理論力學(xué) 第3章

第三章空間力系第三章空間力系§

3-1空間匯交力系§

3-2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩§

3-3空間力偶§

3-4空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化主矢和主矩§

3-5空間任意力系的平衡方程§

3-6重心1、理解力對(duì)點(diǎn)之矩矢量定義；熟練掌握力對(duì)軸之矩。2、了解空間力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化過程以及空間力系合成的幾種結(jié)果。3、掌握空間力系平衡方程的應(yīng)用。4、了解物體重心的各種計(jì)算方法與實(shí)驗(yàn)方法。目的要求重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：力對(duì)軸之矩的計(jì)算，空間力系平衡方程的應(yīng)用。難點(diǎn)：空間力系的簡(jiǎn)化與合成。直接投影法空間力系中各力作用線匯交于一點(diǎn)§3-1空間匯交力系空間匯交力系1.力在直角坐標(biāo)軸上的投影

若已知力與正交坐標(biāo)系Oxyz三軸間的夾角間接（二次）投影法

若力與坐標(biāo)軸Ox，Oy間的夾角不易確定時(shí)空間匯交力系的合力2.空間匯交力系的合力與平衡條件

空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點(diǎn).合矢量（力）投影定理合力的大小方向余弦空間匯交力系平衡的充分必要條件是：——空間匯交力系的平衡方程

空間匯交力系平衡的充要條件：該力系中所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別為零.該力系的合力等于零，即幾何法表示:力系中所有各力矢量構(gòu)成的矢量多邊形自行封閉。解析法表示:平衡條件求：力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影.例3-1已知：解：將力向z軸和Oxy平面投影，得：再將力向x軸和y軸投影，得：例3-2已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；求：桿受力及繩拉力解：畫受力圖，列平衡方程（3）作用面：力矩作用面.（2）方向:方位：力矩作用面的法線方向；指向：右手螺旋法三要素：（1）大小:力

與力臂的乘積§3-2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩1.力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示——力矩矢在平面力系中——代數(shù)量在空間力系中——矢量力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)點(diǎn)

的矩在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為

力矩矢的始端必須在矩心，為定位矢量力對(duì)點(diǎn)之矩的大小力對(duì)點(diǎn)之矩的方向FxyFzFxy正負(fù)號(hào)判斷：

力對(duì)軸之矩等于此力在垂直于該軸的平面上的投影對(duì)該軸與此平面交點(diǎn)之矩。2.力對(duì)軸的矩用來度量力對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的作用效果

單位：hABabxyzO力對(duì)軸之矩推論：1.力沿作用線滑動(dòng)后，F(xiàn)xy與h不變，故力對(duì)軸之矩不變；2.力與軸在同一平面時(shí)，力對(duì)軸之矩為零。FxyFzFxyhABabxyzO（1）當(dāng)力與軸平行時(shí)力與軸在同一平面時(shí)，力對(duì)軸的矩等于零力對(duì)軸的矩等于零的情形：（2）當(dāng)力與軸相交時(shí)力對(duì)軸之矩的解析式：例3-4求力F在三軸上的投影和對(duì)三軸的矩。解：3.力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系力對(duì)軸之矩力對(duì)點(diǎn)之矩對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。[例]如圖所示，長方體棱長為a、b、c，力F沿BD，求力F對(duì)AC之矩。解：作業(yè)：習(xí)題3-9，3-10,3-11§3-3空間力偶1.力偶矩以矢量表示——力偶矩矢用來度量空間力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)自由矢量空間力偶的三要素：（3）作用面：力偶作用面。（2）方向：方位：力矩作用面的法線方向；指向：右手螺旋法（1）大?。菏噶康哪＃εc力偶臂的乘積作用在同一剛體上的兩個(gè)空間力偶，如果其力偶矩矢相等，則它們彼此等效。實(shí)例2.空間力偶等效定理定理

空間力偶可以平移到與其作用面平行的任意平面上而不改變力偶對(duì)剛體的作用效果.

只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時(shí)改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，對(duì)剛體的作用效果不變.推論3.空間力偶系的合成與平衡條件

任意個(gè)空間分布的力偶可合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和.幾何法==合力偶矩矢的大小解析法方向余弦——空間力偶系的平衡方程空間力偶系平衡的充分必要條件是:合力偶矩矢等于零，即：平衡條件幾何法表示:力偶系中所有各力偶矩矢量構(gòu)成的矢量多邊形自行封閉。解析法表示:求：工件所受合力偶矩在軸上的投影.已知：在工件四個(gè)面上同時(shí)鉆5個(gè)孔，每個(gè)孔所受切削力偶矩均為80N·m.

把力偶用力偶矩矢表示，平行移到點(diǎn)A.例3-5解：例3-7求：正方體平衡時(shí)，力的關(guān)系和兩根桿受力.,不計(jì)正方體和直桿自重.已知：正方體上作用兩個(gè)力偶兩桿為二力桿，取正方體，畫受力圖建坐標(biāo)系如圖b以矢量表示力偶，如圖c設(shè)正方體邊長為a

,有桿受拉，受壓。解：空間任意力系簡(jiǎn)化為：空間匯交+空間力偶系§3-4空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化主矢和主矩1.空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化力的平移定理主矩主矢空間力偶系的合力偶矩由力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩的關(guān)系，有空間匯交力系的合力空間任意力系向任意點(diǎn)O簡(jiǎn)化，一般情況下可以得到：

一力和一力偶；該力的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡(jiǎn)化中心O；該力偶的矩矢等于該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩；主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)，主矩一般與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。2.空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析平面任意力系空間任意力系力偶力平衡一個(gè)合力偶此時(shí)與簡(jiǎn)化中心無關(guān)。若空間力系的主矢等于零，而主矩不等于零，即：合力偶（1）過簡(jiǎn)化中心的合力合力（2）合力矩定理：合力對(duì)某點(diǎn)(軸）之矩等于各分力對(duì)同一點(diǎn)（軸）之矩的矢量和.合力作用線距簡(jiǎn)化中心為：合力合力（1）由一力和一力偶組成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面中心軸過簡(jiǎn)化中心的力螺旋力螺旋鉆頭鉆孔時(shí)施加的力螺旋（2）既不平行也不垂直，成任意夾角力螺旋中心軸距簡(jiǎn)化中心為平衡平衡平面任意力系空間任意力系力偶力偏移力平衡力偶力平衡偏移力或力螺旋或偏移力螺旋作業(yè)：習(xí)題3-6，3-12空間任意力系平衡的必要和充分條件：

所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸中每一個(gè)軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對(duì)于每一個(gè)坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也等于零。該力系的主矢和對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都為零

§3-5空間任意力系的平衡方程1.空間任意力系的平衡方程空間平行力系的平衡方程

設(shè)力系平行于z軸，則力系在x軸和y軸的投影以及對(duì)于z軸的矩恒等于零：2.空間約束類型舉例例3-8已知：P=8kN,各尺寸如圖求：A、B、D

處約束力選取小車為研究對(duì)象列平衡方程解：[例]一等邊三角形板邊長為a,用六根桿支承成水平位置如圖所示，若在板內(nèi)作用一力偶其矩為M。求各桿的約束力。解:取等邊三角形板為研究對(duì)象畫受力圖。

平行力系合力作用點(diǎn)的位置僅與各平行力系的大小和作用位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。根據(jù)合力矩定理,有§3-6重心1.平行力系中心設(shè)力作用線方向的單位矢量為對(duì)坐標(biāo)軸投影后得到：2.重心

地球表面物體的重力可以看作是平行力系，此平行力系的中心即物體的重心。其中：對(duì)均質(zhì)物體，有：均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，即形心對(duì)均質(zhì)、等厚的物體，有：其中：其中：（1）簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心3.確定物體重心方法

若物體具有對(duì)稱面、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心。該物體的重心在對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心上（2）用組合法求重心分割法：若一個(gè)物體由幾個(gè)簡(jiǎn)單形狀的物體組合而成，而這些物體的重心是已知的。負(fù)面積法（負(fù)體積法）：若在物體或薄板內(nèi)切去一部分，則這類物體的重心仍可應(yīng)用與分割法相同的公式來求得，只是切去部分的體積或面積應(yīng)取負(fù)值。例3-12求：其重心坐標(biāo)已知：均質(zhì)等厚Z字型薄板尺寸如圖所示.則用虛線分割如圖，為三個(gè)小矩形，其面積與坐標(biāo)分別為解:由由對(duì)稱性，有用負(fù)面積法，為三部分組成.例3-13求：其重心坐標(biāo).已知：等厚均質(zhì)偏心塊的得解：[例]求圖示均質(zhì)板重心的位置。解一：（組合法）建立如圖坐標(biāo)：解二：（負(fù)面積法）

需要求一個(gè)已有的不規(guī)則形狀或不均勻物體的重心時(shí)，可采用實(shí)驗(yàn)法。例如：懸掛法和稱重法等（3）用實(shí)驗(yàn)法求重心懸掛法：稱重法：則有作業(yè)：習(xí)題3-15，3-19作業(yè)：習(xí)題3-22，3-26例3-3求：三根桿所受力.已知：P=1000N,各桿重不計(jì).各桿均為二力桿，取球鉸O，畫受力圖。（拉）解：求:軸承A,B處的約束力.例3-6已知：兩圓盤半徑均為200mm，AB=800mm，圓盤面O1垂直于z軸，圓盤面O2垂直于x軸，兩盤面上作用有力偶，F(xiàn)1=3N，

F2=5N，構(gòu)件自重不計(jì).取整體，受力圖如圖解：例3-10已知：各尺寸如圖求：（2）A、B處約束力