)系可近似地用二次函數(shù)y＝ax2+bx表示；1.5小時后（包括1.5小時），y與x可近似地用反比例函數(shù)y＝（k＞0）表示，部分實驗數(shù)據(jù)如表：時間x（小時）0.211.8…含藥量y（微克）7.22012.5…（1）求a、b及k的值；（2）服藥后幾小時血液中的含藥量達(dá)到最大值？最大值為多少？（3）如果每毫升血液中含藥量不少于10微克時治療疾病有效，那么成人按規(guī)定劑量服用該藥一次后能維持多長的有效時間．（≈1.41，精確到0.1小時）9．（2019秋·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）小明到眼鏡店調(diào)查了近視眼鏡鏡片的度數(shù)和鏡片焦距的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)鏡片的度數(shù)（度）是鏡片焦距（厘米）（）的反比例函數(shù)，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：眼鏡片度數(shù)（度）…鏡片焦距（厘米）…（1）求與的函數(shù)表達(dá)式；（2）若小明所戴近視眼鏡鏡片的度數(shù)為度，求該鏡片的焦距．10．（2020·安徽·九年級專題練習(xí)）某公司銷售一種進(jìn)價為20元/個的計算器，銷售過程中的其他開支（不含進(jìn)價）總計40萬元，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的變化如下表銷售價格x（元/個）銷售量y（萬個）30≤x≤60x+860＜x≤80（1）求出當(dāng)銷售量為2.5萬個時，銷售價格為多少？（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤w（萬元）與銷售價格x（元個）的函數(shù)關(guān)系式；（3）銷售價格定為多少元時，該公司獲得的利潤最大？最大利潤是多少？考點3圖形類11．（2023春·安徽淮南·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）某校園藝社計劃利用已有的一堵長為的墻，用籬笆圍一個面積為的矩形園子．(1)如圖，設(shè)矩形園子的相鄰兩邊長分別為、．①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)時，求x的取值范圍；(2)洋洋說籬笆的長可以為．你認(rèn)為洋洋的說法對嗎？若對，請求出矩形園子的長與寬；若不對，請說明理由．12．（2022秋·安徽滁州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，李老師準(zhǔn)備用籬笆圍建一個面積為60m2的矩形花圃ABCD，其中一邊AB靠墻．（1）設(shè)AD的長為x米，DC的長為y米，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)矩形花圃ABCD的相鄰兩邊之比是0.6時（接近黃金分割），花圃最美觀．若圍成矩形花圃ABCD的三邊籬笆總長不超過24m，且為了美觀，求此時籬笆AD的長．13．（2022秋·河北保定·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某課外興趣小組計劃利用已有的籬笆圈成一個一邊靠墻，面積為的矩形花園，其中墻長為，現(xiàn)在可用的籬笆總長為．

(1)若設(shè)，．請寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)若要使的籬笆全部用完，能否圍成面積為的花園？若能，請求出長和寬；若不能，請說明理由；(3)假設(shè)圍成矩形花園的三邊材料總長不超過，材料和的長都是整米數(shù)，求滿足條件的所有圍建方案．14．（2023春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，利用已有的一面長為的墻，用籬笆圍一個面積為的矩形花圃．設(shè)的長為，的長為．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和自變量x的取值范圍．(2)邊和的長都是整數(shù)，若圍成的矩形花圃的三邊籬笆的總長不超過，試求出滿足條件且用料最省的方案．15．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）某學(xué)校要修建一個占地面積為64平方米的矩形體育活動場地，四周要建上高為1米的圍擋．學(xué)校準(zhǔn)備了可以修建45米長的圍擋材料（可以不用完）．設(shè)矩形地面的邊長米，米．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不寫自變量的取值范圍）；（2）能否建造米的活動場地？請說明理由；（3）若矩形地面的造價為1千元/平方米，側(cè)面圍擋的造價為0.5千元/平方米，建好矩形場地的總費用為80.4千元，求出的值．（總費用地面費用圍擋費用）考點4探究類16．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）杠桿原理在生活中應(yīng)用廣泛，我國早在春秋時期就有使用，相傳商人范蠡觀農(nóng)夫從井中取水受到啟發(fā)，發(fā)明了稱，其中就利用了杠桿原理．杠桿原理為：阻力×阻力臂=動力×動力臂．如圖1：

某數(shù)學(xué)興趣小組利用所學(xué)的函數(shù)知識對以上原理進(jìn)行探究：如圖2，小明取一根質(zhì)地均勻的木桿長，用細(xì)繩綁在木桿的中點處將其吊在空中，在中點的左側(cè)距中點處掛一個質(zhì)量為的物體，在中點右側(cè)用一個彈簧測力計（重力忽略不計）豎直向下拉，使木桿處于水平狀態(tài)，改變彈簧測力計與中點的距離，觀察彈簧測力計的示數(shù)的變化，在平面直角坐標(biāo)系中描出了一系列點，并用平滑的曲線順次連接，得到如圖3所示的函數(shù)圖象．已知重力與質(zhì)量之間的關(guān)系式為：，為物體的重力（單位：），為物體的質(zhì)量（單位），．

(1)圖3中函數(shù)的解析式為__________，自變量的取值范圍是__________．(2)若點的位置不變，在不改變點與物體的距離及物體的質(zhì)量的前提下，要想使木桿平衡，彈簧測力計的示數(shù)最小可以是多少？17．（2023春·河北張家口·九年級張家口市第五中學(xué)?？计谀┤鐖D，李老師設(shè)計了一個探究杠桿平衡條件的實驗：在一個自制類似天平的儀器的左邊固定托盤A中放置一個重物，在右邊的活動托盤B（可左右移動）中放置一定質(zhì)量的砝碼，使得儀器左右平衡，改變活動托盤B與點O的距離，觀察活動托盤B中砝碼的質(zhì)量的變化情況．實驗數(shù)據(jù)記錄如下表：10152025303020151210(1)把上表中的各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)在如圖的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點，并用平滑曲線連接這些點；(2)觀察所畫的圖像，猜測y與x之間的函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)砝碼的質(zhì)量為時，活動托盤B與點O的距離是多少厘米？(4)當(dāng)活動托盤B往左移動時，應(yīng)往活動托盤B中添加還是減少砝碼？直接寫出答案．18．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）小聰在學(xué)習(xí)過程中遇到了一個函數(shù)，小聰根據(jù)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行了探究．他先通過列表，并描出如圖所示的圖像上的部分點．(1)請你幫助小聰畫出該函數(shù)的圖像；(2)該函數(shù)圖像可以看成是由的圖像平移得到的，其平移方式為；(3)直接寫出不等式的解集為．19．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）小明探究下列問題：商場將單價不同的甲、乙兩種糖果混合成什錦糖售賣．若該商場采用以下兩種不同方式混合：方式1：將質(zhì)量相等的甲、乙糖果進(jìn)行混合；方式2：將總價相等的甲、乙糖果進(jìn)行混合．哪種混合方式的什錦糖的單價更低？(1)小明設(shè)甲、乙糖果的單價分別為、，用含、的代數(shù)式分別表示兩種混合方式的什錦糖的單價．請你寫出他的解答過程；(2)為解決問題，小明查閱了資料，發(fā)現(xiàn)以下正確結(jié)論：結(jié)論1：若，則；若，則；若，則；結(jié)論2：反比例函數(shù)的圖像上的點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為倒數(shù)；結(jié)論3：若的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，則線段的中點坐標(biāo)為．小明利用上述結(jié)論順利解決此問題，請你按照他的思路寫出解答過程：①利用結(jié)論1求解；②利用結(jié)論2、結(jié)論3求解．20．（2023春·山西·九年級專題練習(xí)）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的一篇日記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．在物理活動課上，我們“博學(xué)”小組的同學(xué)，參加了一次“探究電功率P與電阻R之間的函數(shù)關(guān)系”的活動．

第一步，實驗測量．根據(jù)物理知識，改變電阻R的大小，通過測量電路中的電流，計算電功率P．第二步，整理數(shù)據(jù)．…3691215……31.510.750.7…第三步，描點連線．以R的數(shù)值為橫坐標(biāo)，對應(yīng)P的數(shù)值為縱坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中描出以表中數(shù)值為坐標(biāo)的各點，并用光滑的曲線順次連接這些點．在數(shù)據(jù)分析時，我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)據(jù)有錯誤，重新測量計算后，證明了我的猜想正確，并修改了表中這個數(shù)據(jù)．實驗結(jié)束后，大家都有很多收獲，每人都撰寫了日記．任務(wù)：

(1)表格中錯誤的數(shù)據(jù)是______，P與R的函數(shù)表達(dá)式為______；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，畫出P與R的函數(shù)圖象；(3)結(jié)合圖象，直接寫出P大于6W時R的取值范圍．考點5利潤類21．（2021·廣西南寧·南寧市天桃實驗學(xué)校?？既＃┰谛滦凸跔罘窝滓咔槠陂g，某農(nóng)業(yè)企業(yè)合作社決定對一種特色水果開展線上銷售，考慮到實際情況，一共開展了次線上銷售，綜合考慮各種因素，該種水果的成本價為元/噸，銷售結(jié)束后，經(jīng)過統(tǒng)計得到了如下信息：信息1：設(shè)次線上銷售水果（噸），已知是的一次函數(shù)，且第次線上銷售水果為噸，然后每一次總比前一次銷售量減少噸；信息2：該水果的銷售單價（萬元/噸）均由基本價和浮動價兩部分組成，其中基本價為萬元/噸，第至次線上銷售的浮動價與銷售場次成正比；第至次線上銷售的浮動價與銷售場次成反比；信息3：如下表格：（次）（萬元/噸）（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若（萬元/噸），求的值；（3）在這次線上銷售中，那一次線上銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少？22．（2021秋·全國·九年級專題練習(xí)）近年來，隨著盲盒經(jīng)濟的崛起，潮玩市場備受關(guān)注，盲盒里面通常裝的是動漫、影視作品的周邊，或者設(shè)計師單獨設(shè)計出來的玩偶．某公司生產(chǎn)一種盲盒，在自動售賣機銷售，已知這種盲盒的成本是每盒40元，物價局規(guī)定，這種盲盒的市場銷售單價不得高于60元，不得低于45元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價不高于50元時，每月銷售量與銷售單價成反比例函數(shù)關(guān)系；高于50元時，每月銷售量與銷售單價成一次函數(shù)關(guān)系，下表是部分市場調(diào)查數(shù)據(jù)：銷售單價/元4550545860月銷售量/盒600540500460440（1）設(shè)月銷售量為盒，銷售單價為元，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)這種盲盒的銷售單價為多少元時，月銷售利潤最大？月最大銷售利潤是多少元？23．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）我縣某農(nóng)業(yè)合作社對一種特色水果一共開展了35次線上銷售，該種水果的成本價為每噸4萬元，銷售結(jié)束后，經(jīng)過統(tǒng)計得到了如下信息；信息1：設(shè)第次線上銷售水果（噸），且第一次線上銷售水果為39噸，然后每一次總比前一次銷售減少1噸，信息2：該水果的銷售單價（萬元/噸）與銷售場次之間的函數(shù)關(guān)系式為，且當(dāng)時，；當(dāng)時，．請根據(jù)以上信息，解決下列問題．（1）與之間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）若（萬元/噸），求的值；（3）在這35次線上銷售中，哪一次線上銷售獲得利潤最大？最大利潤是多少？24．（2021·河北唐山·統(tǒng)考一模）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，月銷售量為噸（），每噸售價為7萬元，每噸的成本（萬元）由兩部分組成，一部分是原材料費用固定不變，另一部分人力等費用，與月銷售量成反比，市場部研究發(fā)現(xiàn)月銷售量噸與月份（為1~12的正整數(shù)）符合關(guān)系式（為常數(shù)），參考下面給出的數(shù)據(jù)解決問題．月份（月）12成本（萬元/噸）55.6銷售量為（噸/月）120100（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）求的值；（3）在這一年12個月中，①求月最大利潤；②若第個月和第個月的利潤相差最大，直接寫出的值．25．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）在新型冠狀肺炎疫情期間，某農(nóng)業(yè)合作社決定對一種特色水果開展線上銷售，考慮到實際情況，一共開展了30次線上銷售，綜合考慮各種因素，該種水果的成本價為每噸2萬元，銷售結(jié)束后，經(jīng)過統(tǒng)計得到了如下信息：信息1：設(shè)第次線上銷售水果（噸），且第一次線上銷售水果為39噸，然后每一次總比前一次銷售減少1噸；信息2：該水果的銷售單價（萬元/噸）均由基本價和浮動價兩部分組成，其中基本價保持不變，第1次線上銷售至第15次線上銷售的浮動價與銷售場次成正比，第16次線上銷售至第30次線上銷售的浮動價與銷售場次成反比；信息3：（次）2824（萬元）2.22.83請根據(jù)以上信息，解決下列問題．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若（萬元/噸），求的值；（3）在這30次線上銷售中，哪一次線上銷售獲得利潤最大？最大利潤是多少？考點6新定義問題26．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）【知識遷移】我們知道，函數(shù)的圖像是由二次函數(shù)的圖像向右平移m個單位，再向上平移n個單位得到．類似地，函數(shù)的圖像是由反比例函數(shù)的圖像向右平移m個單位，再向上平移n個單位得到，其對稱中心坐標(biāo)為．【理解應(yīng)用】函數(shù)的圖像可以由函數(shù)的圖像向右平移______個單位，再向上平移______個單位得到，其對稱中心坐標(biāo)為______．【靈活運用】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，請根據(jù)所給的的圖像畫出函數(shù)的圖像，并根據(jù)所畫圖像直接寫出，當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時，？

【實際應(yīng)用】某老師對一位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行跟蹤研究．假設(shè)剛學(xué)完新知識時的記憶存留量為1．新知識學(xué)習(xí)后經(jīng)過的時間為x，發(fā)現(xiàn)該生的記憶存留量隨x變化的函數(shù)關(guān)系為；若在時進(jìn)行一次復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)他復(fù)習(xí)后的記憶存留量是復(fù)習(xí)前的2倍（復(fù)習(xí)時間忽略不計），且復(fù)習(xí)后的記憶存量隨x變化的函數(shù)關(guān)系為．如果記憶存留量為時是復(fù)習(xí)的“最佳時機點”，且他第一次復(fù)習(xí)是在“最佳時機點”進(jìn)行的，那么當(dāng)x為何值時，是他第二次復(fù)習(xí)的“最佳時機點”？27．（2023·江蘇南通·?？既＃┒x：在平面直角坐標(biāo)系中，對于某函數(shù)圖象上的一點P，先向右平移1個單位長度，再向上平移個單位長度得到點Q，若點Q也在該函數(shù)圖象上，則稱點P為該函數(shù)圖象的“n倍平點”．(1)函數(shù)①；②；③中，其圖象存在“2倍平點”的是_______（填序號）；(2)若反比例函數(shù)，圖象恰有1個“n倍平點”，求n的值；(3)求函數(shù)圖象的“3倍平點”的坐標(biāo)．28．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）為了探索函數(shù)的圖象與性質(zhì)，我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法．x…11.5234.569…y…107.56.566.57.510…列表：描點：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點，如圖所示.(1)觀察所描出點的分布，用一條光滑的曲線將點順次連接起來，作出函數(shù)圖象．(2)已知點(x?，y?)、(x?，y?)在函數(shù)圖象上，結(jié)合表格和函數(shù)圖象，回答下列問題(