5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象-【基礎(chǔ)過關(guān)系列】

5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象1正切函數(shù)的定義域根據(jù)正切函數(shù)的定義，tanα=yx(α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P軸上時(shí)，x=0，即當(dāng)x=π2+故y=tan?x2正切函數(shù)的周期性由誘導(dǎo)公式tan?(x+π)=tan?x,x∈可知道，正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是π.注三角函數(shù)y=tan(ωx+φ)的最小正周期3正切函數(shù)的奇偶性由誘導(dǎo)公式tan?(-x)=-tan?x,x∈可知，正切函數(shù)是奇函數(shù).4正切函數(shù)的圖象設(shè)x∈0,π2，在直角坐標(biāo)系中畫出角x的終邊與單位圓的角度B(x0,y0)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足是M；過點(diǎn)A(1,0)由此可見，當(dāng)x∈0,π2時(shí)，線段AT的長(zhǎng)度就是相應(yīng)角x的正切值，我們可以利用線段AT當(dāng)x∈0,π2時(shí)，隨著x的增大，線段AT的長(zhǎng)度也在增大，而且當(dāng)x趨向于π2時(shí)，AT的長(zhǎng)度趨向于無窮大.相應(yīng)地，函數(shù)又因?yàn)檎泻瘮?shù)是奇函數(shù)，且周期為π，所以我們可以得到正切函數(shù)y=tan?x,x∈5正切函數(shù)的單調(diào)性觀察正切曲線可知，正切函數(shù)在-π2由正切函數(shù)的周期性可得，正切函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間-π26正切函數(shù)的值域當(dāng)x∈-π2，π2時(shí)，因此，正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R.7正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)匯總注表中的k∈Zy=圖像定義域x值域R最值既無最大值也無最小值周期性π對(duì)稱中心kπ對(duì)稱軸無對(duì)稱軸單調(diào)性在(kπ-π【題型1】正切函數(shù)的圖象及應(yīng)用【典題1】畫出函數(shù)y=|tanx|的圖象，并根據(jù)圖象判斷其單調(diào)區(qū)間、奇偶性、周期性．解析由y=|tanx|得，y=&其圖象如圖所示．由圖象可知，函數(shù)y=|tanx|是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為kπ,kπ+π單調(diào)遞減區(qū)間為-π2+kπ,kπ【鞏固練習(xí)】1.作出函數(shù)f(x)=tan解析令x2-π3=0，則x=令x2-π∴函數(shù)f(x)=tanx2-π3的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是2π3,0，在這個(gè)交點(diǎn)左、右兩側(cè)相鄰的兩條漸近線方程分別是x=-π【題型2】正切函數(shù)的定義域【典題1】求下列函數(shù)的定義域：(1)y=11+tanx；解析(1)要使函數(shù)y=11+所以函數(shù)的定義域?yàn)閤∣x∈R(2)因?yàn)?-tanx>0又因?yàn)閠anx=3時(shí)，根據(jù)正切函數(shù)圖象，得kπ-π所以函數(shù)的定義域是x∣kπ-π【鞏固練習(xí)】1.函數(shù)y=tanπ4-xA．x∣x≠π4,x∈C．x∣x≠kπ+π4,x∈答案D解析由tanπ∴x-π4≠kπ+2.求函數(shù)y=tan答案kπ-解析由題意得&tanx+1≥0&1-在-π2,π2又y=tanx的周期為π，所以函數(shù)的定義域是kπ-π【題型3】正切函數(shù)的性質(zhì)【典題1】已知函數(shù)f(x)=tan(x+π3)，則下列關(guān)于f(x)的判斷正確的是A．在區(qū)間(π6,π)上單調(diào)遞增 C．圖象關(guān)于直線x=π6成軸對(duì)稱 D．圖象關(guān)于點(diǎn)解析A．x∈(π6,π)?x+π3B．函數(shù)f(x)的最小正周期是π，故B正確，C．正切函數(shù)沒有對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤，D．令x+π3=則f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(π6,0)故選：ABD．【典題2】比較大?。簍an-7π4解析∵tantan-又0<π5<π4<π∴tan-:Z【典題3】若函數(shù)y=tan?ωx+π6在-π3，π3A.-12B.12C.-1解析∵y=tan?ωx∴T=π|ω|≥2π3，∴|ω|≤32；

又y=tan?ωx+π6在-π3，π3上的最大值為3，，

∴當(dāng)【鞏固練習(xí)】1.函數(shù)y=tan(2x+π4)的圖象A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)(-π2C．關(guān)于直線x=-π8對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)答案D解析函數(shù)y=tan(2x+π4)中，令2x+π4=kπ2令k=1，得x=π所以y=tan(2x+π4)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(π故選：D．2.已知函數(shù)f(x)=tan?2A.函數(shù)f(x)的周期為π2B.C.點(diǎn)π6，0是函數(shù)f(x答案D解析∵f∴函數(shù)f(x)的周期T=π2，故A正確；

由正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽則解得當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)π6，0是函數(shù)f(x)從而f2π5>f3π3.方程tan(2x+π3)=3在區(qū)間答案4解析方程tan(2x+π3)=3，∴2x+π3=k=0，k=1，k=2，k=3，求得方程在區(qū)間[0,2π)上的解為0，π2，π，3π2共4.已知函數(shù)f(x)=tan(ωx+φ)(ω≠0,|φ|<π2)，點(diǎn)(π3,0)和(5π答案π解析根據(jù)題意可得(π3,0)和(5π6又因?yàn)樵趨^(qū)間(π3,則f(x)=tan(-x+φ)；當(dāng)x=π3時(shí)，f(π5.設(shè)函數(shù)f(x)=tan?2x-π3．

(1)求f(x)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間；

(答案(1)kπ2-π12，kπ2+5解析(1)∵函數(shù)f(x)=tan?根據(jù)函數(shù)的解析式可得2x-π3≠kπ+π2，k∈z.求得x≠kπ2+5π12，

故函數(shù)的定義域?yàn)閤∣x≠kπ2+5π12【A組---基礎(chǔ)題】1.函數(shù)f(x)=tanωx+π6的最小正周期為2π，則A．33B．1C．3D．答案B解析由已知πω=2π，∴ω=1∴π2.現(xiàn)有下列四個(gè)命題：①函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)；②函數(shù)y=tan(2x+1)的最小正周期是π；③函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)成中心對(duì)稱；④函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)(-π2其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1答案C解析①函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)；故①錯(cuò)誤，②函數(shù)y=tan(2x+1)的最小正周期是π2；故②③函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)(kπ2,0)成中心對(duì)稱，當(dāng)k=2時(shí)，對(duì)稱中心為(π,0)④函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)(kπ2,0)成中心對(duì)稱，當(dāng)k=-1時(shí)，關(guān)于(-π故正確是③④，故選：C．3.函數(shù)f(x)=tanx+π4A．kπ-π2,kπ+C．kπ-3π4,kπ+答案C解析由-π2+kπ<x+π44.下列關(guān)于函數(shù)y=tan?x+πA.在區(qū)間-π6，5π6C.圖象關(guān)于點(diǎn)π4，0成中心對(duì)稱D.答案B解析對(duì)于A，由kπ-即kπ-5π6<x<kπ+π6，k∈Z，

當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為-5π6，π6，

當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為π6，7π6，

故f(x)在區(qū)間-π6，5π6上單調(diào)遞增錯(cuò)誤，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，函數(shù)f5.關(guān)于函數(shù)f(x)=|tanx|的性質(zhì)，下列敘述不正確的是()A．f(x)的最小正周期為π2B．f(x)是偶函數(shù) C．f(x)的圖象關(guān)于直線x=kπ2D．f(x)在每一個(gè)區(qū)間(kπ,kπ+π答案A解析對(duì)于函數(shù)f(x)=|tanx|的性質(zhì)，根據(jù)該函數(shù)的圖象知，其最小正周期為π，A錯(cuò)誤；又f(-x)=|tan(-x)|=|tanx|=f(x)，所以f(x)是定義域上的偶函數(shù)，B正確；根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=kπ2(k∈根據(jù)f(x)的圖象知，f(x)在每一個(gè)區(qū)間(kπ,kπ+π2)(k∈故選：A．6.(多選)下列關(guān)于函數(shù)y=tan?2x-πA.在區(qū)間-π6，7π24C.圖象關(guān)于π3，0成中心對(duì)稱D.答案ACD解析當(dāng)白x∈所以y=tan?2x-π6在區(qū)間-π6，7π24上單調(diào)遞增，故A正確；

函數(shù)y=tan?2x-π6的最小正周期是π2，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)x=π3時(shí)，2x7.函數(shù)y=tan(x2+π4)，x∈(0,答案(1,解析由x∈(0,π6]，∴故答案為：(1,38.已知函數(shù)f(x)=tanx+1tanx，若答案-5解析f(x)的定義域?yàn)閗π-π可知f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又f(-x)=tan∴f(x)是奇函數(shù)．∴f-a9.若f(n)=tan?nπ答案3解析∵f(n)=tan?nπ3，n∈N*，

根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可得其周期T10.在(0,2π)內(nèi)，使tanx>1成立的x的取值范圍是．答案(解析由tanx>1，可得kπ+π2>x>kπ+再根據(jù)x∈(0,2π)，求得x∈(π11.已知函數(shù)y=3tanωx+1在-π3，答案-解析∵函數(shù)y=3tan?ωx+1∴ω<0且函數(shù)y=3tan?ωx+1在-π3，π3內(nèi)也是減函數(shù)，

∴T=πω≥π12.已知函數(shù)f(x)=3tan?12x-π3．

(1)求f答案(1)定義域?yàn)閤∣x≠2kπ(2)2π，-π(3)2π解析(1)∵函數(shù)f(∴12x∴f(x)的定義域?yàn)?2)f(x)又令-π2∴f(x(3)令12x-此時(shí)y=f(x)=0，∴13.設(shè)函數(shù)f(x)=tan?(ωx+φ)ω>0，0<φ<π2，已知函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π2，且圖象關(guān)于點(diǎn)M-答案(1)f((2)單調(diào)增區(qū)間為-3π(3)x∣-解析(1)∵函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸相鄰兩交點(diǎn)的距離為π2，即T=π2，∴ω=2，

∴f(x)=tan(2x+φ)，

∵圖象關(guān)于點(diǎn)M-π8，0對(duì)稱．∴-2×π8+φ=kπ2，k∈Z，

∵0<φ<π2【B組---提高題】1.(多選)已知函數(shù)f(x)=tanA.f(x)B.f(x)的值域是{C.直線x=5πD.f(x答案AD解析A．f(x)的周期和y=tan12x-π6周期相同，