如何求定積分的原函數(shù)

如何求定積分中被積函數(shù)的原函數(shù)com利用微積分根本定理以求定積分的關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，即尋找滿足的函數(shù).如何求出一個(gè)被積函數(shù)的原函數(shù)呢？我們知道求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)與求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是互逆運(yùn)算，所以要求被積函數(shù)的原函數(shù)，首先要明確它們之間的關(guān)系：原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是被積函數(shù)，并且導(dǎo)函數(shù)是唯一確定的，而被積函數(shù)的原函數(shù)是不唯一的.即假設(shè)，那么被積函數(shù)的原函數(shù)為〔為常數(shù)〕.類型一被積函數(shù)為根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求這種類型被積函數(shù)的原函數(shù)，關(guān)鍵是要記準(zhǔn)上述根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，找到對應(yīng)的被積函數(shù).由根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可知：假設(shè)是被積函數(shù)，為原函數(shù)，那么有：假設(shè)，那么為常數(shù)〕；假設(shè)，那么，為常數(shù)〕；假設(shè)，那么為常數(shù)〕；假設(shè)，那么為常數(shù)〕；假設(shè)，那么〔其中為常數(shù)〕；假設(shè)，那么〔為常數(shù)〕；假設(shè)，那么〔為常數(shù)〕.例1計(jì)算以下積分：〔1〕；〔2〕.分析：解決問題的關(guān)鍵是找出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，根據(jù)積分的性質(zhì)，先求出一些簡單被積函數(shù)的原函數(shù)，然后再進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算.顯然，只由熟練掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，才會比擬熟練地找出相應(yīng)的原函數(shù).的一個(gè)原函數(shù)為，的一個(gè)原函數(shù)為；的一個(gè)原函數(shù)為，的一個(gè)原函數(shù)為.解：〔1〕函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是，所以.〔2〕函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是，所以.評注：在求這種類型的定積分時(shí)，要熟記根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么，利用這些公式的逆運(yùn)算便可求出原函數(shù).在計(jì)算定積分時(shí)我們一般取時(shí)對應(yīng)的原函數(shù)，這樣可減少運(yùn)算量.類型二被積函數(shù)為分段函數(shù)根據(jù)定積分的定義以及微積分根本定理，定積分可以分解為多個(gè)區(qū)間上的定積分的和，所以求分段函數(shù)的原函數(shù)，必須根據(jù)被積函數(shù)的定義在不同區(qū)間上進(jìn)行求解，然后根據(jù)定積分的運(yùn)算法那么進(jìn)行計(jì)算.例2求以下定積分：〔1〕；〔2〕，其中.分析：這兩個(gè)小題實(shí)質(zhì)上都是求分段函數(shù)的積分，可以利用定積分的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的定義域?qū)⒎e分區(qū)間分成幾段，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值，相加即可.解：〔1〕∵，∴.〔2〕.∴.評注：分段函數(shù)在不同的取值范圍內(nèi)對應(yīng)不同對應(yīng)法那么的一個(gè)函數(shù)，不是多個(gè)函數(shù)，所以求解這類函數(shù)的原函數(shù)時(shí)，要根據(jù)分段函數(shù)的定義，把被積函數(shù)分解到不同的區(qū)間內(nèi)，分別求出原函數(shù)，然后利用定積分的運(yùn)算性質(zhì)，把不同區(qū)間內(nèi)的定積分求和即可.類型三被積函數(shù)為積或商的形式這種形式中的被積函數(shù)，很難直接求出原函數(shù)，需要對被積函數(shù)進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為一些根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和或差，然后利用定積分的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解.例3求.分析：該積分中的被積函數(shù)式比擬復(fù)雜，無法直接求出原函數(shù)，所以應(yīng)先化簡，轉(zhuǎn)化為一些被積函數(shù)的和或差，然后求定積分.解析：∵，∴.所以.評注：這種類型的定積分，僅限于被積函數(shù)由根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行簡單的加、減運(yùn)算得到，可通過化簡轉(zhuǎn)化為幾個(gè)被積函數(shù)的和或差的形式，根據(jù)定積分的運(yùn)算性質(zhì)，