第四章信號與系統(tǒng)

4.4拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系問題1：已知FF(

)求FL(s)？問題2：已知FL(s)求FF(

)？？因果信號*14.4拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系已知FF(

)求FL(s)？把FF(

)中的j

用s替代，并去除沖激項即可得FL(s)已知FL(s)求FF(

)

？首先確定FF(

)是否存在？如果FF(

)存在，把FL(s)中的s用j

替代后如何添加沖激項？*24.4拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系FL(s)的收斂域橫座標

0>0，即有極點位于s右半平面沒有頻譜密度函數，即傅里葉變換不存在FL(s)的收斂域橫座標

0<0，即所有極點均位于s左半平面*34.4拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系FL(s)的收斂域橫座標

0=0，即有極點位于虛軸上，沒有極點在s右半平面虛軸上為單極點其極點均位于s左半平面*44.4拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系虛軸上有重極點，設有q重極點j

0其極點均位于s左半平面*54.4拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系例：解：

0=2>0，故FF(

)不存在*64.4拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系例：解：

0=-2<0，故FF(

)存在*74.4拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系例：解：

0=0，故FF(

)存在*84.4拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系例：解：

0=0，故FF(

)存在*94.5連續(xù)系統(tǒng)的復頻域分析4.5.1復指數信號est激勵下的零狀態(tài)響應4.5.2任意信號f(t)激勵下的零狀態(tài)響應4.5.3微分方程的復頻域分析4.5.4電路的復頻域分析*104.5.1復指數信號est激勵下的零狀態(tài)響應Ｈ(s)表明：當一個無時限復指數信號作用于線性時不變系統(tǒng)時，其零狀態(tài)響應仍為同復頻率的指數信號，但被加權了。條件：s0位于H(s)

的收斂域內，即s0位于H(s)最右極點的右邊。雙邊信號*114.5.1復指數信號est激勵下的零狀態(tài)響應例：已知，，求解：H(s)

的收斂域橫坐標

0=2<3*124.5.1復指數信號est激勵下的零狀態(tài)響應例：已知，，求解：

的收斂域橫坐標

0=-3<-2*134.5.1復指數信號est激勵下的零狀態(tài)響應思考：已知，，求。試判別如下兩種解法的正確性。法（一）*144.5.1復指數信號est激勵下的零狀態(tài)響應法（二）*154.5.1復指數信號est激勵下的零狀態(tài)響應注意：兩種解法各自的條件正確解法：從而解不存在*164.5.2任意信號f(t)激勵下的零狀態(tài)響應*174.5.3微分方程的復頻域分析對上式兩端作LT，假定x(t)為因果信號設*184.5.3微分方程的復頻域分析系統(tǒng)函數H(s)*194.5.3微分方程的復頻域分析例：(1)求

(2)求和，并由此求

解：(1)將微分方程兩端作拉普拉斯變換*204.5.3微分方程的復頻域分析(2)將微分方程兩端作拉普拉斯變換*214.5.3微分方程的復頻域分析*224.5.3微分方程的復頻域分析*234.5.3微分方程的復頻域分析注意：t>0與

(t)的區(qū)別。對零狀態(tài)響應可以注明t>0或乘以

(t)。但對零輸入響應只可以注明t>0，不能乘以

(t)。因為t<0時零輸入響應不一定為零。類似地，全響應仍然只可以注明t>0，不能乘以

(t)。

*244.5.4電路的復頻域分析分析思路（與相量法類似）將時域電路模型改畫為復頻域模型將復頻域電路模型求解，得復頻域解將復頻域解作拉普拉斯反變換得時域解*254.5.4電路的復頻域分析電路元件的復頻域模型電阻元件時域s域*264.5.4電路的復頻域分析電感元件時域s域*274.5.4電路的復頻域分析電容元件時域s域*284.5.4電路的復頻域分析例：電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關S閉合，試求響應iL(t)和uC(t)。試用經典法求解。S*294.5.4電路的復頻域分析例：如圖所示電路，us(t)=6

(t)

V，R1=4

，R2=2，L=1H，C=0.5F，iL(0-)=2A，uC(0-)=2V，試求響應iL(t)和uC(t)。*304.5.4電路的復頻域分析解：(1)畫出復頻域電路模型(2)列寫s域方程，求復頻域解us(t)=6V，R1=4

，R2=2，L=1H，C=0.5F，iL(0-)=2A，uC(0-)=2V，*314.5.4電路的復頻域分析(3)求時域解(2)求復頻域解*324.5.4電路的復頻域分析例：圖示電路，R=1

，C=1F，初始狀態(tài)uC(0-)=1V，us(t)=(1+e-3t)

(t)

V，試求響應uC(t)。*334.5.4電路的復頻域分析解：(1)畫出復頻域電路模型(2)列寫s域方程，求復頻域解us(t)=(1+e-3t)

(t)V

R=1

C=1F

uC(0-)=1V*344.5.4電路的復頻域分析(3)求時域解(2)求復頻域解*354.6LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數及系統(tǒng)特性4.6.1系統(tǒng)函數4.6.2H(s)的零極點分布對系統(tǒng)特性的影響*364.6.1系統(tǒng)函數系統(tǒng)函數與單位沖激響應是拉普拉斯變換對例：*374.6.1系統(tǒng)函數系統(tǒng)函數與微分方程*384.6.1系統(tǒng)函數例：求如下系統(tǒng)的單位沖激響應解：*394.6.1系統(tǒng)函數例：求描述如下系統(tǒng)的微分方程解：*40例：求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數和沖激響應。已知系統(tǒng)的微分方程為解：4.6.1系統(tǒng)函數*41練習：求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數和沖激響應。已知系統(tǒng)的微分方程為。解：微分方程兩邊取零狀態(tài)拉氏變換，有4.6.1系統(tǒng)函數*424.6.1系統(tǒng)函數例：已知系統(tǒng)的輸入時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。求該系統(tǒng)的沖激響應和描述該系統(tǒng)的微分方程。解：*434.6.1系統(tǒng)函數具體電路中系統(tǒng)函數的確定由零狀態(tài)的復頻域電路模型可求系統(tǒng)函數例：求如圖所示電路的系統(tǒng)函數（為激勵，為響應）*444.6.1系統(tǒng)函數解：畫出零狀態(tài)復頻域電路模型*454.6.2系統(tǒng)函數的零、極點分布對系統(tǒng)特性的影響1.零、極點含義零點：分子多項式N(s)=0的根極點：分母多項式D(s)=0的根*464.6.2系統(tǒng)函數的零、極點分布對系統(tǒng)特性的影響系統(tǒng)函數的零點系統(tǒng)函數的極點標量系數*474.6.2系統(tǒng)函數的零、極點分布對系統(tǒng)特性的影響零、極點圖把系統(tǒng)函數的零、極點繪在s平面上的圖形零點用O表示，極點用

表示。若為n重零點或n重極點，則在旁邊注以(n)。研究零、極點的意義：從系統(tǒng)函數的極點分布可以知道系統(tǒng)響應具有的模式，從而可以了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定。從系統(tǒng)函數的零、極點分布可以求得系統(tǒng)的頻率響應特性，從而可以分析系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應特性。*484.6.2系統(tǒng)函數的零、極點分布對系統(tǒng)特性的影響*492．H(s)極點分布與原函數的對應關系幾種典型情況一階極點當，極點在左半平面，衰減振蕩當，極點在右半平面，增幅振蕩二階極點有實際物理意義的物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，即隨，這表明的極點位于左半平面，由此可知，收斂域包括虛軸，均存在，兩者可通用，只需將即可。三．H(s)、E(s)的極點分布與自由響應、強迫響應特性的對應激勵：系統(tǒng)函數：響應：自由響應分量＋強制響應分量X幾點認識自由響應的極點只由系統(tǒng)本身的特性所決定，與激勵函數的形式無關，然而系數都有關。響應函數r(t)由兩部分組成：系統(tǒng)函數的極點

自由響應分量；激勵函數的極點

強迫響應分量。定義系統(tǒng)行列式（特征方程）的根為系統(tǒng)的固有頻率（或稱“自然頻率”、“自由頻率”）。H(s)的極點都是系統(tǒng)的固有頻率；H(s)零、極點相消時，某些固有頻率將丟失。暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應瞬態(tài)響應是指激勵信號接入以后，完全響應中瞬時出現的有關成分，隨著t增大，將消失。穩(wěn)態(tài)響應＝完全響應－瞬態(tài)響應左半平面的極點產生的函數項和瞬態(tài)響應對應。零點移動到原點4.6.2系統(tǒng)函數的零、極點分布對系統(tǒng)特性的影響零點的分布只影響時域函數的幅度和相移，不影響振蕩頻率*56例極點：零點：畫出零極點圖：12/14/202357例給定系統(tǒng)微分方程試分別求它們的完全響應，并指出其零輸入響應，零狀態(tài)響應，自由響應，強迫響應各分量，暫態(tài)響應分量和穩(wěn)態(tài)響應分量。解：方程兩端取拉氏變換*58零輸入響應／零狀態(tài)響應則

*59穩(wěn)態(tài)響應／暫態(tài)響應，自由響應／強迫響應極點位于s左半平面極點位于虛軸暫態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應H(s)的極點E(s)的極點自由響應強迫響應*604.6.2系統(tǒng)函數的零、極點分布對系統(tǒng)特性的影響三、頻率響應特性（穩(wěn)定系統(tǒng)）譬如：*614.6.2系統(tǒng)函數的零、極點分布對系統(tǒng)特性的影響*624.6.2系統(tǒng)函數的零、極點分布對系統(tǒng)特性的影響例：分析如圖示電路的頻率響應特性解：*634.6.2系統(tǒng)函數的零、極點分布對系統(tǒng)特性的影響*644.6.2系統(tǒng)函數的零、極點分布對系統(tǒng)特性的影響例：系統(tǒng)函數的零、極點圖如圖所示，求系統(tǒng)的頻率響應特性*654.6.2系統(tǒng)函數的零、極點分布對系統(tǒng)特性的影響例：系統(tǒng)函數的零、極點圖如圖所示，求系統(tǒng)的頻率響應特性*66一般可以認為，若系統(tǒng)有一對非?？拷撦S的共軛極點，則在附近處，幅頻特性出現峰值，相頻特性迅速減小。若系統(tǒng)有一對非?？拷撦S的共軛零點，則在附近處，幅頻特性出現谷值，相頻特性迅速上升。4.6.2系統(tǒng)函數的零、極點分布對系統(tǒng)特性的影響*674.7LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.7.1穩(wěn)定系統(tǒng)4.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則*684.9.1穩(wěn)定系統(tǒng)含義有界激勵產生有界響應的系統(tǒng)。（因果系統(tǒng)）*694.7.1穩(wěn)定系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)H(s)的極點均位于s左半平面（不包括虛軸）不穩(wěn)定系統(tǒng)H(s)至少有一個極點位于s右半平面或在虛軸上為重極點臨界穩(wěn)定系統(tǒng)H(s)的極點除位于s左半平面外，還有單極點位于虛軸上（包括原點）*704.7.1穩(wěn)定系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件H(s)的極點均位于s左半平面（不包括虛軸）思考：試說明實系數K1，K2和K3的大小對如下系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響判斷連續(xù)時間系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法勞斯—霍爾維茨準則，代數判別法，根軌跡判別法*71系統(tǒng)函數的分母多項式D(S)所有的根都在S左半開面的必要條件是:i.所有系數具有相同符號。例：D(S)=S2-2S+1ii.所有項系數均不能為零。例：D(S)=S3+S2+SD(S)所有偶冪次項為零或所有奇冪次項為零，則有可能出現純虛根的共軛根，這種屬于臨界穩(wěn)定。例：D(S)=S4+2S2+1H(S)為假分式，系統(tǒng)屬臨界穩(wěn)定。例：H(S)=S+1+N(S)/D(S)4.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則*72例：4.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則*734.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則勞斯—霍爾維茨(Routh-Hurwitz)準則特征方程D(s)=0的根全部位于s左半平面的充要條件（同時滿足如下兩條）D(s)的全部系數為正，且不為零勞斯表（勞斯陣列）中第1列元素的符號相同勞斯表中第1列各元素符號改變的次數即為系統(tǒng)特征方程的根位于s右半平面的數目。*744.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則勞斯陣列第1行第2行第3行第4行第5行直到n+1行*754.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則*764.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則例：已知，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性第1行第2行第3行第4行第5行解：*774.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則第1列元素中有兩次改變符號，故該系統(tǒng)的特征根有兩個位于s右半平面，為不穩(wěn)定系統(tǒng)。*784.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則勞斯表排列過程中兩種特殊情況的處理勞斯表中出現某一行的第1列元素為零，而其余元素又不全為零?？梢詫⒌?列中出現的零用一個任意小的正數

來代替，然后繼續(xù)排寫下去*794.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則勞斯表尚未排寫完時出現一行元素全為零。利用全零行的前一行的元素組成一個輔助多項式，用輔助多項式導數的系數來代替全零行，再繼續(xù)排寫下去。*804.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則例：已知，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性解：第1行第2行第3行第4行第5行第6行*814.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則當

0＋時，第1列元素中有兩次改變符號，故該系統(tǒng)的特征根有兩個位于s右半平面，為不穩(wěn)定系統(tǒng)。*824.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則例：已知，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性解：此行用dA(s)/ds的系數替代

第1行第2行第3行第4行第5行第6行第1列元素中有無符號改變，故該系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。*83練習4.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則*844.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件D(s)各次系數為正說明：對于二階系統(tǒng)，其勞斯表中第一列元素即為D(s)各次系數。因此其穩(wěn)定的充要條件為D(s)各次系數為正*854.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則例：已知，求為使系統(tǒng)穩(wěn)定的實數K的取值范圍。解：此二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件為D(s)各次系數為正，即*86例：如圖所示閉環(huán)系統(tǒng)，（1）寫出系統(tǒng)函數的表達式；（2）K滿足什么條件時系統(tǒng)穩(wěn)定。

4.7.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則*874.8.1系統(tǒng)框圖由系統(tǒng)函數模擬系統(tǒng)引入*884.8.1系統(tǒng)框圖X

(s)Y(s)Q

(s)s-1s-1

b0

b1-a1-a0*894.8.1系統(tǒng)框圖s域框圖解：例：已知系統(tǒng)的時域框圖如下，求該系統(tǒng)沖激響應。

x(t)y(t)時域框圖-3-2311/s

X(s)Y(s)1/s-3-231*904.8.1系統(tǒng)框圖1/s

-3-2X(s)Y(s)1/sQ(s)sQ(s)s2Q(s)*91子系統(tǒng)的基本聯接方式并聯級聯4.8.1系統(tǒng)框圖X

(s)H1(s)H2(s)Y(s)=X(s)H1(s)

H2(s)X

(s)H1(s)H2(s)

Y(s)=X(s)[H1(s)+H2(s)]*924.8.1系統(tǒng)框圖單環(huán)反饋X

(s)H1(s)H2(s)

Y

(s)＝H1(s)

1H1(s)H2(s)

X

(s)*934.8.1系統(tǒng)框圖框圖化簡規(guī)則和點前移和點后移X

(s)H

(s)Y

(s)Q(s)

H

(s)Q(s)

1/H

(s)Y

(s)X

(s)X

(s)H

(s)Y

(s)Q(s)

X

(s)Q(s)

H

(s)H

(s)Y

(s)*944.8.1系統(tǒng)框圖分點前移分點后移X

(s)H

(s)Y

(s)Y

(s)H

(s)X

(s)H

(s)Y

(s)Y

(s)X

(s)H

(s)Y

(s)X

(s)X

(s)H

(s)Y

(s)1/H

(s)X

(s)*954.8.1系統(tǒng)框圖例：試用框圖化簡法求如下系統(tǒng)的H(s)

H1(s)

H2(s)

H3(s)H4(s)H6(s)H7(s)H5(s)X

(s)Y

(s)

*964.8.1系統(tǒng)框圖分點A后移X

(s)

H1(s)

H2(s)

H3(s)H4(s)H6(s)H7(s)H5(s)Y

(s)

1/H4(s)*974.8.1系統(tǒng)框圖化簡單環(huán)反饋X

(s)Y

(s)

H1(s)

H2(s)HA(s)H6(s)H5(s)

1/H4(s)*984.8.1系統(tǒng)框圖X

(s)Y

(s)

H1(s)HB(s)H5(s)

*994.8.1系統(tǒng)框圖X

(s)Y

(s)H

(s)注：對于復雜系統(tǒng)，框圖化簡將十分復雜。此種系統(tǒng)可以應用信號流圖和梅森公式進行化簡。*100一、信號流圖的定義

由節(jié)點與有向支路構成的能表征系統(tǒng)功能與信號流動方向的圖，稱為系統(tǒng)的信號流圖，簡稱信號流圖或流圖。

4.8.1系統(tǒng)的信號流圖小圓圈“o”代表變量，有向支路代表一個子系統(tǒng)及信號傳輸(或流動)方向，支路上標注的H(s)代表支路(子系統(tǒng))的傳輸函數。H(s)X(s)Y(s)信號流圖H(s)X(s)Y(s)框圖*101二、信號流圖的名詞術語1.節(jié)點表示系統(tǒng)變量(即信號)的點。()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11()sY5個節(jié)點。4.8.1系統(tǒng)的信號流圖*102()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY114.8.1系統(tǒng)的信號流圖2.支路連接兩個節(jié)點之間的有向線段(或線條)稱為支路。每一條支路代表一個子系統(tǒng)，支路的方向表示信號的傳輸(或流動)方向，支路旁標注的H(s)代表支路(子系統(tǒng))的傳輸函數。*1034.8.1系統(tǒng)的信號流圖3激勵節(jié)點(或源點)代表系統(tǒng)激勵信號的節(jié)點，如圖中的節(jié)點F(s)。激勵節(jié)點的特點是，連接在它上面的支路只有流出去的支路，而沒有流入它的支路。4響應節(jié)點(或阱點)代表所求響應變量的節(jié)點，如圖中的節(jié)點Y(s)。有時為了把響應節(jié)點更突出地顯示出來，也可從響應節(jié)點上再增加引出一條傳輸函數為1的有向支路，如圖中最右邊的虛線條所示。*1044.8.1系統(tǒng)的信號流圖5混合節(jié)點既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點。僅有一條輸出支路的混合節(jié)點稱為“和點”；僅有一條輸入支路的混合節(jié)點稱為“分點”。()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11*1054.8.1系統(tǒng)的信號流圖6通路從任一節(jié)點出發(fā)，沿支路箭頭方向(不能是相反方向)連續(xù)地經過各相連支路而到達另一節(jié)點的路徑稱為通路。()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11*1064.8.1系統(tǒng)的信號流圖7環(huán)路若通路的起始節(jié)點就是通路的終止節(jié)點，而且除起始節(jié)點外，該通路與其余節(jié)點相遇的次數不多于1，則這樣的通路稱為閉合通路或稱環(huán)路。如圖中共有兩個環(huán)路：環(huán)路也稱回路。

()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11*1074.8.1系統(tǒng)的信號流圖8開通路與任一節(jié)點相遇的次數不多于1的通路稱為開通路，它的起始節(jié)點與終止節(jié)點不是同一節(jié)點。

()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11*1084.8.1系統(tǒng)的信號流圖9前向開通路從激勵節(jié)點至響應節(jié)點的開通路，也簡稱前向通路。圖中共有三條前向通路：

()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11*1094.8.1系統(tǒng)的信號流圖10互不接觸的環(huán)路沒有公共節(jié)點的兩個環(huán)路稱為互不接觸的環(huán)路。在圖中不存在互不接觸的環(huán)路。()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11*1104.8.1系統(tǒng)的信號流圖11自環(huán)路只有一個節(jié)點和一條支路的環(huán)路稱為自環(huán)路，簡稱自環(huán)。()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11*1114.8.1系統(tǒng)的信號流圖)s(F)s(Y1111222-21-1-41L2L3L4L5L*1124.8.1系統(tǒng)的信號流圖12環(huán)路傳輸函數環(huán)路中各支路傳輸函數的乘積稱為環(huán)路傳輸函數。13前向開通路的傳輸函數前向開通路中各支路傳輸函數的乘積，稱為前向開通路的傳輸函數。*113)s(F)s(Y

)s(Y)s(Y)s(F2分點)s(F1)s(F2)s(Y)s(Y11114.8.1系統(tǒng)的信號流圖三、模擬圖與信號流圖的相互轉換規(guī)則(1)在轉換中，信號流動的方向(即支路方向)及正、負號不能改變。(2)模擬圖(或框圖)中先是“和點”后是“分點”的地方，在信號流圖中應畫成一個“混合”節(jié)點，如圖所示。根據此兩圖寫出的各變量之間的關系式是相同的*1144.8.1系統(tǒng)的信號流圖(3)模擬圖(或框圖)中先是“分點”后是“和點”的地方，在信號流圖中應在“分點”與“和點”之間，增加一條傳輸函數為1的支路，如圖所示。

)s(F)s(Y

)s(F