專題13.2 等腰三角形中的幾何綜合（壓軸題專項(xiàng)講練）（人教版）（解析版）

專題13.2等腰三角形中的幾何綜合【典例1】【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定①：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“形似三角形”．規(guī)定②：從三角形（不是等腰三角形）一個頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“形似三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等腰分割線”．

（1）【概念理解】如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB，則△CBD與△ABC（填“是”或“不是”）互為“形似三角形”．（2）如圖2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=36°，∠B=48°．求證：CD為△ABC的等腰分割線；（3）【概念應(yīng)用】在△ABC中，∠A=45°，CD是△ABC的等腰分割線，直接寫出∠ACB的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）由題意推出∠BCD=36°，∠ABC=72°，∠BDC=72°，從而得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意，通過計算得出△BCD是等腰三角形，∠A=∠A=36°，∠ACD=∠B=48°，∠ADC=∠ACB=96°，從而得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意，分為當(dāng)△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形兩類，當(dāng)△ACD是等腰三角形時，再分為：AC=AD，AD=CD，AC=CD三種情形討論；同樣當(dāng)△BCD是等腰三角形時，也分為三種情形討論，分別計算出∠ACB的度數(shù)即可．【解題過程】（1）解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=1∵∠ABC=72°，∴∠BDC=72°，∴△CBD和△ABC互為“形似三角形”，故答案為：是；（2）證明：．∵∠A=36°，∠B=48°，∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=1∴∠BCD=48°=∠B，∵∠ADC是△BCD的一個外角，∴∠ADC=∠B+∠BCD=96°=∠ACB，∴△BCD是等腰三角形，∠A=∠A=36°，∠ACD=∠B=48°，∠ADC=∠ACB=96°，∴CD為△ABC的等腰分割線；（3）解：（Ⅰ）當(dāng)△ACD是等腰三角形，另一個三角形與原三角形是“形似三角形”時，①如圖1所示：

當(dāng)AD=CD時，則∠ACD=∠A=45°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=90°，此時，△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°；②如圖2所示：

當(dāng)AC=AD時，則∠ACD=∠ADC=180°-45°此時，△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∴∠ACB=45°+67.5°=112.5°；③當(dāng)AC=CD時，這種情況不存在；（Ⅱ）當(dāng)△BCD是等腰三角形，另一個三角形與原三角形是“形似三角形”時，①如圖3所示：

當(dāng)CD=DB時，∠B=∠BCD，此時，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∴∠B=∠BCD=∠ACD，∴∠BDC=∠ACD+∠A=∠ACD+45°，∵∠BDC+∠B+∠BCD=180°，∴∠ACD+45°+∠ACD+∠ACD=180°，∴∠ACD=45°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=2×45°=90°；②如圖4所示：

當(dāng)BC=BD時，∠BDC=∠BCD，此時，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∴∠BCD=∠BDC=∠ACD+∠A=∠ACD+45°，在△BCD中，由三角形內(nèi)角和可知∠B+2∠BDC=180°，得∠ACD+2(∠ACD+45°)=180°，∴∠ACD=30°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=45°+2×30°=105°；③當(dāng)CD=CB時，這種情況不存在；綜上所述：∠ACB=90°或105°或112.5°．1．（2022秋·河南南陽·八年級?？计谀┤鐖D，在等腰△ABC中，AB=AC=3，∠B=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠BDA=105°時，∠BAD=°；點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動時，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”)；（2）當(dāng)DC等于多少時，△ABD?△DCE，請說明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，△ADE的形狀也在改變，判斷當(dāng)∠BDA等于多少度時，△ADE是等腰三角形．

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAD=35°，點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動時，∠BDA逐漸變??；（2）當(dāng)DC=3時，則AB=DC，先由∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，得∠ADB=∠DEC，證出△ABD?△DCE即可；（3）分DA=DE、AE=AD、EA=ED三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算．【解題過程】（1）解：∵∠B=40°，∠BDA=105°，∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-105°-40°=35°，由圖形可知，∠BDA逐漸變小，故答案為：35；小；（2）解：當(dāng)DC=3時，△ABD?△DCE，理由如下：∵AB=3，∴AB=DC，∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，在△ABD和△DCE中，∠ADB=∠DEC∠B=∠C∴△ABD?△DCE（AAS）；（3）解：當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE是等腰三角形，當(dāng)DA=DE時，∠DAE=∠DEA=70°，∴∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°；當(dāng)AD=AE時，∠AED=∠ADE=40°，∴∠DAE=100°，此時，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不合題意；當(dāng)EA=ED時，∠EAD=∠ADE=40°，∴∠AED=100°，∴∠EDC=∠AED-∠C=60°，∴∠BDA=180°-40°-60°=80°，綜上所述，當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE是等腰三角形．2．（2022秋·湖北省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期中）在等腰△ABC中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)．（1）如圖1，連接AE，作EH⊥AC，若AD=2BD，S△BDC=6，EH=2，求（2）如圖2，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，連接BF，BE．若∠BAC=∠ABE=∠CBF，求證：BD+CF=AB．

【思路點(diǎn)撥】（1）利用三角形面積之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可得S△AEC=6，再利用三角形面積公式可求得（2）通過倍延中線構(gòu)造全等三角形的方法，延長BE至G，使EG=BE，連接CG，則△BED≌△GEC，再證明△ABF≌△GBC即可證出結(jié)論．【解題過程】（1）解：∵AD=2BD，S△BDC∴S∵E為CD中點(diǎn)，∴S∵EH⊥AC，∴1∵EH=2，∴AC=6，∵AB=AC，∴AB=6；（2）證明：如圖2，延長BE至G，使EG=BE，連接CG，在△BED和△GEC中，BE=EG∠BED=∠GEC∴△BED≌△GEC，∴BD=CG，∠ABE=∠G，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，即：∠ABF+∠CBF=∠ACB，∵∠BAC=∠CBF，∴∠ABF+∠BAC=∠ACB，∵∠BFC=∠ABF+∠BAC，∴∠BFC=∠ACB，∴BF=BC，∵∠BAC=∠ABE=∠CBF，∴∠BAC=∠G，∠ABF+∠EBF=∠CBG+∠EBF，∴∠ABF=∠GBC，在△ABF和△GBC中，∠BAC=∠G∠ABF=∠GBC∴△ABF≌△GBC，∴AF=CG，又∵BD=CG，∴AF=BD，∵AF+CF=AC，AB=AC，∴BD+CF=AB．3．（2022秋·河北邯鄲·八年級?？计谥校┤鐖D，已知：在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，將一塊足夠大的直角三角尺PMN∠M=90°,∠MPN=30°按如圖放置，頂點(diǎn)Р在線段AB上滑動（且不與A、B重合），三角尺的直角邊PM始終經(jīng)過點(diǎn)C，并且與CB的夾角∠PCB=α，斜邊PN交AC于點(diǎn)D

（1）當(dāng)α=______°，PN∥BC，此時（2）點(diǎn)Р在滑動時，當(dāng)AP長為多少時，△ADP與△BPC全等，為什么？（3）點(diǎn)Р在滑動時，△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，直接寫出夾角α的大?。蝗舨豢梢?，請說明理由．

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行得∠α=∠MPN=30°時，PN∥BC，等腰三角形的性質(zhì)可得（2）當(dāng)AP=4時，△ADP與△BPC全等，理由為：根據(jù)CA=CB，且∠ACB度數(shù)，求出∠A與∠B度數(shù)，再由外角性質(zhì)得到∠α=∠APD，根據(jù)AP=BC，利用ASA即可得證；（3）點(diǎn)P在滑動時，△PCD的形狀可以是等腰三角形，分三種情況考慮：當(dāng)PC=PD；PD=CD；PC=CD，分別求出夾角α的大小即可．【解題過程】（1）若PN∥BC，則∵∠MPN=30°，∴∠α=∠MPN=30°，∵∠ACB=120°，AC=BC，∴∠A=∠B=30°，∵∠α=30°，∴∠APC=∠B+∠α=30°+30°=60°，∵∠MPN=30°，∠APD=∠APC-∠MPN=60°-30°=30°，故答案為：30，30；（2）當(dāng)AP=4時，△ADP≌∵∠ACB=120°，AC=BC，∴∠A=∠B=30°，∵∠APC是△BPC的一個外角，∴∠APC=∠B+∠α=30°+∠α，∵∠APC=∠DPC+∠APD=30°+∠APD，∴∠α=∠APD，∵AP=BC=4，在△ADP和△BPC中，∠A=∠BAP=BC∴△ADP≌（3）∵△PCD是等腰三角形，∠PCD=120°-α，∠CPD=30°，①當(dāng)PC=PD時，∴∠PCD=∠PDC=1即120°-α=75°，∴∠α=45°；②當(dāng)PD=CD時，△PCD是等腰三角形，∴∠PCD=∠CPD=30°，即120°-α=30°，∴α=90°；③當(dāng)PC=CD時，△PCD是等腰三角形，∴∠CDP=∠CPD=30°，∴∠PCD=180°-2×30°=120°，即120°-α=120°，∴α=0°，此時點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D和A重合，∵點(diǎn)P不與A，B重合，∴α=0°，舍去，綜合所述：當(dāng)△PCD是等腰三角形時，α=45°或90°．4．（2023秋·重慶永川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足是點(diǎn)D，AE平分∠CAD，交BC于點(diǎn)E，在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，（1）求證：CE=BF；（2）在AC上取一點(diǎn)M，使CM=2DE，連接MB，交AD于點(diǎn)N，連接ME．求證：①M(fèi)E⊥BC；②DE=DN．

【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)等量代換得到∠1=∠2，∠C=∠3，再根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；（2）①過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CG=EG，∠4=45°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG=ED，進(jìn)而得到EG是CM的垂直平分線，然后等量代換證明即可；②先根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)得到∠6=∠7，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AM=EM，最后根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可．【解題過程】（1）證明：如圖，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，∴∠1+∠EAB=90°，∠2+∠EAB=90°．∴∠1=∠2．又∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=45°．∵FB⊥BC，∴∠3=90°-∠ABC．∴∠C=∠3．在△ABF和△ACE中，∵∠1=∠2AB=AC∴△ABF≌△ACE．∴BF=CE．（2）①如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G．∵∠C=45°，∴△GCE是等腰直角三角形．∴CG=EG，∠4=45°．∵AD⊥BC，AE平分∠CAD，∴EG=ED．∴CG=ED．∵CM=2ED，∴CM=2CG，即G是CM的中點(diǎn)．∴EG是CM的垂直平分線．∴EC=EM．∴∠5=∠4=45°．∴∠MEC=∠5+∠4．即ME⊥BC．②∵AD⊥BC，ME⊥BC，∴ME//AD．∴∠6=∠7．∵∠1=∠6，∴∠1=∠7．∴AM=EM．在RtΔAMB與RtΔ∵M(jìn)B=MBAM=EM∴RtΔAMB≌RtΔ∴∠8=∠9．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠6=∠8=22.5°，AD=BD．在△ADE與△BDN中，∵∠6=∠8AD=BD∴△ADE≌△BDN．∴DE=DN．5．（2022秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知以△ABC的邊AB、AC分別向外作等腰Rt△ABD與等腰Rt△ACE，其中∠BAD=∠CAE=90°，連接BE、CD，BE（1）求證：BE=DC；（2）求∠BOC的大小；（3）連接DE，取DE的中點(diǎn)F，再連結(jié)AF，猜想AF與BC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明．

【思路點(diǎn)撥】（1）先判斷出∠BAE=∠DAC，進(jìn)而利用SAS判斷出ΔBAE≌（2）先判斷出∠ADB+∠ABD=90°，再由ΔBAE≌ΔDAC得出∠ABE=∠ADC（3）延長AF至G，使FG=FA，連接DG，利用SAS判斷出ΔAEF≌ΔGDF，得出AE=DG，∠AEF=∠GDF，進(jìn)而得出∠ADG+∠DAE=180°，進(jìn)而判斷出∠ADG=∠BAC，進(jìn)而利用SAS判斷出Δ【解題過程】（1）證明：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠BAE=∠DAC，∵△ABD與△ACE是等腰直角三角形，∴AB=AD,AE=AC，在△BAE和△DAC中，AB=AD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌△DACSAS∴BE=DC；（2）∵∠BAD=90°，∴∠ADB+∠ABD=90°，由（1）知，△BAE≌△DAC，∴∠ABE=∠ADC，∴∠OBD+∠ODB=(∠ABE+∠ABD)+(∠ADB-∠ADC)=∠ABE+∠ABD+∠ADB-∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BOC=∠OBD+∠ODB=90°；（3）AF⊥BC,BC=2AF證明：如圖，延長AF至G，使FG=FA，連接DG，∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，∴EF=DF，在△AEF和△GDF中，EF=DF∴△AEF≌△GDFSAS∴AE=DG,∠AEF=∠GDF∴DG∥AE，∴∠ADG+∠DAE=180°，∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠DAE+∠BAC=360°-∠BAD-∠CAE=180°∴∠ADG=∠BAC，∵AE=DG,AE=AC，∴DG=AC，在△ADG和△BAC中，DG=AC∠ADG=∠BAC∴△ADG≌△BACSAS∴AG=BC，∵AF=FG，∴AG=2AF∴BC=2AF．延長FA交BC于H，∵∠BAD=90°，∴∠DAG+∠BAH=90°，∵△ADG≌△BAC，∴∠DAG=∠ABC，∴∠ABC+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AF⊥BC．6．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，連接AE，BD交于點(diǎn)F，∠BAC=∠BFE=2∠AEB．

（1）說明：∠EAC=∠ABD；（2）若BD平分∠ABC，BE=15，AF=6，求△BEF的面積；（3）判斷EF，BF，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說明.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)∠BAE+∠EAC=∠BAC，∠BAE+∠ABD=∠BDC，∠BAC=∠BFE，即可證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求出∠ABE+∠AEB=90°，得出∠BAE=180°-90°=90°，證明FA⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出FG=AF=6，根據(jù)三角形面積公式求出S△BEF（3）在BD上截取BH=AE，連接AH，證明△ABH≌△CAESAS，得出∠AHB=∠AEC，∠C=∠BAH，證明∠HAF=∠AHF，得出AF=FH=BF-BH=BF-AE=BF-AF-EF【解題過程】（1）證明：∵∠BAE+∠EAC=∠BAC，∠BAE+∠ABD=∠BDC，又∵∠BAC=∠BFE，∴∠BAE+∠EAC=∠BAE+∠ABD，∴∠EAC=∠ABD；（2）解：過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，如圖所示：

∵AB=AC，∴∠ABE=∠C，∴∠BAC=180°-2∠ABE，∴∠AEB=1∴∠ABE+∠AEB=90°，∴∠BAE=180°-90°=90°，∴FA⊥AB，∵BD平分∠ABC，F(xiàn)G⊥BC，∴FG=AF=6，∴S△BEF（3）解：2AF=BF-EF；理由如下：在BD上截取BH=AE，連接AH，如圖所示：

在△ABH和△CAE中，AB=AC∠ABH=∠CAE∴△ABH≌△CAESAS∴∠AHB=∠AEC，∠C=∠BAH，∴∠AHF=∠AEB=1根據(jù)解析（2）可知，∠BAE=90°，∴∠HAF=90°-∠BAH=90°-∠C，∴∠HAF=∠AHF，∴AF=FH=BF-BH=BF-AE=BF-AF-EF，∴2AF=BF-EF．7．（2022秋·廣東廣州·八年級校考階段練習(xí)）如圖所示：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)P為邊AC上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、C重合），CD⊥BP交BP延長線于點(diǎn)D，點(diǎn)E在BP上且AE⊥AD．

（1）求證：∠BAE=∠DAC；（2）點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動的過程中，∠DAC+∠ABE的大小是否發(fā)生變化？若不變，求出該值，若變化，請說明理由；（3）記△BCP的面積為S，若點(diǎn)P為AC中點(diǎn)且SPD=5，求

【思路點(diǎn)撥】（1）因?yàn)锳E⊥AD，故∠EAD=90°=∠EAC+∠DAC，而∠BAC=90°=∠EAC+∠BAE，即可求解；（2）證明△AEB≌△ADC，則△AED是等腰直角三角形，則∠BAE+∠ABE=∠DAC+∠ABE=45°，即可求解；（3）證明△AHP≌△CDP，則AH=CD=x，HP=PD，從而得到BP=52x，所以得到S=【解題過程】（1）解：∵AE⊥AD，∴∠EAD=90°=∠EAC+∠DAC，∵∠BAC=90°=∠EAC+∠BAE，∴∠BAE=∠DAC．（2）解：∠DAC+∠ABE的大小不發(fā)生變化，理由如下：∵CD⊥BP，∴∠DCP+∠DPC=90°，∵∠ABP+∠APB=90°，∠APB=∠DPC，∴∠ABE=∠DCP，在△AEB和△ADC中，∠BAE=∠DACAB=AC∴△AEB≌△ADCASA∴BE=CD，AE=AD，∴△AED是等腰直角三角形，∴∠BAE+∠ABE=∠DAC+∠ABE=45°，∴∠DAC+∠ABE的大小不發(fā)生變化，為45°．（3）解：由（2）可知△AED是等腰直角三角形，過點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，設(shè)CD=x，

∵點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，∴AP=PC，在△AHP和△CDP中，∠AHP=∠CDP∠APH=∠CPD∴△AHP≌△CDPAAS∴AH=CD=x，HP=PD，∵△AED是等腰直角三角形，且AH⊥BD，∴EH=HD=AH=x，∴HP=PD=12x∴BP=BE+EH+HP=x+x+1∴S=1∵S∴5∵x≠0，∴x=2，∴PE=EH+PH=x+1∴PE=3．8．（2023秋·八年級課時練習(xí)）已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC（1）如圖①，若點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，連接AP，則AP與BC的位置關(guān)系是______________；（2）如圖②，若點(diǎn)P在線段BD上，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AP于點(diǎn)F，則CF，BE和EF這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系是______________；（3）如圖③，在（2）的條件下，若BE的延長線交直線AD于點(diǎn)M，找出圖中與CP相等的線段，并加以證明；（4）如圖④，已知BC=4，AD=2，若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AP于點(diǎn)F，設(shè)線段BE的長度為d1，線段CF的長度為d2，試求出點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中

【思路點(diǎn)撥】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得答案；（2）利用AAS證明△ACF≌△BAE，得CF=AE，AF=BE即可；（3）由（2）同理可證CF=AE．再利用ASA證明△CFP≌△AEM，得CP=AM；（4）用兩種方法表示△ABC的面積，可得d1+d2=8AP【解題過程】（1）解：∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，∴AP⊥BC，故答案為：AP⊥BC；（2）解：CF=BE+EF，∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB=∠AFC=∠BAC=90°，則∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠ACF=90°，∴∠BAE=∠ACF，∵AB=AC，∴△ACF≌△BAEAAS∴CF=AE，AF=BE，∴CF=BE+EF，故答案為：CF=BE+EF；（3）解：CP=AM，理由如下：∵BE⊥AP，CF⊥AP．∴∠AFC=∠AEB=90°，∵∠BAE+∠FAC=90°，∴∠BAE=∠ACF．又∵AB=AC，∴△ACF≌△BAEAAS∴∠BAE=∠ACF，CF=AE．∵在等腰Rt△ABC中，點(diǎn)D是BC∴∠BAD=∠ACD=∵∠BAE=∠ACF，∴∠EAM=∠FCP．在△CFP和△AEM中，∠FCP=∠EAMCF=AE∴△CFP≌△AEMASA∴CP=AM；（4）解：∵AD⊥BC，∴S△ABC=由圖形可知，S△ABC=S∴當(dāng)AP⊥BC時，即：點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，AP最小，此時AP=2∴d1+9．（2022秋·湖南長沙·八年級長沙市南雅中學(xué)?？计谀┰凇鰽BC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，E、F分別為AB、（1）如圖1，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：DE=DF；（2）如圖2，∠AED+∠AFD=180°，請判斷DE和DF有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）如圖3，點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P為CD上的一點(diǎn)，且∠APE=∠C，BA=BP，求

【思路點(diǎn)撥】（1）連接AD，由AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，得AD平分∠BAC，再由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F得DE=DF；（2）過D點(diǎn)作DG⊥AB，DH⊥AC，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到∠BED=∠AFD，由AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，得AD平分∠BAC，再由DE⊥AB，DF⊥AC得，（3）連接AD，過P點(diǎn)作PM⊥AB，通過證明△ADP≌△PMA（AAS）【解題過程】（1）證明：如圖，連接AD，∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵D為BC的中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，∴DE=DF；（2）解：DE=DF，理由如下：如圖，過D點(diǎn)作DG⊥AB，∵∠AED+∠AFD=180°，∴∠BED=∠AFD，∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵D為BC的中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC，∵DG⊥AB，∴DG=DH，在△DGE和△DHF中，∠GED=∠HFD∠DGE=∠DHF∴△DGE≌△DHF（∴DE=DF；（3）解：如圖，連接AD，過P點(diǎn)作PM⊥AB，

∵BA=BP，∴∠BAP=∠APD，∵AD⊥BC，∴∠ADP=∠AMP，∵AP=AP，∴△ADP≌△PMAAAS∴AM=DP，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠APE=∠C，∴∠APE=∠B，∴∠AEP=∠B+∠BPE=∠APE+∠BPE=∠APD，∴∠AEP=∠BAP，∴PA=PE，∵PM⊥AE，∴AE=2AM=2DP，

∴DPAE10．（2022秋·重慶長壽·八年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)O（1）若∠EOF=90°，兩邊分別交AC，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．如圖1，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC和BC上時，求證：OE=OF；（2）如圖2，若∠EOF=90°，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC和CB的延長線上時，連接EF，若OE=6，則S△EOF（3）如圖3，若∠EOF=45°，兩邊分別交邊AC于E，交BC的延長線于F，連接EF，若CF=3，EF=5，試求

【思路點(diǎn)撥】（1）連接OC，證明△AOE≌△COFASA（2）連接OC，△COE≌△BOF(ASA)，得出（3）連接CO，過點(diǎn)O作HO⊥FO，交CA的延長線于點(diǎn)H，證明△COF≌△AOHASA，得出CF=AH=3，OF=OH，證明△EOF≌△EOHSAS，得出【解題過程】（1）證明：如圖，連接OC，∵AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴AO=CO=BO，∠AOC=∠EOF=90°，∠A=∠BCO=45°，∴∠AOE+∠COE=∠COF+∠COE=90°，∴∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COFASA∴OE=OF；（2）解：如圖，連接OC，∵AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴AO=CO=BO，∠BOC=∠EOF=90°，∠ABC=∠ACO=45°，∴∠OCE=∠OBF=180°-45°=135°，∠COE+∠EOB=∠EOB+∠BOF=90°，∴∠COE=∠BOF，∴△COE≌△BOF(ASA∴OE=OF=6，∴S△EOF故答案為：18．（3）解：如圖，連接CO，過點(diǎn)O作HO⊥FO，交CA的延長線于點(diǎn)H，∵AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴AO=CO=BO，∠AOC=∠FOH=90°，∠BAC=∠BCO=45°∴∠OCF=∠OAH=180°-45°=135°，∠COF+∠AOF=∠AOF+∠AOH=90°，∴∠COF=∠AOH，∴△COF≌△AOHASA∴CF=AH=3，OF=OH，∵∠EOF=45°，∠FOH=90°，∴∠EOF=∠EOH=45°，又∵OF=OH，EO=EO，∴△EOF≌△EOHSAS∴EF=EH=5，∴AE=EH-AH=2．11．（2022秋·北京海淀·八年級?？计谥校┰讦BC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D在直線BC上，∠C=2∠BDE，BE⊥DE于點(diǎn)E，DE交直線AB于點(diǎn)F（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，且E與A在BC同側(cè)時，①補(bǔ)全圖形；②試探究線段BE與線段FD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖2，點(diǎn)D在線段BC上，試探究線段BE與線段FD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【思路點(diǎn)撥】（1）①根據(jù)要求作出圖形即可，②結(jié)論：FD=2BE，延長延長BE交CA延長線于F，證明△CEF≌△CEB(ASA)，得出FE=BE，再證明△ACD≌△ABF(ASA)，即可得出結(jié)論；（2）結(jié)論：BE=12DF，過點(diǎn)D作DG//AC，交BE的延長線于點(diǎn)G，與AF相交于H，證明△BGH≌△DFH(ASA)，推出BG=DF【解題過程】（1）解：①圖形如圖1所示：②結(jié)論：FD=2BE，理由如下：延長BE交CA延長線于F，∵CD平分∠ACB，∴∠FCE=∠BCE，在△CEF和△CEB中，∠FCE=∠BCECE=CE∴△CEF≌△CEB(ASA)，∴FE=BE，∵∠DAC=∠CEF=90°，∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°，∴∠ACD=∠ABF，在△ACD和△ABF中，∠ACD=∠ABFAC=AB∴△ACD≌△ABF(ASA)，∴FD=BF，∴FD=2BE．（2）解：結(jié)論：BE=1過點(diǎn)D作DG//AC，交BE的延長線于點(diǎn)G，與AF相交于H，∵DG//AC，∴∠GDB=∠C，∠BHD=∠A=90°，∵∠EDB=1∴∠EDB=∠EDG=1∵BE⊥ED，∴∠BED=90°，∴∠BED=∠BHD，∵∠EFB=∠HFD，∴∠EBF=∠HDF，∵AB=AC∴∠C=∠ABC=45°，∵DG//AC，∴∠GDB=∠C=45°，∴∠GDB=∠ABC=45°，∴BH=DH，在△BGH和△DFH中，∠HBG=∠HDFBH=DH∴△BGH≌△DFH(ASA)，∴BG=DF，在△BDE和△GDE中，∠BDE=∠GDEDE=DE∴△BDE≌△GDE(ASA)∴BE=EG，∴BE=112．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校?？计谥校┮阎鰽BC，CD⊥AB，∠A=2∠BCD．（1）如圖1，求證：AB=AC；（2）如圖2，在AC上取點(diǎn)E，連接DE，若∠ACD=2∠ADE，取DE的中點(diǎn)F，作FG⊥BC于G，求證：GF=CG；（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)G交CD于點(diǎn)H，若BD=2DH，△BCD的面積為4，求CH長度．

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)垂直的定義及三角形內(nèi)角和定理分別用∠BCD表示出∠B和∠ACB，即可得結(jié)論．（2）如圖，連接CF，根據(jù)∠A=2∠BCD，∠ACD=2∠ADE可得∠BCD+∠ADE=45°，根據(jù)角的和差關(guān)系及外角性質(zhì)可得∠CDE=∠DEC，即可得出CD=CE，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得CF平分∠DCE，可得∠BCD+∠FCD=45°，進(jìn)而可得結(jié)論．（3）如圖，連接CF，過點(diǎn)D作DP⊥DE，交FG于P，過點(diǎn)F作FM∥BC，交AB于M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于N，連接FN，根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)及角的和差關(guān)系可得∠MDF=∠PDH，利用ASA可證明△MDF?△HDP，即可得出DM=DH，利用AAS可證明△MFN?△GNF，可得MN=FG=CG，利用ASA可證明△BMN?△PCG，可得CH=BM，根據(jù)BD=2DH及△BCD的面積即可得出DH的長，進(jìn)而可得答案．【解題過程】（1）∵CD⊥AB，∴∠ACD=90°-∠A，∠B=90°-∠BCD，∵∠A=2∠BCD，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°-∠BCD，∴∠B=∠ACB，∴AB=AC．（2）如圖，連接CF，∵∠ACD=2∠ADE，∠A=2∠BCD，CD⊥AB，∴2∠BCD+2∠ADE=90°，即∠BCD+∠ADE=45°，∵∠ADE+∠CDE=90°，∴∠CDE=2∠BCD+∠ADE，∵∠DEC=∠A+∠ADE=2∠BCD+∠ADE，∴∠CDE=∠DEC，∴CD=CE，∵F為DE的中點(diǎn)，∴CF平分∠DCE，∴∠FCD=1∴∠BCD+∠FCD=45°，即∠GCF=45°，∵FG⊥BC，∴∠GFC=∠GCF=45°，∴GF=CG．（3）如圖，連接CF，過點(diǎn)D作DP⊥DE，交FG于P，過點(diǎn)F作FM∥BC，交AB于M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于N，連接FN，∵F為DE的中點(diǎn)，CD=CE，∴CF⊥DE，∵∠GFC=45°，∴∠DFP=∴DP=DF，∵FM∥BC，∴∠MFG=90°，∴∠MFD=∠DPH=45°，∵∠MDF+∠FDH=∠PDH+∠FDH，∴∠MDF=∠PDH，在△MDF和△HDP中∠MDF=∠PDHDF=DP∴△MDF?△HDP，∴DM=DH，∵M(jìn)N⊥BC，F(xiàn)M∥BC，∴∠MFN=∠FNG,∠FMN=90°，在△MFN和△GNF中∠FMN=∠FGN∠MFN=∠FNG∴△MFN?△GNF，∴MN=FG=CG，∵∠BCD+∠B=∠BMN+∠B，∴∠BCD=∠BMN，在△BMN和△PCG中，∠BMN=∠BCDMN=CG∴△BMN?△PCG，∴CH=BM，∵BD=2DH，∴CH=BM=3DH，CD=4DH，∵S△BCD∴12∴DH=1，∴CH=3DH=3．13．（2022秋·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE∥BD，AE=BF，AE⊥EF，EF交AB（1）小明說：PE與PF有一定數(shù)量關(guān)系，試說出小明的猜想，并加以證明；（2）小偉說：如圖2，連接CE，如果CE=AC，則AE=EF，請幫助小偉加以證明；（3）小超受小偉的啟發(fā)，在小偉添加的條件下，也提出一個問題：如圖3，在BD上取點(diǎn)Q，使∠ECQ=45°，若AE=6，求ΔBCQ

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)AE∥BD得到∠BFE=∠AEF，∠ABF=∠BAE，即可得到（2）連接BE，根據(jù)CE=AC得到∠CEA=∠CAE，根據(jù)AE∥BD得到∠BDC=∠CAE，即可得到∠BDC=∠CEA，根據(jù)AE⊥EF及等腰Rt△ABC可得∠FBC=∠FEC，根據(jù)CE=AC，BC=AC可得∠CBE=∠CEB（3）連接CP，過點(diǎn)C作CH⊥EF交EF延長線于點(diǎn)H，根據(jù)△BFP≌△AEP，可得BP=AP，根據(jù)Rt△ABC與CP⊥AB易得∠BCQ=∠PCE，即可得到ΔCBQ≌ΔCEP(ASA【解題過程】（1）解：PE=PF；∵AE∥∴∠BFE=∠AEF，∠ABF=∠BAE，在ΔBFP與Δ∵∠ABF=∠BAEBF=AE∠BFE=∠AEF∴ΔBFP∴PE=PF；（2）證明：如圖2，連接BE，∵CE=AC，∴∠CEA=∠CAE，∵AE∥∴∠BDC=∠CAE，∴∠BDC=∠CEA，∵AE⊥EF，∴∠CEA+∠CEF=90°，∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°∴∠BDC+∠CBD=90°，∴∠FBC=∠FEC，∵CE=AC，BC=AC，∴CE=BC，∴∠CBE=∠CEB，∴∠CBE-∠FBC=∠CEB-∠FEC，∴∠FBE=∠FEB，∴EF=BF，∵AE=BF，∴AE=EF；（3）解：連接CP，過點(diǎn)C作CH⊥EF交EF延長線于點(diǎn)H，∵△BFP≌∴BP=AP，∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC∴CP⊥AB，∠BCP=∠ACP=45°，∵∠ECQ=45°，∴∠BCQ=∠PCE，在ΔCBQ與Δ∵∠FBC=∠FECCE=BC∴ΔCBQ∵∠CAP=∠ACP=45°，∴CP=AP，∵CP⊥AB，CH⊥HE，AE⊥EF，∴∠CPA=∠CHE=∠AEP=90°，∴∠APE+∠EAP=∠APE+∠HPC，∴∠EAP=∠HPC，在ΔAPE與Δ∵∠EAP=∠HPC∠CHE=∠AEP∴ΔAPE∴CH=PE，∵AE=6，PE=PF=3，∴CH=3，∴S△BCQ14．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知△ABC和△ADE，∠CAB=∠EAD=90°，AB=AC，AD=AE．連接BD、CE，過點(diǎn)A作AH⊥CE于點(diǎn)H，反向延長線段AH交BD于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)AB=AD時①請直接寫出BF與DF的數(shù)量關(guān)系：____________（填“>”、“<”、“=”）②求證：CE=2AF（2）如圖2，當(dāng)AB≠AD時，上述①②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

【思路點(diǎn)撥】（1）①證明出△BAF≌△DAF，即可得到BF=DF，從而得到答案；②先證明出△BAF≌△DAF，得到∠AFB=∠CHA，從而推出△AFB≌△CHA，從而即可得到答案；（2）作BM⊥AF于點(diǎn)M，作DN⊥AF交AF的延長線于點(diǎn)N，通過證明△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA，可得到DN=AH，BM=DN，再△BMF≌△DNF，進(jìn)行推理即可得到答案．【解題過程】（1）解：①∵AB=AC，AD=AE，AB=AD，，∴AC=AE，∵AH⊥CE，∴∠CAH=∠EAH，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAH+∠BAF=90°，∠EAH+∠DAF=90°，∴∠BAF=∠DAF，在△BAF和△DAF中，AB=AD∠BAF=∠DAF∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF=DF，故答案為：=；②∵AC=AE，AH⊥CE，∴CH=EH=1∴CE=2CH，∵∠BAC=∠AHC=90°，∴∠BAF+∠CAH=90°，∠ACH+∠CAH=90°，∴∠BAF=∠ACH，∵△BAF≌△DAF，∴∠AFB=∠AFD=90°，∴∠AFB=∠CHA，在△AFB和△CHA中，∠AFB=∠CHA∠BAF=∠ACH∴△AFB≌△CHA（AAS）∴AF=CH，∴CE=2AF；（2）解：成立，證明如下：作BM⊥AF于點(diǎn)M，作DN⊥AF交AF的延長線于點(diǎn)N，∴∠BMA=∠N=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∠DAN+∠ADN=90°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAM+∠CAH=90°，∠DAN+EAH=90°，∴∠ABM=∠CAH，∠ADN=∠EAH，∵AH⊥CE，∴AMB=∠CHA=∠N=∠EHA=90°，在△AMB和△CHA中，∠AMB=∠CHA∠ABM=∠CAH∴△AMB≌△CHA（AAS），∴MB=AH，同理可證△AND≌△EHA（AAS），∴DN=AH，∴BM=DN，在△BMF和△DNF中，∠BMF=∠N∠BFM=∠DFN∴△BMF≌△DNF（AAS），∴BF=DF，MF=NF，∴AM=AF-MF，AN=AF+NF=AF+MF，∴AM+AN=AF-MF+AF+MF=2AF，∵△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA，∴AM=CH，AN=EH，∴CH+EH=AM+AN=2AF，∵CE=CH+EH，∴CE=2AF，即BF=DF，CE=2AF．15．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D在射線BC上，連接AD，在AD右側(cè)作等腰Rt△ADE

（1）如圖1，若AD平分∠BAC，延長AE、BC交于點(diǎn)F，求證：DE=EF；（2）如圖2，點(diǎn)M為AE的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)M在線段CD的垂直平分線上；（3）如圖3，射線AC與射線ED交于點(diǎn)G，若AD+DG=AE，求∠ADC的度數(shù)．

【思路點(diǎn)撥】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DEA=45°，由角平分線的定義得到∠BAD=12∠BAC=22.5°，進(jìn)而求出∠ADB=67.5°，則可得∠EDF=22.5°，利用三角形外角的性質(zhì)可得∠EFD=∠EDF=22.5°（2）如圖所示，在AB上取一點(diǎn)H使得BH=BD，連接CM并延長到T，使得CM=TM，連接AT，CE，DM，DH，證明△BDH是等腰直角三角形，推出∠AHD=435°，證明AH=DC，∠BAD=∠CDE，進(jìn)而證明△AHD≌△DCESAS，得到∠DCE=∠AHD=135°，則∠ACE=90°；證明△AMT≌△EMC，得到AT=CE，∠MAT=MEC，進(jìn)而推出∠TAC=∠ECA=90°，證明△ATC≌△CEA，得到AE=CT，則AE=2CM；證明△ADM（3）如圖所示，延長AD到K使得DK=DG，連接EK，設(shè)直線AC與EK交于M，證明△ADG≌△EDK，得到∠DAG=∠DEK，由三角形內(nèi)角和定理得到∠EMG=∠ADG=90°，再證明AK=AE，得到∠KAM=∠EAM=22.5°，同理可得∠CDG=22.5°，則∠ADC=∠ADE+∠CDG=112.5°．【解題過程】（1）證明：∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DEA=45°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=1∴∠ADB=90°-∠BAD=67.5°，∴∠EDF=180°-∠ADE-∠ADB=22.5°，∴∠EFD=∠AED-∠EDF=22.5°，∴∠EFD=∠EDF，∴ED=EF；（2）證明：如圖所示，在AB上取一點(diǎn)H使得BH=BD，連接CM并延長到T，使得CM=TM，連接AT，∵BH=BD，∴△BDH是等腰直角三角形，∴∠BHD=45°，∴∠AHD=435°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=CB，∠ACB=45°，∴AB-BH=BC-BD，即AH=DC，∵∠BAD+∠BDA=90°=∠BDA+∠CDE，∴∠BAD=∠CDE，又∵AD=DE，∴△AHD≌△DCESAS∴∠DCE=∠AHD=135°，∴∠ACE=90°；∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，∴AM=EM，又∵TM=CM，∴△AMT≌△EMC，∴AT=CE，∴AT∥CE，∴∠TAC=∠ECA=90°，又∵AC=CA，∴△ATC≌△CEASAS∴AE=CT，∵CT=2CM，∴AE=2CM；∵△ADE是等腰直角三角形，M是AE的中點(diǎn)，∴DM⊥AE，∴△ADM、∴AM=DM=ME，∴AE=2DM，∴DM=CM，∴點(diǎn)M在線段CD的垂直平分線上；（3）解：如圖所示，延長AD到K使得DK=DG，連接EK，設(shè)直線AC與EK交于M，∵AD=ED，∴△ADG≌△EDKSAS∴∠DAG=∠DEK，又∵∠AGD=∠EGM，∴∠EMG=∠ADG=90°，∵AD+DG=AE，∴AE=AD+DK，∴AK=AE，∴∠KAM=∠EAM=22.5°，∴AD平分∠BAC，∴同理可得∠CDG=22.5°，∴∠ADC=∠ADE+∠CDG=112.5°．16．（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知等腰三角形ABC與等腰三角形BED全等，邊AB與邊BE重合，BD交射線AC于點(diǎn)M，AB=AC．

（1）若∠ACB=72°，求∠AMB的度數(shù)．（2）如圖2，將等腰三角形BDE繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)E作EN∥DB，交AM于點(diǎn)N．①求證：EN=AN．②判斷EN，

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的內(nèi)角和求解即可；（2）①證明∠BEA=∠BAE，∠BEN=∠BAC，可得∠NEA=∠NAE，進(jìn)而可得結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)M在AC延長線上時，連接BN，并延長交AE于點(diǎn)F，證明∠MNB=∠MBN，可得MN=MB，然后利用線段的和差代換可得結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)M在AC上時，同理求解．【解題過程】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°．∴∠BAC=36°．∵等腰三角形ABC與等腰三角形BED全等，∴∠ABD=∠BAC=36°．∴∠AMB=180°-∠ABD-∠BAC=108°．（2）①證明：如圖，

連接AE，由旋轉(zhuǎn)可得AB=EB．∴∠BEA=∠BAE．∵△ABC≌∴∠BAC=∠EBD．∵EN∥∴∠BEN=∠EBD．∴∠BEN=∠BAC．∴∠BEA-∠BEN=∠BAE-∠BAC．即∠NEA=∠NAE．∴AN=EN．②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在AC延長線上時，連接BN，并延長交AE于點(diǎn)F．

∵BE=BA．∵BF是AE的垂直平分線．∵AB=EB，∴∠ABF=∠EBF．∵∠BNM=∠BAC+∠ABF，∠MBN=∠EBD+∠EBF，∴∠MNB=∠MBN．∴MN=MB．∵AC=MN+AN-CM，∴DM=AN-CM．由（1）得EN=AN，∴EN=DM+CM．當(dāng)點(diǎn)M在AC上時，連接BN，并延長交AE于點(diǎn)F,如圖，

同理可得MN=MB．∵AC=MN+AN+CM，∴DM=AN+CM，由（1）得EN=AN，∴EN=DM-CM．17．（2022秋·江蘇常州·八年級?？茧A段練習(xí)）如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的特異線，稱這個三角形為特異三角形．如圖①，在△ABC中，∠B＝2∠C，線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．（1）求證：AE是△ABC的一條特異線；（2）如圖②，若△ABC是特異三角形，且∠A＝30°，∠B為鈍角，求出所有可能的∠B的度數(shù)；（3）若某等腰三角形是特異三角形，求此等腰三角形的頂角度數(shù)（直接寫出答案即可）．

【思路點(diǎn)撥】（1）只要證明ΔABE，ΔAEC是等腰三角形即可．（2）如圖2中，當(dāng)BD是特異線時，分三種情形討論，如圖3中，當(dāng)AD是特異線時，AB=BD，AD=DC根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可解決問題，當(dāng)CD為特異線時，不合題意．（3）分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．【解題過程】解：（1）證明：如圖1中，∵DE是線段AC的垂直平分線，∴EA=EC，即ΔEAC是等腰三角形，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，即ΔEAB是等腰三角形，∴AE是ΔABC是一條特異線．（2）如圖2中，當(dāng)BD是特異線時，如果AB=BD=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°，如果AD=AB，DB=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，如果AD=DB，DC=DB，則ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合題意舍棄）．如圖3中，當(dāng)AD是特異線時，AB=BD，AD=DC，則∠ABC=180°-20°-20°=140°當(dāng)CD為特異線時，不合題意．∴符合條件的∠ABC的度數(shù)為135°或112.5°或140°．（3）如圖4，在△ABC中，AB=AC，則∠B=∠C，當(dāng)AD是特異線，①如果AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°，∴∠BAC=90°，②如果AD=BD，AC=CD，∴∠BAD=∠B，∠ADC=∠DAC=2∠B，∴∠BAC=3∠B，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°，當(dāng)BD是特異線，如圖5，當(dāng)AD=BD，BD=BC，∴∠BAD=∠ABD，∠C=∠BDC=2∠A，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=36°，當(dāng)AD=BD，CD=BC，同理可求：∠A=1807綜上所述：等腰三角形的頂角度數(shù)為90°，108°，36°，180718．（2022秋·福建泉州·八年級福建省泉州市培元中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AC、BD上，且滿足∠ADB+∠ECB=90°，延長CE交AB于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠BAC=100°,∠ADB=70°．①求證：CF平分∠ACB；②求證：BC=AF+CF；（2）如圖2，過點(diǎn)B作BM⊥BD，交CF的延長線于點(diǎn)M，若BM=12BC，CEAC=ab，記△BCE的面積為S1，△ABC的面積為

【思路點(diǎn)撥】（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得∠ACF=∠BCF，即可得證；②過點(diǎn)F作FQ⊥AC,FP⊥AB,得出FP=FQ，作∠GFP=10°，GF交BC于點(diǎn)G，得出CF=CG，證明△FQA≌△FPG，得出AF=FG，GB=GF，根據(jù)BC=BG+CG=AF+FC（2）過點(diǎn)A作AN⊥BC，于點(diǎn)N，證明∠NAC=∠MEB，進(jìn)而證明△BME≌△NCAAAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出S△BME=S△CNA=【解題過程】（1）①證明：∵∠BAC=100°,∠ADB=70°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=1∵∠ADB+∠ECB=90°，∴∠ECB=90°-∠ADB=20°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=40°-20°=20°，，∴∠ACF=∠BCF，即CF平分∠ACB；②如圖，過點(diǎn)F作FQ⊥AC,FP⊥AB,∴∠PFC=90°-∠BCF=90°-20°=70°，∵CF平分∠ACB，∴FP=FQ，∵∠ACF=20°，∠FAC=100°，∴∠AFC=60°,∠QAF=80°，∴∠QFA=90°-∠QAF=10°，作∠GFP=10°，GF交BC于點(diǎn)G，∵∠GFP=10°，∴∠FGP=80°,∠GFC=∠PFC+∠GFP=70°+10°=80°，∴CF=CG，在△FQA與△FPG中∠QFA=∠PFG=10°∴△FQA≌△FPG∴AF=FG，∵∠FBG=∠ABC=40°,∠FGC=80°，∴∠GFB=∠FGC-∠FBG=40°，∴∠GBF=∠GFB，∴GB=GF，∴BG=AF，∴BC=BG+CG=AF+FC，∴BC=AF+CF；（2）如圖，過點(diǎn)A作AN⊥BC，于點(diǎn)N，∵AB=AC,AN⊥BC，∴BN=NC=1∵BM=1∴BM=BN=NC，∵∠ADB+∠ECB=90°，∴∠ADB=90°-∠ECB，∴∠EDC=180°-∠ADB=180°-90°-∠ECB∵∠DEC=180°-∠EDC-∠ACM=180°-=90°-∠ECB-∠ACM=90°-∠ACB=∠NAC，由∠MEB=∠DEC，∴∠NAC=∠MEB，∵BM⊥BD，∴∠MBE=90°，∴∠MBE=∠CNA=90°，在△BME與△NCA中，∠MBE=∠CNA∠MEB=∠CAN∴△BME≌△NCAAAS，∴ME=AC，∴S△BME∵CEAC∵S△BEC∴S△BEC記△BCE的面積為