第四章轉(zhuǎn)動參考系改

Chapter4

轉(zhuǎn)動參考系質(zhì)點在非慣性系中的運(yùn)動規(guī)律。也就是研究參照系具有加速度時，如何描述質(zhì)點的運(yùn)動規(guī)律。基本要求

深刻理解轉(zhuǎn)動參照系中相對運(yùn)動、牽連運(yùn)動、牽連加速度、科里奧利加速度、牽連慣性力、科里奧利力等基本概念，特別是科里奧利力產(chǎn)生的原因及實質(zhì)；熟練掌握絕對速度、絕對加速度和相對運(yùn)動微分方程及其應(yīng)用。

本章重點質(zhì)點在轉(zhuǎn)動參照系中相對運(yùn)動微分方程的建立和求解。

Chapter4

轉(zhuǎn)動參考系內(nèi)容4.1平面轉(zhuǎn)動參考系4.2空間轉(zhuǎn)動參考系4.3非慣性系動力學(xué)(二)4.4地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的影響4.1平面轉(zhuǎn)動參考系設(shè)平面轉(zhuǎn)動參照系以角速度繞垂直于自身的軸轉(zhuǎn)動，如圖所示，在動系上取坐標(biāo)系O—xyz，動系與靜系原點O重合，z軸為轉(zhuǎn)動軸，平面上任一點P的位矢為：

質(zhì)點相對靜止坐標(biāo)系S的速度為：質(zhì)點相對靜止坐標(biāo)系S的速度為：—相對速度，如P在平板上不動，此項速度為零。

——牽連速度

是由于平板轉(zhuǎn)動而帶著P點一起轉(zhuǎn)動所引起的相對靜系的速度。即絕對速度等于相對速度與牽連速度的矢量和。

思考：為什么這里的速度表達(dá)式與第三章中定點（或定軸）轉(zhuǎn)動的速度表達(dá)式：比較多了？答：因為在剛體中，組成剛體的各個質(zhì)點，都只隨著剛體一起轉(zhuǎn)動，它們與整個剛體并無所謂相對運(yùn)動。

———相對加速度1）為質(zhì)點P對轉(zhuǎn)動參照系的軸向加速度分量，它的合成：

2）是由于平板作變角速度轉(zhuǎn)動所引起的切向加速度，如平板以勻角速度轉(zhuǎn)動，則此項加速度為零。P點對靜止坐標(biāo)系S的加速度：3）

沿矢徑指向O點，它是由于平板以角速度轉(zhuǎn)動所引起的向心加速度。2）、3）兩項加速度都是由于平板轉(zhuǎn)動所引起的，所以為牽連加速度。4）

其方向則垂直于與所決定的平面，在平面問題中，恒沿k方向，故為位于x、y平面內(nèi)的矢量，其指向由右手螺旋法則決定（如圖所示）。這個加速度叫科里奧利加速度，簡稱科氏加速度?？剖霞铀俣仁怯捎谠赟系中的觀察者看來，牽連運(yùn)動（即）可使相對速度發(fā)生變化，而相對運(yùn)動（即）又同時使?fàn)窟B速度中的r發(fā)生改變，即科氏加速度是由牽連運(yùn)動與相對運(yùn)動相互影響所產(chǎn)生的。如果與兩者中有一個為零，則此項加速度為零。

故在平面轉(zhuǎn)動參照系中，絕對加速度為相對加速度、牽連加速度及科里奧利加速度三者的矢量和。即：——牽連加速度

——科里奧利加速度注意：科氏加速度必須是質(zhì)點相對運(yùn)動和牽連運(yùn)動同時存在才能產(chǎn)生?！鄬铀俣?/p>

4.1一等腰直角三角形OAB在其自身平面內(nèi)以勻角速繞定點O轉(zhuǎn)動，某一點P以相對速度沿AB邊運(yùn)動，當(dāng)三角形轉(zhuǎn)了一周時，P點走過了AB，如已知，試求P點在A時的絕對速度與絕對加速度。解：如圖建立坐標(biāo)系，P點的牽連速度和相對速度為：

絕對速度為：

絕對速度的大小為：與三角形斜邊的夾角。

在平面轉(zhuǎn)動參照系中，質(zhì)點的絕對加速度為：（是一恒矢量）

其加速度的大小為：

與三角形斜邊的夾角。

OO122’4.2

空間轉(zhuǎn)動參照系

空間轉(zhuǎn)動參照系的角速度的量值和方向都可以改變，轉(zhuǎn)動參照系的原點和靜止坐標(biāo)系S的原點O重合，因此恒通過O點。令i、j、k為固著在系三個坐標(biāo)軸上的單位矢量，故任一矢量可寫為：由公式：代入上式得：

——相對變化率，G相對于轉(zhuǎn)動參照系的變化。

——牽連變化率，轉(zhuǎn)動參照系繞著O點以角速度轉(zhuǎn)動并帶動G一起轉(zhuǎn)動而引起的變化。

從靜止參考系觀察變矢量隨轉(zhuǎn)動系以角速度相對與靜止系轉(zhuǎn)動的同時本身又相對于動系運(yùn)動WHY?WhenG相對于轉(zhuǎn)動參考系不變化

？動系作動平動或瞬時平動或瞬時轉(zhuǎn)軸與G平行當(dāng)動系作平動或瞬時平動且G相對動系瞬時靜止或動系轉(zhuǎn)動引起的變化與相對動系引起的變化等值反向討論故在轉(zhuǎn)動參照系中，一個矢量G的絕對變化率，等于相對變化率和牽連變化率的矢量和。如空間轉(zhuǎn)動參照系的原點與固定參照系S的原點O重合，并以角速度繞著O轉(zhuǎn)動，則對S系而言，一個在系中運(yùn)動的質(zhì)點P的絕對速度為：——相對速度，是質(zhì)點P相對于系的速度。

——牽連速度，是由于系轉(zhuǎn)動帶動r一起轉(zhuǎn)動而引起的速度。故在轉(zhuǎn)動參照系中，質(zhì)點的絕對速度等于相對速度和牽連速度的矢量和?，F(xiàn)在求質(zhì)點P對S系的絕對加速度

將的表達(dá)式代入上式得：——相對加速度，是質(zhì)點P相對系的加速度?！獱窟B加速度

——由的大小發(fā)生改變所產(chǎn)生的，如參照系以恒定角速度轉(zhuǎn)動，則此項為零；——是由于系以角速度轉(zhuǎn)動所產(chǎn)生的?！评飱W利加速度

是由于質(zhì)點P對轉(zhuǎn)動的系有一相對速度，從而與相互影響所產(chǎn)生的，若兩者平行或有一為零，此項加速度為零。對轉(zhuǎn)動參照系來講，絕對加速度等于相對加速度、牽連加速度與科里奧利加速度三者的矢量和。注意：絕對速度與絕對加速度都是從靜止參照系來觀測一個在轉(zhuǎn)動參照系中質(zhì)點P的速度與加速度的，如果從轉(zhuǎn)動參照系中來看，只能看到相對速度與相對加速度。如果系以勻角速轉(zhuǎn)動，是一恒矢量（量值和方向都不變）以O(shè)B表示之，如圖所示，故

在此情況下，加速度簡化為：

則：對于更一般的情況，即系的原點不與S系的原點o重合，且相對o的速度為，加速度為，則：式中為質(zhì)點相對的位矢。

4.3

非慣性系動力學(xué)（二）

一、平面轉(zhuǎn)動參照系

相對平面轉(zhuǎn)動參照系運(yùn)動的質(zhì)點，它的絕對加速度為：于是：即對平面轉(zhuǎn)動參照系來講，如果添上三種慣性力：則牛頓運(yùn)動定律對該系中從形式上看仍然成立。

1)慣性力:

是由于S’系作變角速轉(zhuǎn)動所引起的。如果轉(zhuǎn)動是勻速的則此項慣性力為零。

2)慣性力:

三種慣性力的物理意義：牽連切向慣心力是由于S’系的轉(zhuǎn)動所引起的，量值和角速度平方及質(zhì)點離開坐標(biāo)原點O的距離成正比，它的方向自坐標(biāo)原點O沿矢徑向外。如圖所示。

慣性離心力（牽連法向慣性力）3)慣性力科氏力由于S’系的轉(zhuǎn)動及質(zhì)點對此轉(zhuǎn)動參照系又有相對平動所起。其量值和S’系轉(zhuǎn)動的角速度及質(zhì)點相對于S’系的速度成正比，方向垂直于二者所決定的平面，并按右手螺旋法則及負(fù)號決定指向。如圖所示。三種慣性力的物理意義：例：在一光滑水平直管中，有一質(zhì)量為m的小球，此管以恒定角速度繞通過管子一端的豎直軸轉(zhuǎn)動，如果起始時，球距轉(zhuǎn)動軸的距離為a，球相對于管子的速度為零，求小球沿管的運(yùn)動規(guī)律及管對小球的約束反作用力。解：①選取非慣性參照系，如圖建立坐標(biāo)系，小球受力分析所示，由平面轉(zhuǎn)動參照系的動力學(xué)方程得：小球運(yùn)動微分方程的分量形式為：

（1）式的通解：

利用初始條件：故小球沿管的運(yùn)動規(guī)律為：

由（2）（3）得管對小球的約束反作用力為：

②選用慣性參照系，建立柱坐標(biāo)系，小球受力分析如圖所示，運(yùn)動微分方程為：

因為：=常數(shù)，故，則上式簡化為：

結(jié)果與選用慣性系完全相同。二、空間轉(zhuǎn)動參照系空間轉(zhuǎn)動參照系也是非慣性參照系，所以要加上適當(dāng)?shù)膽T性力后，才能使牛頓運(yùn)動定律仍然成立。當(dāng)系的原點與S系的原點o重合，且系繞o點以角速度轉(zhuǎn)動，不一定是恒矢量，則質(zhì)點對S系的絕對加速度為：于是：

或：

由于選取了非慣性系系，產(chǎn)生了三種慣性力：牽連切向慣性力：——它與及r垂直，當(dāng)為常矢量時此項為零。由于選取了非慣性系系，產(chǎn)生了三種慣性力：1）牽連切向慣性力：

——它與及r垂直，當(dāng)為常矢量時此項為零。2)牽連軸向慣性力它與平面轉(zhuǎn)動時的慣性離心力相似，在任意瞬時它都與該時刻的轉(zhuǎn)動軸垂直，并離開轉(zhuǎn)動軸向外，所以又叫離軸慣性力。3）科氏力1）如果系以恒定角速度轉(zhuǎn)動，則相對運(yùn)動微分方程為：2）如果S’系的原點O’與S系的原點o不重合，且O’對o的加速度為已知。則運(yùn)動微分方程為：

式中是相對的位矢。

討論：三、相對平衡

如果質(zhì)點P相對于系不動，則：由動力學(xué)方程得：即當(dāng)質(zhì)點在非慣性系中處于平衡狀態(tài)時，主動力、約束反力和由牽連運(yùn)動而引起的慣性力的矢量和等于零，我們通常把這種平衡叫做相對平衡。在行駛的火車中（S’系）的觀察者，看懸掛在車廂中的小球，就是一個相對平衡問題。思考1：科里奧力實際并不存在，因此科里奧力加速度也不能真實觀察到？科氏力是一種假想力，但科里奧利加速度能在實際中觀測到。思考2：慣性離心力的反作用力是向心力？慣性離心力作用于隨動系一起轉(zhuǎn)動的物體上，是一種假想力，它不是物體間的相互作用產(chǎn)生的，也不產(chǎn)生反作用力，是物體的慣性在非慣性系的反映。思考3：牛三定律是否適用于非慣性系？非慣性系里,兩物體之間的作用力仍然滿足牛頓第三定律.慣性力不是兩物體之間的作用力.

4.4

地球自轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的動力學(xué)效應(yīng)考慮地球繞地軸自轉(zhuǎn)時，可認(rèn)為它的角速度是沿著地軸的一個恒矢量，即，因而只需慣性離心力和科里奧利力所產(chǎn)生的影響。如果質(zhì)點相對于地球是靜止的，即，則只需考慮慣性離心力的影響。一．牽連慣性力ωφα

地球自轉(zhuǎn)對重力的影響F為地球的引力為繩索的拉力為慣性離心力小球相對地球靜止結(jié)論：重力的大小和方向與緯度φ有關(guān)。當(dāng)φ=45°時,α≈0.1°

由于慣性離心力的作用，使重力常小于引力，重力隨著緯度λ發(fā)生變化，在緯度越小的地方，重力越小，只有在兩極的地方，重力和引力才相等。另外，除兩極和赤道外重力的方向也不和引力的方向一致，引力的作用線通過地球的球心，而重力的作用線一般并不通過地球的球心。如圖所示。在赤道上:λ=0，

最大，重力W最小，指向地心；λ↑，F(xiàn)t↓，重力W↑，方向不指向地心；在南北極：λ=±π/2，F(xiàn)t=0，重力W最大=F，且指向地心。

由于慣性離心力的作用，重力的量值與引力有差別，重力的方向也隨著緯度變化，但是這種差別和變化都比較小，所以在研究質(zhì)點相對于地球的運(yùn)動時，可以只考慮科里奧利力的效應(yīng)。

二、科里奧利力

如圖所示，一質(zhì)點在地球北半球的某點P上，以速度相對地球運(yùn)動，P點的緯度為λ，SN是地軸，地球自轉(zhuǎn)角速度沿著該軸，單位矢量i、j、k固著在地球表面上，且i水平向南，

j水平向東，k豎直向上，根據(jù)上面的討論，很小，可忽略含有項的慣性力，認(rèn)為重力mg通過地球球心。質(zhì)點運(yùn)動微分方程為：于是質(zhì)點P在三個坐標(biāo)軸方向的運(yùn)動微分方程為：F代表重力以外的作用力

利用上式可以定性或定量地研究科里奧利力的影響。

三、地球上的自然現(xiàn)象假定質(zhì)點從有限的高度h處自由下落，我們可以認(rèn)為g值不變，且重力以外的：，則動力學(xué)方程變?yōu)椋?/p>

初始條件為：

利用初始條件對（1）式積分得：

（1）（2）1）落體偏東問題將（2）代入（1）得：

很小(7.3×10-5弧度/秒)，∴忽略項得：（3）（4）利用初始條件對（4）式積分兩次得：

（5）消去t得軌道方程為：這是位于東西豎直面內(nèi)的半立方拋物線。質(zhì)點自高度為h處自由下落，當(dāng)它抵達(dá)地面時，其偏東的數(shù)值為：

由上式看出：h為常數(shù)時

在赤道上（λ=0）：偏東的數(shù)值最為顯著；；而在兩極：λ=±π/2，則y=0.2）河流的沖刷與軌道的磨損例如自北向南，科里奧利力則指向西方，這種長年累月的作用，使得北半球河流右岸的沖刷甚于左岸，因而比較陡峭。雙軌單行鐵路，由于右軌所受到的壓力大于左軌，因而磨損較甚。南半球的情況與此相反，河流左岸沖刷較甚，而單行鐵路的左軌磨損較甚。如圖所示。

當(dāng)物體在地面上運(yùn)動時，在北半球上科里奧利力的水平分量總是指向運(yùn)動方向的右側(cè)，即指向相對速度的右方。

在地球上，熱帶部分的空氣，因熱上升，并在高空向兩極推進(jìn)，而兩極附近的空氣，則因冷下降，并在地面附近向赤道附近推進(jìn)，形成了一種對流，彼此交易，故稱為貿(mào)易風(fēng)。但由于受到科里奧利力的作用，南北向的氣流，卻發(fā)生了東西向的偏轉(zhuǎn)。在北半球，地面附近自北向南的氣流，有朝西的偏向，成為東北貿(mào)易風(fēng)。在南半球，地面附近自南向北的氣流，也有朝西的偏向，而成為東南貿(mào)易風(fēng)。如圖所示。大氣上層的反貿(mào)易風(fēng)，在北半球為西南貿(mào)易風(fēng)，在南半球則為西北貿(mào)易風(fēng)。3）貿(mào)易風(fēng)4）

傅科擺

一種可以顯示地球自轉(zhuǎn)、擺線很長的單擺，1851年傅科在巴黎首先制成，他第一次試驗時，擺長為67米，擺錘是質(zhì)量為28公斤、直徑為30厘米的鐵球