第五章邊界層理論

第五章邊界層理論在實際工程中的大多數(shù)問題，是流體在固體容器或管道限制的區(qū)域內(nèi)的流動，這種流動除靠近固體表面的一薄層流體速度變化較大之外，其余的大部分區(qū)域內(nèi)速度的梯度很小。首先由于遠(yuǎn)離固體壁面的大部分流動區(qū)域流體的速度梯度很小，可略去速度的變化，這部分流體之間將無粘性力存在，視為理想流體，用歐拉方程或伯努利方程就可求解。而靠近固體壁面的一個薄層——稱為流動邊界層，在它內(nèi)部由于速度梯度較大，不能略去粘性力的作用，但可以利用邊界層很薄的特點，在邊界層內(nèi)把控制方程簡化后再去求解。這種對整個區(qū)域求解的問題就轉(zhuǎn)化為求解主流區(qū)內(nèi)理想流體的流動問題和靠近壁面的邊界層內(nèi)的流動問題。第一節(jié)邊界層理論的基本概念一、邊界層的定義流體在繞流過固體壁面流動時緊靠固體壁面形成速度梯度較大的流體薄層稱為邊界層。把流速相當(dāng)于主流區(qū)速度的0.99處(即v＝0.99v0)到固體壁面間的距離定義為邊界層的厚度。二、邊界層的形成與特點流體流過管道時，兩種不同的流動形態(tài)的判別標(biāo)準(zhǔn)是雷諾數(shù)Re=Dvρ/η。對于流體繞平板的流動，兩種不同的流態(tài)的分界線仍然由雷諾數(shù)給出，只不過這時的雷諾數(shù)表示形式為Rex=xv0ρ/η（1）層流區(qū)：流體統(tǒng)流進(jìn)入平板后，當(dāng)進(jìn)流長度不是很長，x＜xc(xc為對應(yīng)Rex＝2×105的進(jìn)流深度)，這時Rex

＜2×105，邊界層內(nèi)部為層流流動，這一個區(qū)域稱為層流區(qū)。（2）過渡區(qū)：隨著進(jìn)流深度的增長，當(dāng)x＞xc，使得Rex＞2×105

，且Rex

＜3×106時，邊界層內(nèi)處于一種不清楚的流動形態(tài)，部分層沉，部分湍流，故稱為過渡區(qū)。在這一區(qū)域內(nèi)邊界層的厚度隨進(jìn)流尺寸增加的相對較快。（3）湍流區(qū)：隨著進(jìn)流尺寸的進(jìn)一步增加，使得Rex

＞3×106，這時邊界層內(nèi)流動形態(tài)已進(jìn)入湍流狀態(tài)，邊界層的厚度隨進(jìn)流長度的增加而迅速增加。應(yīng)當(dāng)注意，無論是對過渡區(qū)還是湍流區(qū)，邊界層最靠近壁面的一層始終做層流流動，這一層稱為層流底層，這主要是因為在最靠近壁面處壁面的作用使該層流體所受的粘性力永遠(yuǎn)大于慣性力所致。這里要特別說明的是，邊界層與層流底層是兩個不同的概念。層流底層是根據(jù)有無脈動現(xiàn)象來劃分，而邊界層則是根據(jù)有無速度梯度來劃分的。因此，邊界層內(nèi)的流動既可以為層流，也可以為湍流。第二節(jié)平面層流邊界層微分方程應(yīng)用邊界層理論的思想與邊界層厚度很薄的特點來把該方程在邊界層內(nèi)部簡化并求解；至于邊界層之外的主流區(qū)，則由歐拉方程或伯努利方程描述。對于二維平面不可壓縮層流穩(wěn)定態(tài)流動，在直角坐標(biāo)系下滿足的控制方程為(5-1)式中已去掉了質(zhì)量力，這主要考慮到對于二維平面的不可壓縮流體，質(zhì)量力對流動狀態(tài)產(chǎn)生的影響很小。式(5-1)中的第一式為連續(xù)性方程；第二式為x方向的動量傳輸方程，可簡化為(5-2)式(5-1)中的第三式為y方向的動量傳輸方程，因為邊界層厚度δ

很小，除1/ρ(?p/?y)項外，其它各項與x方向上的動量傳輸方程相比可略而不計，可簡化為(5-3)因為?p/?y=0．故x方向動量中?p/?x

可以寫為全微分dp/dx。應(yīng)用上述方程組去求解邊界層內(nèi)流動問題時，特別是式中?p/?x

成為全微分后，其值可由主流區(qū)的運動方程求得。對主流區(qū)同一y

值，不同x

值的伯努利方程可寫為(5-4)由于

ρ與v0

為常量，故p

也為常量，即dp/dx=0，所以式(5-2)可進(jìn)一步簡化(5-5)該方程稱為普朗特邊界層微分方程，它與連續(xù)性方程式構(gòu)成了求解邊界層內(nèi)流體流動的控制方程組，即式(5-1)方程組簡化為(5-6)再加上如下的邊值條件，就構(gòu)成完備的定解問題。邊界條件：(5-7)第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程以二維繞平面流動為例來導(dǎo)出邊界層積分方程，如固5-2所示。首先對控制體（單元體）做動量平衡計算（在計算過程中取垂直于紙面

z方向為單位長度）：

1）流體從AB面單位時間流入的動量記為Mx

。由圖5-2知，從AB

面單位時間流入的質(zhì)量為

2）流體從CD面單位時間流出的動量記為Mx+?x：從CD面單位時間流出的質(zhì)量為(5-10)(5-11)

3）流體從BC面單位時間流入的動量為Ml

由質(zhì)量守恒可知，因為AD

面沒有流體的流入與流出，所以BC

面流入的質(zhì)量流量必須等于CD

面及AB

面上的質(zhì)量流量之差，即又因為BC

面取在邊界層之外，所以流體沿x

方向所具有的速度近似等于v0由BC

面流入的動量的x

分量為(5-12)

4）AD

面上的動量由于AD是固體表面，無流體通過AD

流入或流出，即質(zhì)量通量為零，但由粘性力決定的粘性動量通量是存在的，其量值為τ0

，所以在控制體內(nèi)由AD

面單位時間傳給流體的粘性動量為τ0?x。沿

x方向一般來說可能還會存在著壓力梯度，所以作用在AB面與CD

面上的壓力差而施加給控制體的沖量為(5-13)由討論邊界層微分方程時我們知道?p/?y=0，所以：(5-14)由動量守恒可得(5-15)(5-16)本章小結(jié)本章重點敘述了邊界層的概念、特點，建立了邊界層的微分方程、積分方程，并介紹了求解方法。對平板繞流摩擦阻力的計算也進(jìn)行了簡要介紹。實際上，邊界層理論是在數(shù)值模擬技術(shù)沒有發(fā)展起來之前，人們?yōu)榱诉\